1 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图或表格求概率
学用P
1.(2024·济南)3月14日是国际数学日.某学校在今年国际数学日当天策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动,如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动,那么她们恰好选到同一个活动的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.(2024·福建)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.一个不透明的布袋内装有除颜色外,其余完全相同的3个红球,1个白球.搅匀后,从中随机摸出一个球,不放回,再从中随机摸出一个球,则两次摸到的球的颜色相同的概率为 .
4.【跨学科融合】(2025·重庆八中)有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶,分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液,小星从这5个试剂瓶中任意抽取2个,则抽到的2个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)的概率是 .
5.新高考“3+1+2”选科模式是指,除语文、数学、外语3门科目以外,学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科,在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科.某同学从4门再选科目中随机选择2科,恰好选择地理和化学的概率为 .
6.【跨学科融合】人类的性别是由一对性染色体(X,Y)决定,当染色体为XX时,是女性;当染色体为XY时,是男性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱.如果这位女士怀上了一个小孩,该小孩为女孩的概率是 .
(第6题)
7.(2024·苏州)一个不透明的盒子里装有4张书签,分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节,书签除图案外都相同,并将4张书签充分搅匀.
(1)若从盒子中任意抽取1张书签,恰好抽到“夏”的概率为 ;
(2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签,且这张书签不放回,再抽取1张书签),求抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)
学用P
8.从1,2,3三个数中随机选取两个不同的数,分别记为a,c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0 没有实数根的概率为 ( )
A. B. C. D.
9.现有4条线段,长度依次是2,4,6,7,从中任选三条,能组成三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.现有三张正面分别标有数字-1,0,2的卡片,它们除数字不同外其余完全相同,将卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,将卡片上的数字记为a,放回洗匀后再随机抽取一张,将卡片上的数字记为b,则满足ab=0的概率为 .
11.阅读下文并解答问题:
(1)小丽袋子中的卡片上分别标有数字1,2,3,4;小兵袋子中的卡片上分别标有数字1,2,3(这些卡片除数字外都相同).分别用a,b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字,请用画树状图法或列表法写出(a,b)的所有取值情况;
(2)求在(a,b)中使关于x的一元二次方程x2-ax+2b=0有实数根的概率.
(敢于挑战,突破自我)学用P
12.在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足≤1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则甲、乙两人“心领神会”的概率是 ( )
A. B. C. D.
13.在四张编号为A,B,C,D的卡片(除编号外,其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后,背面朝上,洗匀放好,现从中随机抽取一张(不放回),再从剩下的卡片中随机抽取一张.
(第13题)
(1)请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A,B,C,D表示);
(2)我们知道,满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数,求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.
第2课时 游戏的公平性和配色游戏
学用P
1.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏,随机出手一次,则两人平局的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.小刚与小亮一起玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘,每个转盘分成面积相等的三个区域,分别用“1”“2”“3”表示.固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止,若两指针指的数字和为奇数,则小刚获胜;否则,小亮获胜.则在该游戏中小刚获胜的概率是 ( )
(第2题)
A. B. C. D.
3.用如图所示的两个转盘(分别进行四等分和三等分),设计一个“配紫色”的游戏,任意转动两个指针,当指针停止,分别指向红色和蓝色时称为“配紫色”成功.则能“配紫色”成功的概率为 ( )
(第3题)
A. B. C. D.
4.甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子,如果两者之积为偶数,甲得1分;如果两者之积为奇数,乙得1分.此游戏 ( )
A.对甲有利 B.对乙有利
C.是公平的 D.以上都不对
5.小兰和小华两人做游戏,她们准备了一个质地均匀的正六面体骰子,骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6.若掷出的骰子的点数为偶数,则小兰赢;若掷出的骰子的点数是3的倍数,则小华赢.此游戏规则对 (填“小兰”或“小华”)有利.
6.甲、乙两人用两个骰子做游戏,两个骰子同时抛出,如果出现两个5点,那么甲赢;如果出现一个4点和一个6点,那么乙赢;如果出现其他情况,就重新投掷.你认为这个游戏 (填“对甲有利”“是公平的”或“对乙有利”).
7.用如图所示的两个转盘玩“配紫色”游戏,每个转盘都被分成了面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘,转出的颜色能配成紫色的概率是多少 (注:红色和蓝色配成紫色)
(第7题)
学用P
8.不透明的口袋中有30个大小、质感相同的小球,其中红球n个,黑球3n个,其余为绿球.甲从袋中任意摸出1个,若为红球则甲得 1分;甲将摸出的球放回袋中,乙再从袋中摸出1个,若为绿球则乙得1分,谁先得10分谁获胜.要使游戏对甲、乙双方公平,则n的值是 .
9.有四张背面完全相同的卡片,正面分别标有数字-2,-1,1,2.把这四张卡片背面朝上,随机抽取一张,记下数字为m;放回搅匀,再随机抽取一张卡片,记下数字为n,则直线y=mx+n不经过第三象限的概率为 .
10.如图,有A,B,C三类长方形(或正方形)卡片(a>b),其中甲同学持有A,B类卡片各一张,乙同学持有B,C类卡片各一张,丙同学持有A,C类卡片各一张,现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图,则能拼成一个正方形的概率是 .
(第10题)
11.如图,小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘,A盘被等分为四个扇形,上面分别标有数字1,2,4,5;B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3,其余部分上面标有数字4.
(1)小明转动一次A盘,求指针指向数字2的概率;
(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏,游戏规则如下:分别旋转两个转盘,将A盘转出的数字作为被减数,B盘转出的数字作为减数.若差为负数,则小春胜;若差为正数,则小明胜.这个游戏对双方公平吗 如果不公平,请说明理由,并设计一个公平的规则.
(第11题)
(敢于挑战,突破自我)学用P
12.一项“过关游戏”规定:在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次,若n次抛掷所出现的点数之和大于n2,则算过关,否则不算过关,则能过第二关的概率是 ( )
A. B. C. D.
13.如图1是一个材质均匀且可自由转动的转盘,转盘的四个扇形面积相等,分别标有数字1,2,3,4.如图2,正方形ABCD的顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为:游戏者每转动转盘一次,当转盘停止运动时,指针所落扇形中的数字是几(当指针落在四个扇形的交线上时,重新转动转盘),就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长.
例如:若从圈A起跳,第一次指针所落扇形中的数字是3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次指针所落扇形中的数字是2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B;….设游戏者从圈A起跳.
(1)嘉嘉随机转一次转盘,求跳回到圈A的概率P1;
(2)琪琪随机转两次转盘,用列表或画树状图的方法求最后跳回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉跳回到圈A的可能性一样吗
(第13题)1 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图或表格求概率
学用P
1.(2024·济南)3月14日是国际数学日.某学校在今年国际数学日当天策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动,如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动,那么她们恰好选到同一个活动的概率是 ( C )
A. B. C. D.
2.(2024·福建)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2,3,5中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是 ( B )
A. B. C. D.
3.一个不透明的布袋内装有除颜色外,其余完全相同的3个红球,1个白球.搅匀后,从中随机摸出一个球,不放回,再从中随机摸出一个球,则两次摸到的球的颜色相同的概率为 .
4.【跨学科融合】(2025·重庆八中)有5个外观完全相同且密封不透明的试剂瓶,分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠和氢氧化钠五种溶液,小星从这5个试剂瓶中任意抽取2个,则抽到的2个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)的概率是 .
5.新高考“3+1+2”选科模式是指,除语文、数学、外语3门科目以外,学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科,在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科.某同学从4门再选科目中随机选择2科,恰好选择地理和化学的概率为 .
6.【跨学科融合】人类的性别是由一对性染色体(X,Y)决定,当染色体为XX时,是女性;当染色体为XY时,是男性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱.如果这位女士怀上了一个小孩,该小孩为女孩的概率是 .
(第6题)
7.(2024·苏州)一个不透明的盒子里装有4张书签,分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节,书签除图案外都相同,并将4张书签充分搅匀.
(1)若从盒子中任意抽取1张书签,恰好抽到“夏”的概率为 ;
(2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签,且这张书签不放回,再抽取1张书签),求抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)
解:(2)画树状图如下:
(答案图)
共有12种等可能的结果,其中抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”的结果有2种,
∴P(抽取的书签恰好1张为“春”、1张为“秋”)==.
学用P
8.从1,2,3三个数中随机选取两个不同的数,分别记为a,c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0 没有实数根的概率为 ( B )
A. B. C. D.
9.现有4条线段,长度依次是2,4,6,7,从中任选三条,能组成三角形的概率是 ( B )
A. B. C. D.
10.现有三张正面分别标有数字-1,0,2的卡片,它们除数字不同外其余完全相同,将卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张,将卡片上的数字记为a,放回洗匀后再随机抽取一张,将卡片上的数字记为b,则满足ab=0的概率为 .
11.阅读下文并解答问题:
(1)小丽袋子中的卡片上分别标有数字1,2,3,4;小兵袋子中的卡片上分别标有数字1,2,3(这些卡片除数字外都相同).分别用a,b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字,请用画树状图法或列表法写出(a,b)的所有取值情况;
(2)求在(a,b)中使关于x的一元二次方程x2-ax+2b=0有实数根的概率.
解:(1)(a,b)对应的表格如下:
ba
1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
4 (4,1) (4,2) (4,3)
(2)∵一元二次方程有实数根,
∴Δ=a2-8b≥0.
从(1)中的表格可以看出,共有12种等可能的结果,而使方程x2-ax+2b=0有实数根的结果有3种,即(3,1),(4,1),(4,2).
∴P(x2-ax+2b=0有实数根)==.
(敢于挑战,突破自我)学用P
12.在一个不透明的袋子里装有四个小球,球上分别标有6,7,8,9四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m,n满足≤1,那么就称甲、乙两人“心领神会”,则甲、乙两人“心领神会”的概率是 ( B )
A. B. C. D.
13.在四张编号为A,B,C,D的卡片(除编号外,其余完全相同)的正面分别写上如图所示的正整数后,背面朝上,洗匀放好,现从中随机抽取一张(不放回),再从剩下的卡片中随机抽取一张.
(第13题)
(1)请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果(卡片用A,B,C,D表示);
(2)我们知道,满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾股数,求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率.
解:(1)画树状图如下:
共有12种等可能的结果.
(2)由题意知,卡片B,C,D上的正整数是勾股数,则抽到两张卡片上的数都是勾股数的结果有6种,所以P(抽到两张卡片上的数都是勾股数)==.
第2课时 游戏的公平性和配色游戏
学用P
1.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏,随机出手一次,则两人平局的概率为 ( B )
A. B. C. D.
2.小刚与小亮一起玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘,每个转盘分成面积相等的三个区域,分别用“1”“2”“3”表示.固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止,若两指针指的数字和为奇数,则小刚获胜;否则,小亮获胜.则在该游戏中小刚获胜的概率是 ( B )
(第2题)
A. B. C. D.
3.用如图所示的两个转盘(分别进行四等分和三等分),设计一个“配紫色”的游戏,任意转动两个指针,当指针停止,分别指向红色和蓝色时称为“配紫色”成功.则能“配紫色”成功的概率为 ( D )
(第3题)
A. B. C. D.
4.甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子,如果两者之积为偶数,甲得1分;如果两者之积为奇数,乙得1分.此游戏 ( A )
A.对甲有利 B.对乙有利
C.是公平的 D.以上都不对
5.小兰和小华两人做游戏,她们准备了一个质地均匀的正六面体骰子,骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6.若掷出的骰子的点数为偶数,则小兰赢;若掷出的骰子的点数是3的倍数,则小华赢.此游戏规则对 小兰 (填“小兰”或“小华”)有利.
6.甲、乙两人用两个骰子做游戏,两个骰子同时抛出,如果出现两个5点,那么甲赢;如果出现一个4点和一个6点,那么乙赢;如果出现其他情况,就重新投掷.你认为这个游戏 对乙有利 (填“对甲有利”“是公平的”或“对乙有利”).
7.用如图所示的两个转盘玩“配紫色”游戏,每个转盘都被分成了面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘,转出的颜色能配成紫色的概率是多少 (注:红色和蓝色配成紫色)
(第7题)
解:列表如下:
转盘A 转盘B
红1 红2 黄 蓝1
红3 (红3,红1) (红3,红2) (红3,黄) (红3,蓝1)
蓝2 (蓝2,红1) (蓝2,红2) (蓝2,黄) (蓝2,蓝1)
由上表可知,共有8种等可能的结果,其中能配成紫色的结果有3种,
∴P(配成紫色)=.
学用P
8.不透明的口袋中有30个大小、质感相同的小球,其中红球n个,黑球3n个,其余为绿球.甲从袋中任意摸出1个,若为红球则甲得 1分;甲将摸出的球放回袋中,乙再从袋中摸出1个,若为绿球则乙得1分,谁先得10分谁获胜.要使游戏对甲、乙双方公平,则n的值是 6 .
9.有四张背面完全相同的卡片,正面分别标有数字-2,-1,1,2.把这四张卡片背面朝上,随机抽取一张,记下数字为m;放回搅匀,再随机抽取一张卡片,记下数字为n,则直线y=mx+n不经过第三象限的概率为 .
10.如图,有A,B,C三类长方形(或正方形)卡片(a>b),其中甲同学持有A,B类卡片各一张,乙同学持有B,C类卡片各一张,丙同学持有A,C类卡片各一张,现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图,则能拼成一个正方形的概率是 .
(第10题)
11.如图,小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘,A盘被等分为四个扇形,上面分别标有数字1,2,4,5;B盘中圆心角为120°的扇形上面标有数字3,其余部分上面标有数字4.
(1)小明转动一次A盘,求指针指向数字2的概率;
(2)小明和小春用如图所示的两个转盘做游戏,游戏规则如下:分别旋转两个转盘,将A盘转出的数字作为被减数,B盘转出的数字作为减数.若差为负数,则小春胜;若差为正数,则小明胜.这个游戏对双方公平吗 如果不公平,请说明理由,并设计一个公平的规则.
(第11题)
解:(1).
(2)根据题意画树状图如下:
共有12种等可能的情况,其中差为负数的有6种情况,差为正数的有4种情况,
则P(小春胜)==,P(小明胜)==.
∵>,∴这个游戏对双方不公平.
可将规则改为:若差为负数,则小春胜;若差为非负数,则小明胜.
(敢于挑战,突破自我)学用P
12.一项“过关游戏”规定:在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次,若n次抛掷所出现的点数之和大于n2,则算过关,否则不算过关,则能过第二关的概率是 ( A )
A. B. C. D.
13.如图1是一个材质均匀且可自由转动的转盘,转盘的四个扇形面积相等,分别标有数字1,2,3,4.如图2,正方形ABCD的顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为:游戏者每转动转盘一次,当转盘停止运动时,指针所落扇形中的数字是几(当指针落在四个扇形的交线上时,重新转动转盘),就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长.
例如:若从圈A起跳,第一次指针所落扇形中的数字是3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次指针所落扇形中的数字是2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈B;….设游戏者从圈A起跳.
(1)嘉嘉随机转一次转盘,求跳回到圈A的概率P1;
(2)琪琪随机转两次转盘,用列表或画树状图的方法求最后跳回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉跳回到圈A的可能性一样吗
(第13题)
解:(1)由题意可知,随机转一次转盘,共有4种等可能的结果,其中跳回到圈A的结果只有1种,
∴跳回到圈A的概率P1=.
(2)列表如下:
第一次 第二次 1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
由表格可知,共有16种等可能的结果,最后跳回到圈A的有(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)4种情况,
∴最后跳回到圈A的概率P2==.
∴她与嘉嘉跳回到圈A的可能性一样.
