2025-2026学年重庆市巴渝学校九年级（上）开学数学试卷(含部分答案)

2025-2026学年重庆市巴渝学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴.徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列各式中，属于分式的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列由左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A. （3+x）（3-x）=9-x2 B. x2+2x+2=x（x+2）+2
C. x2-10=（x+3）（x-3）-1 D. a2-8a+16=（a-4）2
4.一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于（　　）
A. 1080° B. 900° C. 1440° D. 720°
5.若x＜3，则下列各式中错误的是（　　）
A. x-2＜1 B. 3x＜9 C. -4x＜-12 D.
6.在四边形ABCD中，若∠A=∠C，则添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AD=BC B. AB∥CD C. AD∥BC D. ∠B=∠D
7.全国两会期间，DeepSeek大火，从大会发言人、部长们的点赞，到代表委员们的热议，DeepSeek参与掀起的“人工智能+”浪潮席卷而来.某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据.已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时.若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成.设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，∠C=50°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△A′B′C′，当点B′落在边BC上时，AC′∥BC，则∠B的度数为（　　）
A. 50°
B. 65°
C. 70°
D. 80°
9.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB的垂直平分线交BC于D，交∠ACB的角平分线于E，连接AE、BE，若BE=3， ADE的周长为12，则CE的长度是（　　）
A. B. C. D. 10
10.已知单项式串：，其中a1，a2， ，an，n均为正整数，且1≤a1≤a2≤ ≤an≤n,规定：T1=a1x+1，，整式Tn的所有系数之和记作F（n）.例如：因为T1=a1x+1，所以F（1）=a1+1；因为，所以F（2）=a2+a1+2.
①当n=2时，满足条件的所有整式T2的和为5x2+4x+6；
②当n=3时，F（3）的值有10种不同的可能；
③若为整数，则满足条件的所有整数x之和为-6.
以上说法中正确的个数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.将点A（1，3）向左平移4个单位长度，得到的点的坐标是______.
12.已知x-y=5，xy=3，则xy2-x2y=______.
13.一次函数y=（a2+1）x-b与x轴的交点为（-2，0），则不等式（a2+1）x＞b的解为______.
14.如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若∠A=60°，AD=4，AB=6，则CE的长为 .
15.若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 .
16.如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“双倍递增数”.例如：四位数5132，∵51+13=2×32=64，∴5132是“双倍递增数”；又如：四位数5314，∵53+31=84≠2×14，∴5314不是“双倍递增数”.若一个“双倍递增数”为，则这个数为______；若一个“双倍递增数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的2倍的差能被13整除，且是整数，则满足条件的数是______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）因式分解：3ax2-6ax+3a；
（2）化简：.
18.(本小题8分)
（1）解不等式组：；
（2）解方程：.
19.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，∠ABC的角平分线交AC于点E.
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ADC的角平分线，交AC于点F.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接BF、DE，求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，∠ABC= ______，
∴∠BAE=∠DCF.
又∵BE、DF分别平分∠ABC、∠CDA.
∴，.
∴∠ABE=∠CDF，
在△BAE和△DCF中：
，
∴△BAE≌△DCF（ASA），
∴BE=DF，∠AEB= ______，
∴180°-∠AEB=180°-∠CFD，
∴ ______，
∵BE∥DF，
∴BE=DF，BE∥DF.
∴四边形BEDF是平行四边形（______）（填依据）.
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
21.(本小题10分)
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上.
（1）若点B的坐标为（-5，-3），请你在网格中建立适当的平面直角坐标系，并写出点A，C的坐标；
（2）以（1）中建立的平面直角坐标系的原点为旋转中心，将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请你画出△A1B1C1.
（3）连接AA1，A1C，求△AA1C的面积.
22.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，且BC⊥EF，点D为EC的中点，EF=．
（1）求证四边形ABDE是平行四边形；
（2）求AB的长度．
23.(本小题10分)
端午将近，某超市计划购进鲈鱼和鲢鱼.已知每斤鲢鱼的进价比每斤鲈鱼的进价多6元，超市第一次用175元购进的鲢鱼数量和用100元购进的鲈鱼数量相同.
（1）求每斤鲈鱼的进价是多少元？
（2）由于鲢鱼和鲈鱼畅销，超市决定再次用不超过3600元的资金购进鲢鱼和鲈鱼共300斤，其中鲈鱼的数量不多于鲢鱼数量的2倍，且鲢鱼和鲈鱼的进价保持不变.若每斤鲢鱼的售价为20元，每斤鲈鱼的售价为12元，若第二次购进的鲢鱼和鲈鱼全部售出，请问当第二次购进鲢鱼多少斤时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
24.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，与直线交于点C.其中B（0，8），C点横坐标为6.
（1）求直线l1的解析式；
（2）如图2，点P是线段OC上的一动点（不与端点重合），过点P作PQ∥y轴交l1于点Q，过点Q向y轴作垂线，垂足为M，连接PM，若四边形PCQM的面积为9，求此时点P的坐标；
（3）点E为直线l2上的一点，当∠EBC+∠AOC=45°时，直接写出所有符合条件的点E的坐标.
25.(本小题10分)
如图，在等边△ABC中，点D是平面内一点.
（1）如图1，若点D在BC的延长线上，且∠ADB=45°，CD=1，求AB的长；
（2）如图2，若点D在AC的垂直平分线上，DE∥AB交BC于点E，点F是CD的中点，连接EF，AF，AE，猜想AE与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若点D在BC的延长线，连接AD，点M是AD的中点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AP，连接CP，点Q是CP的中点，连接MQ，AB=4，直接写出MQ的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】（-3，3）
12.【答案】-15
13.【答案】x＞-2
14.【答案】
15.【答案】12
16.【答案】9153 4867
17.【答案】3a（x-1）2；

18.【答案】-2≤x≤-1；
无解
19.【答案】见解析；
∠ CDA，∠ABE=∠CDF，∠CFD．∠BEF=∠DFE，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
20.【答案】a2-4，-3．
21.【答案】解：（1）如图所示建立平面直角坐标系，A（-3，0），C（-1，-2）．
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（3）如图，
△AA1C的面积=．
答：△AA1C的面积为6．
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
∵点D为EC的中点，
∴CD=DE，
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
（2）解：∵BC⊥EF，
∴∠CFE=90°，
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=90°-∠ECF=30°，
∴CE=2CF，
∴EF===CF=，
∴CF=1，
∴CE=2，
由（1）可知，AB=CD=DE，
∴AB=CE=1．
23.【答案】8；
200，1600．
24.【答案】y=-x+8；
P（，）；
（，）或（，）．
25.【答案】解：（1）过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：
则∠AED=∠AEB=90°，
∵∠ADB=45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∵△ABC为等边三角形，AE⊥CD，
∴，，
设AB=AC=x,则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）AE=2EF；理由如下：
延长EF，截取FG=EF，连接AG，CG，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
∵AB=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠CBD=∠BDE，
∴BE=DE，
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∵∠DFG=∠CFG，EF=GF，
∴△DFE≌△CFG（SAS），
∴DE=CG，
∴CG=BE，∠CGF=∠DEF，
∴CG∥DE，
∵DE∥AB，
∴CG∥AB，
∴∠ACG=∠BAC=60°，
∴∠ABE=∠ACG，
∵AB=AC，BE=CG，
∴△ABE≌△ACG（SAS），
∴AG=AE，∠BAE=∠CAG，
∴∠EAG=∠CAG+∠EAC=∠BAE+∠EAC=60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴AE=EG，
∵EG=EF+FG=2EF，
∴AE=2EF；
（3）连接CM并延长，取MN=CM，连接AN并延长，过点P作PG∥AC，交AN于点G，连接PN，取AC的中点H，连接HM并延长，交CP于点F，过点C作CE⊥HM于点E，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵将AD绕点A逆时针旋转60°得到AP，
∴AP=AD，∠PAD=60°，
∴∠BAC=∠PAD，
∴∠BAC+∠CAD=∠PAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAP，
∴△ABD≌△ACP（SAS），
∴BD=CP，∠ACP=∠B=60°，
∴∠PCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠PCD=∠B，
∴CP∥AB，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
∵CM=MN，∠CMD=∠NMA，
∴△AMN≌△DMC（SAS），
∴AN=DC，∠NAM=∠CDM，
∴AN∥BD，
∴∠NAC=∠ACB=60°，
∵CP∥AB，
∴四边形ABCL为平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCL为菱形，
∴AL=CL，∠ALC=∠B=60°，
∵PG∥AC，
∴∠GPL=∠ACP=60°，∠PLG=∠ALC=60°，
∴△PLG为等边三角形，
∴PG=LG=PL，∠PGA=60°，
∴AL+LG=PL+LC，
∴AG=PC，
∴AG=BD，
∴AL+LG=BC+CD，
∴PG=LG=CD，
∵CD=AN，
∴PG=AN，
∴AN+NG=BC+CD，
∴NG=BC=AC，
∵∠PGA=∠NAC=60°，
∴△ACN≌△GNP（SAS），
∴PN=NC，
∵M为CN中点，Q为CP中点，
∴，
∵CM=CN，
∴CM=MQ，
∵H为AC中点，M为CN中点，
∴HM∥CD，
∴点M一定在过点H平行于CD的直线上，
∵垂线段最短，
∴当M在点E处时，CM最小，即MQ最小，
∵H为AC中点，
∴，
∵HM∥CD，
∴∠FHC=∠ACB=60°，∠HFC=∠FCD=60°，
∴△HCF为等边三角形，
∴HF=HC=2，
∵CE⊥HF，
∴HE=HF=1，
∴，
∴MQ的最小值为．
第1页，共1页