2025-2026学年陕西省西安市高新一中沣东中学初中校区九年级（上）开学数学试卷(含部分答案)

2025-2026学年陕西省西安市高新一中沣东中学初中校区九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式变形正确的是（　　）
A. 若a＜b,则1+a＜1+b B. 若a＜b,则ax2＜bx2
C. 若ac＞bc,则a＞b D. 若m＞n,则m-1＜n-1
2.下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. ax2+bx+c=0 B.
C. x2=x（x+1） D. （x+1）（x-1）=0
3.在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（　　）
A. ∠C+∠D=180° B. AD=BC C. AB=CD D. AD∥BC
4.近年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分面积的频率稳定在0.7左右，则据此估计此二维码中白色部分的面积为（　　）
A. 9.6
B. 11.2
C. 4.8
D. 0.3
5.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=25°，则旋转角α的度数是（　　）
A. 48°
B. 50°
C. 52°
D. 55°
6.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE=3，OB=4，则CE的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长等于（　　）
A. 2
B.
C.
D.
8.已知关于x的分式方程+2=-的解为非负数，则正整数m的所有个数为（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式x2-2xy+y2-1=______．
10.若关于x的一元二次方程（a-1）x2+a+a2-1=0的一个根是0，则a的值是______．
11.如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC=5，AD=10，BE=，则AB的长是______．
12.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为 .
13.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
14.列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克.
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
四、解答题：本题共11小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题7分)
（1）解方程：2x2+5x-1=0；
（2）解不等式组：.
16.(本小题7分)
先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值.
17.(本小题7分)
如图，在四边形ABCD中，AB=AD，请用直尺和圆规在CD上求作一点E，使S△ADE=S△ABE.
18.(本小题7分)
一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多180°，求这个多边形的边数.
19.(本小题7分)
如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB=CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌△Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程．
20.(本小题7分)
某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个，求篮球、排球的进价分别为每个多少元？
21.(本小题7分)
央视春晚的西安分会场与动画片《长安三万里》形成联动，让李白穿越千年，在古城西安现身，使得除夕夜的西安犹如回到了繁荣兴旺的长安时代.李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”.《将进酒》是李白不受重用，接连受到打击后满怀愤慨所作的名篇.小明和小刚将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏.
（1）小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为______；
（2）小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率.
22.(本小题7分)
阅读材料：若m2-2mn+2n2-10n+25=0，求m,n的值.
解：∵m2-2mn+2n2-10n+25=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-10n+25）=0.
∴（m-n）2+（n-5）2=0.
∴m-n=0，n-5=0.
∴n=5，m=5.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+4xy+5y2+4y+4=0，求xy的值；
（2）已知：△ABC的三边长a,b,c都是正整数，且满足：a2+b2-14a-16b+113=0，求△ABC的周长的最大值.
23.(本小题7分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=AC，连接CE，AE.
（1）求证：四边形ECOD是矩形；
（2）若BD=4，AE=2，求平行线AD与BC间的距离.
24.(本小题7分)
如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，若OA=8，OB=16，点C为y轴上一点，且点C的坐标为（0，6）.
（1）求直线AB的表达式；
（2）点P为x轴上一个动点，点Q为直线AB上一个动点，如果以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，求点Q的坐标.
25.(本小题4分)
【问题提出】如图（1），P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转与△CBQ重合，若PB=4，则PQ= ______（直接写出答案）.
【问题探究】如图（2），点P是等边△ABC内一点，PA=1，PB=，PC=2，求∠APB的度数.
对于这个问题，小明是这样思考的：将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°至△CBQ处，连接PQ，根据所学习的数学知识便可以求出∠APB的度数.请你根据小明的想法，作出图形，并求出∠APB的度数.
【问题解决】如图（3），△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=90°，AB=AC=2，P是△ABC内部一点，当CP+AP+BP取得最小值时，请求出△ABP的面积.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】（x-y+1）（x-y-1）
10.【答案】-，--
11.【答案】12
12.【答案】25
13.【答案】+1
14.【答案】解：设每千克降低x元，超市每天可获得销售利润3640元，由题意得，
（38-x-22）（160+×120）=3640，
整理得:x2-12x+27=0，
∴解得：x=3或x=9．
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x=9，
∴售价为38-9=29（元）．
答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元．
15.【答案】；
0≤x＜3
16.【答案】解：原式=（-）
=
=，
由题意得：x-2≠0且x-1≠0，
∴x≠1和2，
当x=3时，原式==．
17.【答案】见解析．
18.【答案】解：设这个多边形的边数是n,
（n-2）×180°=2×360°+180°，
解得n=7．
∴这个多边形的边数是7．
19.【答案】条件是EC=BF，
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
∵EA⊥AB，FD⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△AEC和△Rt△DFB中
∴Rt△AEC≌△Rt△DFB（HL）．
20.【答案】解：设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，
根据题意得，
解得x=80（元），
经检验x=80是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=120（元），
答：篮球的进价为每个120元，排球的进价为每个80元．
21.【答案】．

22.【答案】；
29
23.【答案】见解析；
．
24.【答案】y=-2x+16；
Q点坐标为（11，-6）或（5，6）．
25.【答案】4；
150°；
．
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