7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的
对应线段的比
学用P
1.已知△ABC∽△DEF,=.若AC=3,则DF等于 ( )
A.4 B.6 C.8 D.16
2.若两个相似三角形的对应边之比为2∶3,则它们对应的角平分线之比为 ( )
A.4∶9 B.2∶3 C.1∶3 D.∶
3.下列说法:
①相似三角形对应角的比等于相似比;
②相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比;
③相似三角形对应中线的比等于相似比;
④相似比等于1的两个三角形全等.
其中正确的说法有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.【跨学科融合】据《墨经》记载,在两千多年前,我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验,阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD.若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为 cm.
(第4题)
5.已知△ABC∽△A1B1C1,AD,BE分别是△ABC的高和中线,A1D1,B1E1分别是△A1B1C1的高和中线,且AD=5 cm,A1D1=4 cm,BE=6 cm,则B1E1的长为 cm.
6.已知两个相似三角形对应角平分线的比为3∶10,且这两个三角形的一对对应高之差为56 cm,则这两个三角形对应高的长分别为 .
7.如图,有一侦查员在距敌方200 m处发现敌人的一座建筑物DE,但不知其高度,又不能靠近建筑物测量,机灵的侦查员立即将食指竖直举在右眼前,闭上左眼,并将食指前后移动,使食指恰好将建筑物遮住.若此时眼睛到食指BC的距离约为40 cm,食指的长约为8 cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE的高度吗 请写出你的推理过程.
(第7题)
学用P
8.如图,在△ABC中,AB=9,AC=12,D为AB上一点,且AD=AB,在AC上取一点E.若以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为 ( )
A.8 B. C.8或 D.8或
(第8题)
(第9题)
9.(2025·重庆育才)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB中点,连接CD.点E是BD中点,过点E作EF⊥AC于点F,EF交CD于点G.若EG=2,则FG= .
(第10题)
10.如图,E是正方形ABCD的边CD上的一点,连接AE,点F为AE的中点,过点F作AE的垂线分别交AD,BC于点M,N,连接AN.若AB=3DE=6,则△AMN的面积为 .
11.现有一块直角三角形木板,AC=4 m,BC=3 m.要把它加工成面积最大的正方形桌面,甲、乙二人加工方法分别如图1和图2所示.请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.
(第11题)
(敢于挑战,突破自我)学用P
(第12题)
12.(2025·重庆巴蜀)如图,在 ABCD中,∠BAD和∠ADC的平分线交于点E,延长AE交BC的延长线于点F,交CD于点G.若AD=3,AB=5,DE=,则FG的长是 .
13.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,F为AB上一点,且EF=EB,连接CF,DF,DF交AC于点G,且△DGC∽△ADC.
(1)求证:CD=CF;
(2)H为线段DG上一点,连接AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=5,CD=3,求的值.
(第13题)
第2课时 相似三角形中的周长比
及面积比
学用P
1.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是 ( )
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
2.如图,在 ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF∶S△ABF=4∶25,则DE∶EC等于 ( )
A.2∶5 B.2∶3 C.3∶5 D.3∶2
(第2题)
(第3题)
3.如图,在△ABC中,P是边BC上一点,按以下步骤作图:①以点B为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,BC于点E,F;②以点P为圆心,以BE长为半径作弧,交PC于点F';③以点F'为圆心,以EF长为半径作弧,在∠ACB内部交前面的弧于点E';④连接PE'交AC于点Q.若=,则△CPQ与四边形ABPQ的面积比为 ( )
A. B. C. D.
4.△ABC和△DEF的三边长分别为7,2,6和18,6,21,则△ABC与△DEF的面积比为 .
5.(2025·重庆大渡口区)如果两个相似三角形的面积之比为4∶9,这两个三角形的周长的和是100 cm,那么较小的三角形的周长为 cm.
(第6题)
6.如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,且△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点.若=,则= .
7.如图,△ABC是等边三角形,且被一矩形所截,AB被截成三等分,EH∥BC.若图中阴影部分的面积是12,求四边形BCGF的面积.
(第7题)
学用P
8.已知△ABC∽△A'B'C',且△A'B'C'的面积为6,△A'B'C'的周长是△ABC周长的,AB=8,则AB边上的高等于 ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
9.(2025·成都七中)如图,B,F,C三点共线,AC与BD交于点E,EF∥AB∥DC.若BF∶CF=5∶7,则的值为 .
(第9题)
(第10题)
10.如图,DE是△ABC的中位线,点M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S△DMN∶S△CEM等于 .
11.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M为AD上一点,且DM=2MA,连接CM交BD于点N,且ON=1.
(1)求BD的长;
(2)若△DMN的面积为4,求四边形ABNM的面积.
(第11题)
(敢于挑战,突破自我)学用P
(第12题)
12.如图,△ABC的两条中线AD,BE交于点O,BM=BC,连接MO并延长MO交AC于点N,若S△OMD=1,则S△MCN= ( )
A.6 B.8 C.9 D.12
(第13题)
13.如图,在平面直角坐标系中,点C(-4,0),点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,线段OA,OB的长度都是方程x2-3x+2=0的解,且OB>OA.若点P从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线CB运动,连接OP,AP.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求出△AOP的面积S关于点P的运动时间t(s)的函数表达式;
(3)在点P的运动过程中,试探究:△AOP的周长最小时点P运动的时间.7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的
对应线段的比
学用P
1.已知△ABC∽△DEF,=.若AC=3,则DF等于 ( B )
A.4 B.6 C.8 D.16
2.若两个相似三角形的对应边之比为2∶3,则它们对应的角平分线之比为 ( B )
A.4∶9 B.2∶3 C.1∶3 D.∶
3.下列说法:
①相似三角形对应角的比等于相似比;
②相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比;
③相似三角形对应中线的比等于相似比;
④相似比等于1的两个三角形全等.
其中正确的说法有 ( C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.【跨学科融合】据《墨经》记载,在两千多年前,我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验,阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示,光线经过小孔O,物体AB在幕布上形成倒立的实像CD.若物体AB的高为6 cm,小孔O到物体和实像的水平距离BE,CE分别为8 cm,6 cm,则实像CD的高度为 4.5 cm.
(第4题)
5.已知△ABC∽△A1B1C1,AD,BE分别是△ABC的高和中线,A1D1,B1E1分别是△A1B1C1的高和中线,且AD=5 cm,A1D1=4 cm,BE=6 cm,则B1E1的长为 4.8 cm.
6.已知两个相似三角形对应角平分线的比为3∶10,且这两个三角形的一对对应高之差为56 cm,则这两个三角形对应高的长分别为 24 cm,80 cm .
7.如图,有一侦查员在距敌方200 m处发现敌人的一座建筑物DE,但不知其高度,又不能靠近建筑物测量,机灵的侦查员立即将食指竖直举在右眼前,闭上左眼,并将食指前后移动,使食指恰好将建筑物遮住.若此时眼睛到食指BC的距离约为40 cm,食指的长约为8 cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE的高度吗 请写出你的推理过程.
(第7题)
(答案图)
解:如答案图,过点A作AG⊥BC于点G,并延长交DE于点F.
∵BC∥DE,∴AF⊥DE,△ADE∽△ABC,
∴=.
∵AF=200 m,BC=0.08 m,AG=0.4 m,
∴DE==40 m,
即敌方建筑物DE的高度为40 m.
学用P
8.如图,在△ABC中,AB=9,AC=12,D为AB上一点,且AD=AB,在AC上取一点E.若以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为 ( C )
A.8 B. C.8或 D.8或
(第8题)
(第9题)
9.(2025·重庆育才)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB中点,连接CD.点E是BD中点,过点E作EF⊥AC于点F,EF交CD于点G.若EG=2,则FG= .
(第10题)
10.如图,E是正方形ABCD的边CD上的一点,连接AE,点F为AE的中点,过点F作AE的垂线分别交AD,BC于点M,N,连接AN.若AB=3DE=6,则△AMN的面积为 10 .
11.现有一块直角三角形木板,AC=4 m,BC=3 m.要把它加工成面积最大的正方形桌面,甲、乙二人加工方法分别如图1和图2所示.请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.
(第11题)
(答案图)
解:图1的加工方法符合要求.理由如下:
设图1加工桌面长x m.
∵DF∥BC,∴Rt△AFD∽Rt△ACB,
∴=,即=,解得x=.
设图2加工桌面长y m.如答案图,过点C作CM⊥AB,垂足为M,CM与GF交于点N.
在Rt△ACB中,AC=4 m,BC=3 m,
∴AB=5 m,∴CM==2.4 m.
∵GF∥DE,∴△CGF∽△CAB,
∴=,即=,解得y= .
∵=>,∴x2>y2,
∴图1的加工方法符合要求.
(敢于挑战,突破自我)学用P
(第12题)
12.(2025·重庆巴蜀)如图,在 ABCD中,∠BAD和∠ADC的平分线交于点E,延长AE交BC的延长线于点F,交CD于点G.若AD=3,AB=5,DE=,则FG的长是 .
13.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC平分∠DAB,过点C作CE⊥AB于点E,F为AB上一点,且EF=EB,连接CF,DF,DF交AC于点G,且△DGC∽△ADC.
(1)求证:CD=CF;
(2)H为线段DG上一点,连接AH,若∠ADC=2∠HAG,AD=5,CD=3,求的值.
(第13题)
(1)证明:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC.
在△ADC和△ABC中,
∴△ADC≌△ABC(SAS),
∴CD=CB.
∵CE⊥AB,EF=EB,
∴CF=CB,∴CD=CF.
(2)解:∵△DGC∽△ADC,
∴∠DGC=∠ADC.
∵∠ADC=2∠HAG,∴∠DGC=2∠HAG.
∵∠DGC=∠HAG+∠AHG,
∴∠AHG=∠HAG,∴AG=GH.
∵∠CDG=∠DAC=∠FAG,∠DGC=∠AGF,
∴△DGC∽△AGF,
∴△AGF∽△ADC,
∴==,∴=.
第2课时 相似三角形中的周长比
及面积比
学用P
1.(2024·内江)已知△ABC与△DEF相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△DEF的周长之比是 ( B )
A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
2.如图,在 ABCD中,E为CD上一点,连接AE,BD,且AE,BD交于点F,S△DEF∶S△ABF=4∶25,则DE∶EC等于 ( B )
A.2∶5 B.2∶3 C.3∶5 D.3∶2
(第2题)
(第3题)
3.如图,在△ABC中,P是边BC上一点,按以下步骤作图:①以点B为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,BC于点E,F;②以点P为圆心,以BE长为半径作弧,交PC于点F';③以点F'为圆心,以EF长为半径作弧,在∠ACB内部交前面的弧于点E';④连接PE'交AC于点Q.若=,则△CPQ与四边形ABPQ的面积比为 ( B )
A. B. C. D.
4.△ABC和△DEF的三边长分别为7,2,6和18,6,21,则△ABC与△DEF的面积比为 .
5.(2025·重庆大渡口区)如果两个相似三角形的面积之比为4∶9,这两个三角形的周长的和是100 cm,那么较小的三角形的周长为 40 cm.
(第6题)
6.如图,点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,且△ADE∽△ABC,M,N分别是DE,BC的中点.若=,则= .
7.如图,△ABC是等边三角形,且被一矩形所截,AB被截成三等分,EH∥BC.若图中阴影部分的面积是12,求四边形BCGF的面积.
(第7题)
解:由题意可知,EH∥FG∥BC,
∴△AEH∽△AFG,
△AEH∽△ABC.
∵AE=EF=BF,
∴=,=,
∴==,==,
∴S△AFG=4S△AEH,S△ABC=9S△AEH,
设S△AEH=x,则S△AFG=4x,S△ABC=9x,
∴S阴=4x-x=12,解得x=4,
∴S四边形BCGF=9x-4x=20.
学用P
8.已知△ABC∽△A'B'C',且△A'B'C'的面积为6,△A'B'C'的周长是△ABC周长的,AB=8,则AB边上的高等于 ( B )
A.3 B.6 C.9 D.12
9.(2025·成都七中)如图,B,F,C三点共线,AC与BD交于点E,EF∥AB∥DC.若BF∶CF=5∶7,则的值为 .
(第9题)
(第10题)
10.如图,DE是△ABC的中位线,点M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S△DMN∶S△CEM等于 1∶3 .
11.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,M为AD上一点,且DM=2MA,连接CM交BD于点N,且ON=1.
(1)求BD的长;
(2)若△DMN的面积为4,求四边形ABNM的面积.
(第11题)
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
OB=OD,
∴△DMN∽△BCN,
∴=.
∵DM=2MA,∴DM=AD=BC,
∴=,∴=,∴=,∴=.
∵ON=1,∴OD=5,∴BD=10.
(2)由(1)可得△DMN∽△BCN,==,
∴==.
∵S△DMN=4,∴S△BCN=9,∴S△DCN=9×=6,
∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△DCN=15,
∴S四边形ABNM=S△ABD-S△DMN=15-4=11.
(敢于挑战,突破自我)学用P
(第12题)
12.如图,△ABC的两条中线AD,BE交于点O,BM=BC,连接MO并延长MO交AC于点N,若S△OMD=1,则S△MCN= ( B )
A.6 B.8 C.9 D.12
提示:由BM=BC,BD=BC,可得BM=2MD,∴==2,∴S△OBD=3,连接DE,易证△ODE∽△OAB,∴===,∴S△ODE=,S△AOB=6,S△AOE=3,S△CED=,∴S△ABC=18,易证MN∥DE∥AB,∴==,∴S△MCN=8.
(第13题)
13.如图,在平面直角坐标系中,点C(-4,0),点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,线段OA,OB的长度都是方程x2-3x+2=0的解,且OB>OA.若点P从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线CB运动,连接OP,AP.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求出△AOP的面积S关于点P的运动时间t(s)的函数表达式;
(3)在点P的运动过程中,试探究:△AOP的周长最小时点P运动的时间.
解:(1)△ABC为直角三角形.理由如下:
∵x2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,
∴x1=1,x2=2.
∵OB>OA,∴OA=1,OB=2.
∵OC=4,∴OB2=OA·OC,即= .
又∵∠AOB=∠BOC=90°,∴△AOB∽△BOC,
∴∠ABO=∠BCO,则∠ABC=∠ABO+∠OBC=∠BCO+∠OBC=90°,
∴△ABC为直角三角形.
(2)如答案图1,过点P作PD⊥AC于点D.
∵OB=2,OC=4,∴BC=2.
∵PC=t,PD∥OB,∴△CDP∽△COB,
∴=,即=,∴PD==t,
∴S=OA·PD=×1×t=t.
(答案图1) (答案图2)
(3)易得直线BC的表达式为y=x+2.
如答案图2,延长AB至点A',使BA'=AB,连接A'O,交BC于点P,连接AP.
易得AP=A'P,则此时△AOP的周长最小.
易得A'(-1,4),
∴直线OA'的表达式为y=-4x.
联立解得
∴P.∴S=OA·yP=×1×=.
由t=,解得t=,
∴△AOP的周长最小时点P运动的时间为 s.
