专题二 《特殊平行四边形》中的有关计算
角度的计算
1.(2025·重庆八中)如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,交AB于点E,连接DF.若∠BAD=α,则∠CDF的度数为 ( )
A.α B.α
C.180°-α D.180°-2α
(第1题)
(第2题)
2.如图,E,F,G分别是正方形ABCD的边AD,BC,AB上的点,连接DG,EF,GF,且EF=DG,DE=2AG.若∠ADG=α,则∠EFG的度数为 ( )
A.α B.2α C.45°-α D.45°+α
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=BO,AE平分∠BAD交BC于点E,以EC为边向矩形内作等边三角形ECF,连接DF.则∠BDF的度数为 ( )
A.10° B.12° C.15° D.17°
(第3题)
(第4题)
4.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,点P是DF的中点,连接AP,EP.若AP=AD,BE=BF,则∠BEP的度数为 ( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
线段长度的计算
5.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点E在AB边上,点F在OD上,过点E作EG⊥BD,垂足为G.若FE=FC,EF⊥CF,OF=3,则BE的长为 ( )
A.3 B.3 C.3 D.2
(第5题)
(第6题)
6.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,E为正方形内一点,连接BE,BE=BA,连接CE并延长,与∠ABE的平分线交于点F,连接OF.若AB=2,则OF的长度为 ( )
A.2 B. C.1 D.
7.如图,AC是正方形ABCD的一条对角线,E是AC上一点,F是BC延长线上一点,连接BE,EF,DF.若AB=AE,EB=EF=4,则DF的长为 ( )
(第7题)
A.4 B.4 C.2 D.2
8.如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,过点B作BE⊥AB交CD于点E,连接AE,F为AE的中点,H为BE的中点,连接FH和CF,CF交BE于点G,则GF的长为 ( )
A.3 B. C.2 D.
(第8题)
(第9题)
9.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为 ( )
A.2 B.4 C.4 D.6
10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E在CB的延长线上,连接AE,点F是AE的中点,连接OF交AB于点G,连接BF.若BE=2,OF=5,则BF的长为 .
(第10题)
(第11题)
11.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点.若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
面积的计算
12.如图,正方形ABCD的边长为2,N为AD上一点,连接BN,AM⊥BN于点M,连接CM,且CM=CB.若AM=2,则△BCM的面积为 ( )
(第12题)
A.4 B.6 C.8 D.16
13.如图,菱形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD上的点,连接CE,CF,EF,AC与EF相交于点G.若BE=AF=1,∠BAD=120°,则S△AGF∶S△AGE的值为 .
(第13题)
14.如图,E为矩形ABCD边AB上一点,AB=14,CE=13,DE=15,CF⊥DE于点F,连接AF,BF,则△ABF的面积为 .
(第14题)专题二 《特殊平行四边形》中的有关计算
角度的计算
1.(2025·重庆八中)如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,交AB于点E,连接DF.若∠BAD=α,则∠CDF的度数为 ( C )
A.α B.α
C.180°-α D.180°-2α
(第1题)
(第2题)
2.如图,E,F,G分别是正方形ABCD的边AD,BC,AB上的点,连接DG,EF,GF,且EF=DG,DE=2AG.若∠ADG=α,则∠EFG的度数为 ( C )
A.α B.2α C.45°-α D.45°+α
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=BO,AE平分∠BAD交BC于点E,以EC为边向矩形内作等边三角形ECF,连接DF.则∠BDF的度数为 ( C )
A.10° B.12° C.15° D.17°
解析:过点F作FH⊥CD于点H,易得△ODC为等边三角形,AB=BE,则∠ODC=60°.设AB=CD=BE=a,则AC=BD=2a,BC=a,∴CE=CF=(-1)a,∴FH=a,CH=a,∴DH=a=FH,∴∠FDH=45°,∴∠BDF=15°.故选C.
(第3题)
(第4题)
4.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,点P是DF的中点,连接AP,EP.若AP=AD,BE=BF,则∠BEP的度数为 ( C )
A.60° B.65° C.75° D.80°
提示:连接DE,EF,CP,BP,过点A作AH⊥DF于点H.则可得∠BEF=45°,DP=CP=PF,∴∠PFC=∠PCF=∠ADP,由此可证△ADP≌△BCP,从而可得△ABP为等边三角形,即∠BAP=60°,∴∠DAH=∠DAP=15°,∴∠FDC=15°.易证Rt△DAE≌Rt△DCF,由此易得△DEF为等边三角形,∴∠FEP=∠DEF,最后由∠BEP=∠BEF+∠FEP求解即可.
线段长度的计算
5.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点E在AB边上,点F在OD上,过点E作EG⊥BD,垂足为G.若FE=FC,EF⊥CF,OF=3,则BE的长为 ( B )
A.3 B.3 C.3 D.2
(第5题)
(第6题)
6.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,E为正方形内一点,连接BE,BE=BA,连接CE并延长,与∠ABE的平分线交于点F,连接OF.若AB=2,则OF的长度为 ( D )
A.2 B. C.1 D.
提示:过点B作BH⊥CF于点H,连接AF.则易证△ABF≌△EBF,∴∠AFB=∠EFB.易得∠FBH=∠ABC=45°,∴∠BFH=45°,∴∠AFC=90°,∴OF=AC,由此即可求出OF的长.
7.如图,AC是正方形ABCD的一条对角线,E是AC上一点,F是BC延长线上一点,连接BE,EF,DF.若AB=AE,EB=EF=4,则DF的长为 ( B )
(第7题)
A.4 B.4 C.2 D.2
8.如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,过点B作BE⊥AB交CD于点E,连接AE,F为AE的中点,H为BE的中点,连接FH和CF,CF交BE于点G,则GF的长为 ( D )
A.3 B. C.2 D.
(第8题)
(第9题)
9.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为 ( D )
A.2 B.4 C.4 D.6
10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E在CB的延长线上,连接AE,点F是AE的中点,连接OF交AB于点G,连接BF.若BE=2,OF=5,则BF的长为 .
(第10题)
(第11题)
11.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点.若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
面积的计算
12.如图,正方形ABCD的边长为2,N为AD上一点,连接BN,AM⊥BN于点M,连接CM,且CM=CB.若AM=2,则△BCM的面积为 ( C )
(第12题)
A.4 B.6 C.8 D.16
13.如图,菱形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD上的点,连接CE,CF,EF,AC与EF相交于点G.若BE=AF=1,∠BAD=120°,则S△AGF∶S△AGE的值为 1∶3 .
(第13题)
14.如图,E为矩形ABCD边AB上一点,AB=14,CE=13,DE=15,CF⊥DE于点F,连接AF,BF,则△ABF的面积为 36.96 .
(第14题)
提示:由CF2=CD2-DF2=CE2-EF2,可求得DF,CF的长;由AD2=BC2=DE2-AE2=CE2-BE2,可求得AD的长;易知S△ABF+S△CDF=S矩形ABCD,由此即可求解.
