5 相似三角形判定定理的证明
学用P
1.如图,在 ABCD中,E是AD的中点,EC交对角线BD于点F,则等于 ( D )
A. B.2 C. D.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在△ABC中,点D在AB上,且∠ADC=∠ACB,过点D作DE∥BC交AC于点E,则下列式子不一定正确的是 ( B )
A.= B.=
C.AC2=AD·AB D.=
3.如图,在△ABC中,P为AB边上一点,连接CP.在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.能满足△APC与△ACB相似的条件是 ( A )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
(第3题) (第4题)
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,点B'在AB上,A'B'交AC于点F,则图中与△AB'F相似的三角形有(不再添加其他线段) ( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥DE,若使△ABC∽△DEF,则还需添加一个条件是 ∠A=∠D(答案不唯一) .(只需填一个)
(第5题) (第6题)
6.如图,在平行四边形ABCD中,E为AD的延长线上一点,且BC=2DE,BE交DC于点F.若CF=2,则DF的长为 1 .
7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,E是AC的中点,直线ED交AB的延长线于点F,求证:AB·AF=AC·DF.
(第7题)
证明:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°
=∠BAC.
∵∠CBA=∠ABD,
∴△CBA△∽ABD,
∴=,
∴=.
∵E是AC的中点,
∴ED=EC=AE,∴∠C=∠CDE.
∵∠CDE=∠BDF,∴∠C=∠BDF.
∵∠C+∠CAD=90°=∠BAD+∠CAD,
∴∠C=∠BAD,∴∠BDF=∠BAD.
∵∠DFB=∠AFD,∴△FDB∽△FAD,
∴=,∴=,∴AB·AF=AC·DF.
学用P
8.如图,点E是线段BC的中点,∠B=∠C=∠AED,则下列结论中错误的是 ( D )
A.∠AEB=∠CDE B.△ABE∽△ECD
C.= D.∠BAE=∠ADE
(第8题) (第9题)
9.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,D为边BC上一点,连接AD,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E.若=,则的值为 .
(第10题)
10.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处,点D落在点D'处,C'D'交AE于点M.若AB=6,BC=9,则AM的长为 .
11.如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点D,E在BC上,连接AD,AE,且∠DAE=30°.
(1)求证:AB2=DC·BE;
(2)若BD=4,求DE的长.
(第11题)
(答案图)
(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵∠AEB=∠C+∠CAE=30°+∠CAE,
∠DAC=∠DAE+∠CAE=30°+∠CAE,
∴∠AEB=∠DAC.
又∵∠B=∠C,∴△BAE∽△CDA,
∴==,∴AB2=DC·BE.
(2)解:如答案图,过点A作AH⊥BC于点H.
∵AB=AC=6,∴BH=CH.
∵∠B=30°,∴AH=AB=3.
∴BH=AH=9.∴BC=2BH=18.
∵BD=4,∴CD=14.
由(1)知,AB2=DC·BE,
∴(6)2=14(4+DE),∴DE=.
(敢于挑战,突破自我)学用P
(第12题)
12.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,AB上(点E不与点B,C重合),且AF=BE.连接AC,DF交于点G,连接AE,BG交于点H.若DF=4GH,则的值为 ( A )
A. B. C. D.
提示:设GH=a,则DF=4a,易证△DAF≌△ABE,△ABG≌△ADG,推出AH=BH=HE,作EQ∥AC,由此可证△EQH≌△AGH,可得BQ=QH=GH=a,DG=BG=3a,∴FG=a,易证△AGF∽△CGD,∴===.在Rt△AFD中,由勾股定理可得AD=a,则CG=AC=a,代入计算即可求解.
13.如图,正方形ABCD的边长为4,∠MDN=90°.将∠MDN绕点D旋转,其中DM边分别与射线BA,直线AC交于E,Q两点;DN边与射线BC交于点F,连接EF,EF与直线AC交于点P,连接DP.
(1)如图,点E在线段AB上时:
①求证:AE=CF;
②求证:DP垂直平分EF;
(2)当AE=1时,直接写出PQ的长.
(第13题)
(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠ADC=∠DAE=∠BCD=90°,
∴∠ADC=∠MDN,∠DCF=90°=∠DAE,
∴∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF.
②证明:∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF.
∵∠MDN=90°,∴∠DEF=45°.
∵∠DAC=45°,∴∠DAQ=∠PEQ.
又∵∠AQD=∠EQP,∴△AQD∽△EQP,
∴=,∴=.
又∵∠AQE=∠DQP,∴△AQE∽△DQP,
∴∠QDP=∠QAE=45°,
∴∠DPE=90°,∴DP⊥EF.
∵DE=DF,∴PE=PF,∴DP垂直平分EF.
(2)解:PQ的长为或.
提示:分点E在线段AB上和点E在BA的延长线上两种情况讨论.5 相似三角形判定定理的证明
学用P
1.如图,在 ABCD中,E是AD的中点,EC交对角线BD于点F,则等于 ( )
A. B.2 C. D.
(第1题)
(第2题)
2.如图,在△ABC中,点D在AB上,且∠ADC=∠ACB,过点D作DE∥BC交AC于点E,则下列式子不一定正确的是 ( )
A.= B.=
C.AC2=AD·AB D.=
3.如图,在△ABC中,P为AB边上一点,连接CP.在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP·AB;④AB·CP=AP·CB.能满足△APC与△ACB相似的条件是 ( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
(第3题) (第4题)
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,点B'在AB上,A'B'交AC于点F,则图中与△AB'F相似的三角形有(不再添加其他线段) ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB∥DE,若使△ABC∽△DEF,则还需添加一个条件是 .(只需填一个)
(第5题) (第6题)
6.如图,在平行四边形ABCD中,E为AD的延长线上一点,且BC=2DE,BE交DC于点F.若CF=2,则DF的长为 .
7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,E是AC的中点,直线ED交AB的延长线于点F,求证:AB·AF=AC·DF.
(第7题)
学用P
8.如图,点E是线段BC的中点,∠B=∠C=∠AED,则下列结论中错误的是 ( )
A.∠AEB=∠CDE B.△ABE∽△ECD
C.= D.∠BAE=∠ADE
(第8题) (第9题)
9.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,D为边BC上一点,连接AD,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E.若=,则的值为 .
(第10题)
10.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处,点D落在点D'处,C'D'交AE于点M.若AB=6,BC=9,则AM的长为 .
11.如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点D,E在BC上,连接AD,AE,且∠DAE=30°.
(1)求证:AB2=DC·BE;
(2)若BD=4,求DE的长.
(第11题)
(敢于挑战,突破自我)学用P
(第12题)
12.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,AB上(点E不与点B,C重合),且AF=BE.连接AC,DF交于点G,连接AE,BG交于点H.若DF=4GH,则的值为 ( )
A. B. C. D.
13.如图,正方形ABCD的边长为4,∠MDN=90°.将∠MDN绕点D旋转,其中DM边分别与射线BA,直线AC交于E,Q两点;DN边与射线BC交于点F,连接EF,EF与直线AC交于点P,连接DP.
(1)如图,点E在线段AB上时:
①求证:AE=CF;
②求证:DP垂直平分EF;
(2)当AE=1时,直接写出PQ的长.
(第13题)
