3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
1.用公式法解一元二次方程3x2=2x-3时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是 ( )
A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3
C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3
2.在用求根公式x=求一元二次方程的根时,小珺正确地代入了a,b,c得到x=,则她求解的一元二次方程是 ( )
A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0
C.-x2-3x+2=0 D.3x2-2x+1=0
3.一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
4.用公式法解方程2x2-1=0,其中b2-4ac= ,方程的根为 .
5.(1)(2025·重庆南开)若关于x的一元二次方程x2+x-a=0有两个实数根,则a的取值范围是 ;
(2)关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是 ;
(3)对于实数a,b定义新运算:a b=ab2-b.若关于x的方程1 x=k有两个相等的实数根,则k= .
6.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)2x2-3x+1=0; (2)5x2-2x+1=0.
7.用公式法解下列方程:
(1)(2025·重庆西附)-2x2+6x-3=0;
(2)2x2-2x+1=0;
(3)x2-2x=4x-5;
(4)(2025·重庆育才)x-5=0;
(5)(3x+2)2-x(x-6)=9.
8.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的一元二次方程x2+bx+k-1=0的根的情况是 ( )
(第8题)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
9.(2024·广安)若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ( )
A.m<0且m≠-1 B.m≥0
C.m≤0且m≠-1 D.m<0
10.已知关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,则-的化简结果是 .
11.(2024·南充)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.
(敢于挑战,突破自我
12.已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
13.(2025·重庆外语校)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx+a-c=0,其中a,b,c分别是△ABC的三边的长度.
(1)如果△ABC是等边三角形,求这个一元二次方程的根;
(2)如果△ABC是以c为斜边的直角三角形,判断这个一元二次方程根的情况,并说明理由.
第2课时 实际应用问题
(第1题)
1.在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是 ( )
A.(80+x)(50+x)=5 400
B.(80-2x)(50-2x)=5 400
C.(80-x)(50-x)=5 400
D.(80+2x)(50+2x)=5 400
2.【数学文化】《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何 译文:今有一竖立着的木头柱子,在柱子的上端系有绳索,绳索从柱子上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索(绳索头与地面接触)退行,在距柱子根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少 设绳索长为x尺,可列方程为 ( )
A.x2-8=(x-3)2 B.x2+82=(x-3)2
C.x2-82=(x-3)2 D.x2+8=(x-3)2
3.一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,菜地就变成正方形,则原菜地的长是 ( )
A.10 m B.12 m C.13 m D.14 m
4.(2025·重庆育才)如图是一个长为40 m,宽为30 m的矩形花园,现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道,剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为1 008 m2,设小道的宽度应为x m,可列方程为 .
(第4题)
(第5题)
5.如图,某小区有一块长为30 m、宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为 m.
6.用一根铁丝围成一个面积为8 m2的长方形,若使这个长方形的长比宽多2 m,则需选用的铁丝的长为 m.
7.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,在温室内,沿前面内墙保留3 m宽的空地,其他三面内墙各保留1 m宽的通道,当温室的长与宽各是多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2
(第7题)
(第8题)
8.【数学文化】我国古代数学家赵爽(公元34世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法,以方程x2+2x-35=0即x(x+2)=35为例说明,记载的方法是:构造如图,大正方形的面积是(x+x+2)2.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×35+22,因此x=5.则在下面四个构图中,能正确说明方程:x2-2x-8=0解法的构图是 ( )
ABCD
9.学生会举办摄影展览,要在每张长和宽分别为18 cm和12 cm的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图).经试验,当彩纸的面积为相片面积的时较美观,则镶在相片周围的彩纸条的宽为 cm.
(第9题)
(第10题)
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P,Q同时由A,C两点出发,分别沿AC,CB方向匀速运动,它们的速度都是1 cm/s.当点P的运动时间为 s时,△PCQ的面积为4 cm2.
11.如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(第11题)
(敢于挑战,突破自我)
(第12题)
12.如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为 ( )
A. cm B.1 cm C. cm D.2 cm
13.在一块长32 m、宽24 m的矩形荒地上建造一个花园,要求花园占地面积为荒地面积的一半,下面分别是小强和小颖的设计方案.
小强 小颖
(第13题)
(1)你认为小强的结果对吗 请说明理由;
(2)请你帮助小颖求出图中的x;(π的值取3,结果保留根号)
(3)你还有其他的设计方案吗 请在图3中画出一个与图1、图2有共同特点的设计草图,并加以说明.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
学用P45
1.用公式法解一元二次方程3x2=2x-3时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是 ( D )
A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3
C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3
2.在用求根公式x=求一元二次方程的根时,小珺正确地代入了a,b,c得到x=,则她求解的一元二次方程是 ( A )
A.2x2-3x-1=0 B.2x2+4x-1=0
C.-x2-3x+2=0 D.3x2-2x+1=0
3.一元二次方程x2+3x-2=0根的情况为 ( A )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
4.用公式法解方程2x2-1=0,其中b2-4ac= 8 ,方程的根为 x1=,x2=- .
5.(1)(2025·重庆南开)若关于x的一元二次方程x2+x-a=0有两个实数根,则a的取值范围是 a≥- ;
(2)关于x的一元二次方程x2-2x-m=0有两个不相等的实数根,则m的最小整数值是 0 ;
(3)对于实数a,b定义新运算:a b=ab2-b.若关于x的方程1 x=k有两个相等的实数根,则k= - .
6.不解方程,判断下列方程根的情况:
(1)2x2-3x+1=0; (2)5x2-2x+1=0.
解:(1)∵Δ=(-3)2-4×2×1=1>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)∵Δ=(-2)2-4×5×1=-16<0,
∴原方程没有实数根.
7.用公式法解下列方程:
(1)(2025·重庆西附)-2x2+6x-3=0;
解:x1=,x2=.
(2)2x2-2x+1=0;
解:x1=x2=.
(3)x2-2x=4x-5;
解:x1=5,x2=1.
(4)(2025·重庆育才)x-5=0;
解:此方程无解.
(5)(3x+2)2-x(x-6)=9.
解:x1=,x2=-.
学用P7
8.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的一元二次方程x2+bx+k-1=0的根的情况是 ( C )
(第8题)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
9.(2024·广安)若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ( A )
A.m<0且m≠-1 B.m≥0
C.m≤0且m≠-1 D.m<0
10.已知关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,则-的化简结果是 -1 .
11.(2024·南充)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.
解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,
∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,
解得k>1.
(2)∵1∴k的值为2,3,4,
当k=2时,方程为x2-4x+3=0,
解得x1=1,x2=3.
当k=3或4时,此时方程的解不为整数,故不合题意.
综上所述,k的值为2.
(敢于挑战,突破自我)学用P45
12.已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ( A )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
13.(2025·重庆外语校)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2-2bx+a-c=0,其中a,b,c分别是△ABC的三边的长度.
(1)如果△ABC是等边三角形,求这个一元二次方程的根;
(2)如果△ABC是以c为斜边的直角三角形,判断这个一元二次方程根的情况,并说明理由.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴a=b=c>0.
∵(a+c)x2-2bx+a-c=0,
∴2ax2-2ax+a-a=0,
即x2-x=0,
解得x1=0,x2=1.
(2)该一元二次方程有两个不相等的实数根.
理由如下:
∵△ABC是以c为斜边的直角三角形,
∴a2+b2=c2,b≠0,
∴a2-c2=-b2.
∵(a+c)x2-2bx+a-c=0,
∴Δ=-4
=4b2-4
=4b2+4b2
=8b2>0,
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.
第2课时 实际应用问题
学用P47
(第1题)
1.在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2,设金色纸边的宽为x cm,那么x满足的方程是 ( D )
A.(80+x)(50+x)=5 400
B.(80-2x)(50-2x)=5 400
C.(80-x)(50-x)=5 400
D.(80+2x)(50+2x)=5 400
2.【数学文化】《九章算术》卷九“勾股”中记载:今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何 译文:今有一竖立着的木头柱子,在柱子的上端系有绳索,绳索从柱子上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索(绳索头与地面接触)退行,在距柱子根部8尺处时绳索用尽.问绳索长是多少 设绳索长为x尺,可列方程为 ( C )
A.x2-8=(x-3)2 B.x2+82=(x-3)2
C.x2-82=(x-3)2 D.x2+8=(x-3)2
3.一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,菜地就变成正方形,则原菜地的长是 ( B )
A.10 m B.12 m C.13 m D.14 m
4.(2025·重庆育才)如图是一个长为40 m,宽为30 m的矩形花园,现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横向小道,剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为1 008 m2,设小道的宽度应为x m,可列方程为 (30-x)(40-2x)=1 008 .
(第4题)
(第5题)
5.如图,某小区有一块长为30 m、宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为 2 m.
6.用一根铁丝围成一个面积为8 m2的长方形,若使这个长方形的长比宽多2 m,则需选用的铁丝的长为 12 m.
7.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,在温室内,沿前面内墙保留3 m宽的空地,其他三面内墙各保留1 m宽的通道,当温室的长与宽各是多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2
(第7题)
解:设温室的宽为x m,则长为
2x m,蔬菜种植区域的长为
(2x-3-1)m,宽为(x-2)m.
根据题意,得
(2x-3-1)(x-2)=288.
整理,得(x-2)2=144.
解得x1=14,x2=-10(不合题意,舍去).
则2x=28.
答:当温室的长为28 m、宽为14 m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.
学用P7
(第8题)
8.【数学文化】我国古代数学家赵爽(公元34世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法,以方程x2+2x-35=0即x(x+2)=35为例说明,记载的方法是:构造如图,大正方形的面积是(x+x+2)2.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即4×35+22,因此x=5.则在下面四个构图中,能正确说明方程:x2-2x-8=0解法的构图是 ( B )
ABCD
9.学生会举办摄影展览,要在每张长和宽分别为18 cm和12 cm的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图).经试验,当彩纸的面积为相片面积的时较美观,则镶在相片周围的彩纸条的宽为 2 cm.
(第9题)
(第10题)
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,点P,Q同时由A,C两点出发,分别沿AC,CB方向匀速运动,它们的速度都是1 cm/s.当点P的运动时间为 2或4 s时,△PCQ的面积为4 cm2.
11.如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(第11题)
解:(1)设矩形ABCD的边AB的长为x m,
则边BC的长为70-2x+2=(72-2x)m.
根据题意,得x(72-2x)=640,
化简,得x2-36x+320=0,解得x1=16,x2=20,
当x=16时,72-2x=40;当x=20时,72-2x=32.
答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈.
(2)不能,理由如下:
由题意,得x(72-2x)=650,
化简,得x2-36x+325=0.
∵Δ=(-36)2-4×325=-4<0,
∴该方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
(敢于挑战,突破自我)学用P48
(第12题)
12.如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒,则剪去的正方形的边长为 ( D )
A. cm B.1 cm C. cm D.2 cm
13.在一块长32 m、宽24 m的矩形荒地上建造一个花园,要求花园占地面积为荒地面积的一半,下面分别是小强和小颖的设计方案.
小强 小颖
(第13题)
(1)你认为小强的结果对吗 请说明理由;
(2)请你帮助小颖求出图中的x;(π的值取3,结果保留根号)
(3)你还有其他的设计方案吗 请在图3中画出一个与图1、图2有共同特点的设计草图,并加以说明.
解:(1)小强的结果不对.理由如下:
设小路的宽为x m,由题意,得
(32-2x)(24-2x)=×32×24,解得x1=24,x2=4.
∵道路的宽度必须小于24 m,∴x=24,舍去.
∴道路的宽为4 m.
(2)由题意,得3x2=×32×24,解得x=±8.
(答案图)
∵x>0,∴x的值为8.
(3)答案不唯一.例如:
取上边长的中点作为三角形的顶点,下边长的两个端点作为三角形的另外两个顶点,此三角形的面积等于矩形面积的一半.
