6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程在实际
问题中的应用(一)
学用P56
1.三角形一边的长是该边上高的2倍,且面积是32,则该边的长是 ( )
A.2 B.4 C.4 D.8
2.某景区准备在一块边长为20 m的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所,要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边,如图所示.若小道的长是宽的3倍,且花草种植区域(阴影部分)的面积为192 m2.设小道宽度为x m,根据题意,下列方程正确的是 ( )
A.(20-x)2=192
B.4×3x(20-4x)=192
C.(20-4x)2=192
D.202-4×3x2-(20-3x)2=192
(第2题)
(第4题)
3.已知长方形的面积为1,长与宽之差为1,则该长方形的周长为 ( )
A.2 B. C. D.2
4.如图,某海关缉私艇在点O处发现在正北方向45海里的点A处有一艘可疑船只,测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行,缉私艇随即调整方向,以75 海里/时的速度准备将其拦截,则经过 小时能拦截上.
5.【数学文化】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何 ”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,则长比宽多 步.
6.运动会入场式上,某班列队为m行n列的矩形方阵,当队伍行进到表演区时,队列进行变形,行数增大2,列数减小3,恰好组成正方形方阵,则该班同学有 人.
(第7题)
7.如图,某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O.甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走,乙沿着北京路以3 m/s的速度由南向北走.当乙走到点O以北50 m处时,甲恰好到点O处,若两人继续向前行走,求两人相距85 m时各自的位置.
学用P7
8.如图1,有一张长32 cm,宽16 cm的长方形硬纸片,裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后,恰好折成如图2所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130 cm2,则纸盒的高为 ( )
(第8题)
A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.4 cm
9.如图,学校围墙外有一圆形花坛,在不改变占地面积的情况下,准备将其改造成半圆形,已知改造后的半圆形花坛半径比原来圆形花坛的半径多5 m,则原来圆形花坛的半径是 m.
(第9题)
(第10题)
10.【教材改编】如图,在△ACB中,AC=72 cm,BC=21 cm,AB=75 cm.动点P从点C出发,沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发,沿BC方向运动.如果点P,Q的运动速度均为1 cm/s,那么运动 s时,它们相距15 cm.
11.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,点P,Q分别从点A,B同时出发,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.
(1)经过几秒,△PBQ的面积等于8 cm2
(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分 若能,请求出运动时间;若不能,请说明理由.
(第11题)
(敢于挑战,突破自我)学用P56
(第12题)
12.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P从点A出发,沿AB以2 cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发,沿BC以1 cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动.当△PQC的面积等于16 cm2时,运动时间为 ( )
A.2 s B.4 s
C.10 s D.2 s或10 s
13.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P停止运动.设运动的时间为t秒.
(第13题)
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形
第2课时 一元二次方程在实际
问题中的应用(二)
学用P59
1.(2025·重庆巴蜀)保障国家粮食安全是一个永恒的课题,任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地,大力开展种子实验,让农民能得到高产、易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物种子,经过两年不断的努力培育新品种,现在有100种农作物种子.若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x,则根据题意列出的符合题意的方程是 ( )
A.100=81 B.100=81
C.81=100 D.81=100
2.某食品厂七月份生产面包52万个,第三季度生产面包共196万个,若x满足的方程是52+52(1+x)+52(1+x)2=196,则x表示的意义是 ( )
A.该厂七月份的增长率
B.该厂八月份的增长率
C.该厂七、八月份平均每月的增长率
D.该厂八、九月份平均每月的增长率
3.(2025·重庆南开)NK中学秋季运动会上安排了8行12列的鲜花仪仗队,后来又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,设增加了x行,则可列方程为 ( )
A.(8+x)(12+x)=69
B.8x+12x=69
C.(8+x)(12+x)=69+8×12
D.8x+12x-2x2=69
4.已知一支股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.该股票原价为每股4元,之后两天时间涨到每股4.3元,若这两天该股票股价的平均增长率为x,则可列方程为 .
5.若有一个人患了流感,经过两轮传染后共有16个人患了流感,则每轮传染中平均一个人传染了 人.
6.一个英语口语小组的每位组员都要和其他组员说一句祝福语,全组共互赠了342句.若全组有x名同学,则根据题意列出的方程是 .
7.某商店以30元/千克的单价新进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象求y与x的函数关系式;
(2)商店想在销售成本不超过2 500元的情况下,使销售利润达到3 600元,销售单价应定为多少
(第7题)
学用P7
8.某件羊毛衫的售价为1 000元,因换季促销,商家决定降价销售,在连续两次降价x%后,售价降低了190元,则x为 ( )
A.5 B.10 C.19 D.81
9.某网店销售运动鞋,若每双盈利40元,每天可以销售20双,该网店决定适当降价促销,经调查得知,每双运动鞋每降价1元,每天可多销售2双,若想每天盈利1 200元,并尽可能让利于顾客,赢得市场,则每双运动鞋应降价 ( )
A.10元或20元 B.20元
C.5元 D.5元或10元
10.某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元,每星期可卖出1 000个.市场调查反映,每涨价1元,每星期要少卖出100个;每降价1元,则每星期要多卖出100个.已知鼠标垫的进价为每个20元,当鼠标垫售价为每个 元时,一星期利润为9 600元.
11.中考临近,某商家抓住商机,购买了一批考试专用笔和圆规,商家用1 600元购买笔,1 200元购买圆规,每支笔和每个圆规的进价之和为10元,且购买笔的数量是圆规的2倍.
(1)求每支笔和每个圆规的进价;
(2)商家在销售过程中发现,当笔的售价为每支8元,圆规的售价为每个12元时,平均每天可卖出50支笔,30个圆规.据统计,圆规的售价每降低0.5元,平均每天可多卖出5个,且降价率不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下,想使笔和圆规平均每天的总获利为400元,则每个圆规的售价为多少元 [降价率=(原价-现价)÷原价×100%]
(敢于挑战,突破自我)学用P59
12.某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,则该烘焙店生产的是第 档次的产品.
13.(2025·重庆九龙坡区)大疆农业无人机在全球多个国家和地区获得政府政策支持和市场认可.2022年,我国S省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A,B两款大疆农业无人机共25架,服务于全省农作物洒水、施肥、喷农药等农田与果园工作.每架A款农业无人机为2万元,每架B款农业无人机比A款少2 000元.
(1)求2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A,B两款大疆农业无人机各多少架;
(2)大疆农业无人机始终保持技术的迭代升级.2024年A+,B+款农业无人机以更智能、更高效、更安全的方式革新农业生产方式.对比2022年S省计划购买的A,B两款农业无人机,2024年H省购买A+款农业无人机比S省购买A款农业无人机的单价高,购买数量多m个;H省购买B+款农业无人机比S省购买B款农业无人机的单价高万元,购买数量少.2024年H省购买A+,B+款农业无人机共花费55.8万元,求m的值.6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程在实际
问题中的应用(一)
学用P56
1.三角形一边的长是该边上高的2倍,且面积是32,则该边的长是 ( D )
A.2 B.4 C.4 D.8
2.某景区准备在一块边长为20 m的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所,要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边,如图所示.若小道的长是宽的3倍,且花草种植区域(阴影部分)的面积为192 m2.设小道宽度为x m,根据题意,下列方程正确的是 ( B )
A.(20-x)2=192
B.4×3x(20-4x)=192
C.(20-4x)2=192
D.202-4×3x2-(20-3x)2=192
(第2题)
(第4题)
3.已知长方形的面积为1,长与宽之差为1,则该长方形的周长为 ( D )
A.2 B. C. D.2
4.如图,某海关缉私艇在点O处发现在正北方向45海里的点A处有一艘可疑船只,测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行,缉私艇随即调整方向,以75 海里/时的速度准备将其拦截,则经过 1 小时能拦截上.
5.【数学文化】中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何 ”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,则长比宽多 12 步.
6.运动会入场式上,某班列队为m行n列的矩形方阵,当队伍行进到表演区时,队列进行变形,行数增大2,列数减小3,恰好组成正方形方阵,则该班同学有 36 人.
(第7题)
7.如图,某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O.甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走,乙沿着北京路以3 m/s的速度由南向北走.当乙走到点O以北50 m处时,甲恰好到点O处,若两人继续向前行走,求两人相距85 m时各自的位置.
解:设两人继续前行x s时相距85 m.根据题意,得(4x)2+(50+3x)2=852.
整理,得x2+12x-189=0.
解得x1=9,x2=-21(不合题意,舍去).
当x=9时,4x=36,50+3x=77.
所以,当两人相距85 m时,甲在点O以东36 m处,乙在点O以北77 m处.
学用P7
8.如图1,有一张长32 cm,宽16 cm的长方形硬纸片,裁去角上2个小正方形和2个小长方形(图中阴影部分)之后,恰好折成如图2所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是130 cm2,则纸盒的高为 ( C )
(第8题)
A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm D.4 cm
9.如图,学校围墙外有一圆形花坛,在不改变占地面积的情况下,准备将其改造成半圆形,已知改造后的半圆形花坛半径比原来圆形花坛的半径多5 m,则原来圆形花坛的半径是 (5+5) m.
(第9题)
(第10题)
10.【教材改编】如图,在△ACB中,AC=72 cm,BC=21 cm,AB=75 cm.动点P从点C出发,沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发,沿BC方向运动.如果点P,Q的运动速度均为1 cm/s,那么运动 9或12 s时,它们相距15 cm.
11.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,点P,Q分别从点A,B同时出发,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.
(1)经过几秒,△PBQ的面积等于8 cm2
(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分 若能,请求出运动时间;若不能,请说明理由.
(第11题)
解:(1)设经过x s,△PBQ的面积等于8 cm2.根据题意,得
(6-x)·2x=8.
解得x1=2,x2=4.
经检验,x1,x2均符合题意.
故经过2 s或4 s,△PBQ的面积等于8 cm2.
(2)不能.理由如下:
设经过y s,线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分,根据题意,得
(6-y)·2y=××6×8,
即y2-6y+12=0.
∵Δ=36-4×12=-12<0,
∴此方程无实数根.
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分.
(敢于挑战,突破自我)学用P56
(第12题)
12.如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P从点A出发,沿AB以2 cm/s的速度向点B运动;同时,点Q从点B出发,沿BC以1 cm/s的速度向点C运动,点P运动到点B时,点Q也停止运动.当△PQC的面积等于16 cm2时,运动时间为 ( A )
A.2 s B.4 s
C.10 s D.2 s或10 s
13.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时,点P停止运动.设运动的时间为t秒.
(第13题)
(1)设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(2)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形
解:(1)由题意,知BQ=16-t,则
S△BPQ=BQ·CD=×(16-t)×12=96-6t,
即S=-6t+96(0≤t<16).
(2)①当PB=PQ时,
如答案图,作PM⊥BC于点M,
(答案图)
则BM=QM,
即16-2t=2t-t.解得t=;
②当BP=BQ时,
由PB2=BM2+PM2=(16-2t)2+122,BQ2=(16-t)2,
得(16-2t)2+122=(16-t)2.
整理,得3t2-32t+144=0.
∵Δ=(-32)2-4×3×144=-704<0,
∴方程无实数解;
③当PQ=BQ时,
由PQ2=PM2+QM2=122+t2,BQ2=(16-t)2,
得122+t2=(16-t)2,
即32t=112,解得t=.
综上所述,当t为或时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.
第2课时 一元二次方程在实际
问题中的应用(二)
学用P59
1.(2025·重庆巴蜀)保障国家粮食安全是一个永恒的课题,任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地,大力开展种子实验,让农民能得到高产、易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物种子,经过两年不断的努力培育新品种,现在有100种农作物种子.若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x,则根据题意列出的符合题意的方程是 ( D )
A.100=81 B.100=81
C.81=100 D.81=100
2.某食品厂七月份生产面包52万个,第三季度生产面包共196万个,若x满足的方程是52+52(1+x)+52(1+x)2=196,则x表示的意义是 ( D )
A.该厂七月份的增长率
B.该厂八月份的增长率
C.该厂七、八月份平均每月的增长率
D.该厂八、九月份平均每月的增长率
3.(2025·重庆南开)NK中学秋季运动会上安排了8行12列的鲜花仪仗队,后来又增加了69人,使得队伍增加的行、列数相同,设增加了x行,则可列方程为 ( C )
A.(8+x)(12+x)=69
B.8x+12x=69
C.(8+x)(12+x)=69+8×12
D.8x+12x-2x2=69
4.已知一支股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫做涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫做跌停.该股票原价为每股4元,之后两天时间涨到每股4.3元,若这两天该股票股价的平均增长率为x,则可列方程为 4(1+x)2=4.3 .
5.若有一个人患了流感,经过两轮传染后共有16个人患了流感,则每轮传染中平均一个人传染了 3 人.
6.一个英语口语小组的每位组员都要和其他组员说一句祝福语,全组共互赠了342句.若全组有x名同学,则根据题意列出的方程是 x(x-1)=342 .
7.某商店以30元/千克的单价新进一批茶叶,经调查发现,在一段时间内,销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象求y与x的函数关系式;
(2)商店想在销售成本不超过2 500元的情况下,使销售利润达到3 600元,销售单价应定为多少
(第7题)
解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
将(40,160),(120,0)代入y=kx+b,
得解得
∴y与x的函数关系式为y=-2x+240(40≤x≤120).
(2)依题意,得(x-30)(-2x+240)=3 600,
整理,得x2-150x+5 400=0.
解得x1=60,x2=90.
当x=60时,y=-2×60+240=120,
成本为30×120=3 600>2 500,不符合题意,舍去;
当x=90时,y=-2×90+240=60,
成本为30×60=1 800<2 500,符合题意.
答:销售单价应定为90元/千克.
学用P7
8.某件羊毛衫的售价为1 000元,因换季促销,商家决定降价销售,在连续两次降价x%后,售价降低了190元,则x为 ( B )
A.5 B.10 C.19 D.81
9.某网店销售运动鞋,若每双盈利40元,每天可以销售20双,该网店决定适当降价促销,经调查得知,每双运动鞋每降价1元,每天可多销售2双,若想每天盈利1 200元,并尽可能让利于顾客,赢得市场,则每双运动鞋应降价 ( B )
A.10元或20元 B.20元
C.5元 D.5元或10元
10.某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元,每星期可卖出1 000个.市场调查反映,每涨价1元,每星期要少卖出100个;每降价1元,则每星期要多卖出100个.已知鼠标垫的进价为每个20元,当鼠标垫售价为每个 28或32 元时,一星期利润为9 600元.
11.中考临近,某商家抓住商机,购买了一批考试专用笔和圆规,商家用1 600元购买笔,1 200元购买圆规,每支笔和每个圆规的进价之和为10元,且购买笔的数量是圆规的2倍.
(1)求每支笔和每个圆规的进价;
(2)商家在销售过程中发现,当笔的售价为每支8元,圆规的售价为每个12元时,平均每天可卖出50支笔,30个圆规.据统计,圆规的售价每降低0.5元,平均每天可多卖出5个,且降价率不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下,想使笔和圆规平均每天的总获利为400元,则每个圆规的售价为多少元 [降价率=(原价-现价)÷原价×100%]
解:(1)设每支笔的进价是x元,则每个圆规的进价是(10-x)元,
由题意,得=×2,解得x=4.
经检验,x=4是原方程的解,且符合题意,
∴10-x=10-4=6.
答:每支笔的进价是4元,每个圆规的进价是6元.
(2)设每个圆规的售价为m元,由题意,得
(m-6)+50×(8-4)=400,
整理,得m2-21m+110=0,
解得m1=10,m2=11.
∵降价率不超过10%,
∴≤10%,∴m≥10.8,∴m=11.
答:每个圆规的售价为11元.
(敢于挑战,突破自我)学用P59
12.某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,则该烘焙店生产的是第 五 档次的产品.
13.(2025·重庆九龙坡区)大疆农业无人机在全球多个国家和地区获得政府政策支持和市场认可.2022年,我国S省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A,B两款大疆农业无人机共25架,服务于全省农作物洒水、施肥、喷农药等农田与果园工作.每架A款农业无人机为2万元,每架B款农业无人机比A款少2 000元.
(1)求2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A,B两款大疆农业无人机各多少架;
(2)大疆农业无人机始终保持技术的迭代升级.2024年A+,B+款农业无人机以更智能、更高效、更安全的方式革新农业生产方式.对比2022年S省计划购买的A,B两款农业无人机,2024年H省购买A+款农业无人机比S省购买A款农业无人机的单价高,购买数量多m个;H省购买B+款农业无人机比S省购买B款农业无人机的单价高万元,购买数量少.2024年H省购买A+,B+款农业无人机共花费55.8万元,求m的值.
解:(1)设2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A款大疆农业无人机x架,B款大疆农业无人机y架,
根据题意,得解得
答:2022年S省农业科技综合服务平台计划购买A款大疆农业无人机10架,B款大疆农业无人机15架.
(2)根据题意,得2××(10+m)+×15×=55.8,
整理,得m2+3m-4=0,
解得m1=1,m2=-4(不合题意,舍去).
答:m的值为1.
