3.1 字母表示数同步测试（解析版）

3.1
字母表示数
同步测试
一、选择题（共7小题）
1．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（　　）
A．（31，50）
B．（32，47）
C．（33，46）
D．（34，42）
2．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（　　）
A．46
B．45
C．44
D．43
3．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（　　）
A．135
B．170
C．209
D．252
4．一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（　　）
A．8
B．9
C．13
D．15
5．从1开始得到如下的一列数：
1，2，4，8，16，22，24，28，…
其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（　　）
A．21
B．22
C．23
D．99
6．观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．下面是按照一定规律排列的一列数：
第1个数：﹣（1+）；
第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；
第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；
…
依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（　　）
A．第10个数
B．第11个数
C．第12个数
D．第13个数
　
二、填空题（共22小题）
8．观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是　　　　　　．
9．观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是　　　　　　．
10．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=　　　　　　．
11．请观察下列等式的规律：
=（1﹣），=（﹣），
=（﹣），=（﹣），
…
则+++…+=　　　　　　．
12．下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为　　　　　　．
13．（2015 常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4=2+2；　　　　　
12=5+7；
6=3+3；　　　　　
14=3+11=7+7；
8=3+5；　　　　
　16=3+13=5+11；
10=3+7=5+5　　　
18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是　　　　　　（请用文字语言表达）．
14．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是　　　　　　．
15．一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，xn=（n为不小于2的整数），则x2015=　　　　　　．
16．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为　　　　　　．
17．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=　　　　　　．
18．观察下列一组数：，，，，，，，，，，，，，，，…它们是按分子，分母和的递增顺序排列的（和相等的分数，分子小的排在前面），那么这一组数的第108个数是　　　　　　．
19．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是　　　　　　．
20．已知：一组数1，3，5，7，9，…，按此规律，则第n个数是　　　　　　．
21．观察下列等式：12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015=　　　　　　．
22．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：
，
如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为　　　　　　．
23．将连续正整数按如下规律排列：
若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=　　　　　　．
24．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是　　　　　　．
25．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是　　　　　　．
26．小明写出如下一组数：，﹣，，﹣，…，请用你发现的规律，猜想第2014个数为　　　　　　．
27．已知==3，
==10，
==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算=　　　　　　．
28．一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式　　　　　　．
29．观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=　　　　　　．
　
三、解答题（共1小题）
30．阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为　　　　　　，第4项是　　　　　　．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
=q，
=q，
=q，…
=q．
所以：a2=a1 q，a3=a2 q=（a1 q） q=a1 q2，a4=a3 q=（a1 q2） q=a1 q3，…
由此可得：an=　　　　　　（用a1和q的代数式表示）．
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
　
2016年北师大版七年级数学上册同步测试：3.1
字母表示数
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共7小题）
1．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（　　）
A．（31，50）
B．（32，47）
C．（33，46）
D．（34，42）
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．
【解答】方法一：
解：2015是第=1008个数，
设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008，
即≥1008，
解得：n≥，
当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；
当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；
故第1008个数在第32组，
第1024个数为：2×1024﹣1=2047，
第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，
则2015是（+1）=47个数．
故A2015=（32，47）．
故选B．
方法二：
由观察可知，每行的第一个数及最后一行数呈二次函数，
即n=1，s=1；n=2，s=3，n=3，s=9，
n=1，s=1；n=2，s=7，n=3，s=17，
设s=an2+bn+c，
∴，∴，
∴第一行满足函数关系式：s=2n2﹣4n+3，
∴，∴，
∴最后一行满足的函数关系式：s=2n2﹣1，
∴2n2﹣4n+3＜2015＜2n2﹣1，
∴nmin=32，
取n=32代入第一行的函数关系式：s=2n2﹣4n+3，
∴s=1923，即第32行第一个数为1923，
∴j==47，
∴A2015=（32，47）．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
　
2．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（　　）
A．46
B．45
C．44
D．43
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，然后求出到m3的所有奇数的个数的表达式，再求出奇数2015的是从3开始的第1007个数，然后确定出1007所在的范围即可得解．
【解答】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，
∴m3分裂成m个奇数，
所以，到m3的奇数的个数为：2+3+4+…+m=，
∵2n+1=2015，n=1007，
∴奇数2015是从3开始的第1007个奇数，
∵=989，
=1034，
∴第1007个奇数是底数为45的数的立方分裂的奇数的其中一个，
即m=45．
故选B．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出分裂的奇数的个数与底数相同是解题的关键，还要熟练掌握求和公式．
　
3．下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（　　）
A．135
B．170
C．209
D．252
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，左下角的数等于n+1；然后根据4﹣1=3，6﹣2=4，8﹣3=5，10﹣4=6，…，可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，据此求出a的值是多少；最后根据每个表格中右下角的数等于左下角的数与右上角的数的积加上左上角的数，求出x的值是多少即可．
【解答】解：∵a+（a+2）=20，
∴a=9，
∵b=a+1，
∴b=a+1=9+1=10，
∴x=20b+a
=20×10+9
=200+9
=209
故选：C．
【点评】此题主要考查了探寻数字规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
　
4．一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（　　）
A．8
B．9
C．13
D．15
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据每个数都等于它前面的两个数之和，可得x=1+2=3，y=x+5=3+5=8，据此解答即可．
【解答】解：∵每个数都等于它前面的两个数之和，
∴x=1+2=3，
∴y=x+5=3+5=8，
即这组数中y表示的数为8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是求出x的值是多少．
　
5．从1开始得到如下的一列数：
1，2，4，8，16，22，24，28，…
其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（　　）
A．21
B．22
C．23
D．99
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】根据数字的变化，找出规律，每4个数一组，每一组数的首数字为1，16，36，56，76，96，由此可得结果．
【解答】解：由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…
由此可知，每4个数一组，
后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，
故小于100的个数为：21个，
故选A．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，发现规律是解答此题的关键．
　
6．观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】观察数据，发现第n个数为，再将n=6代入计算即可求解．
【解答】解：观察该组数发现：1，，，，…，
第n个数为，
当n=6时，
==．
故选C．
【点评】本题考查了数字的变化类问题，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是发现第n个数为．
　
7．下面是按照一定规律排列的一列数：
第1个数：﹣（1+）；
第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；
第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；
…
依此规律，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（　　）
A．第10个数
B．第11个数
C．第12个数
D．第13个数
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】通过计算可以发现，第一个数﹣，第二个数为﹣，第三个数为﹣，…第n个数为﹣，由此求第10个数、第11个数、第12个数、第13个数的得数，通过比较得出答案．
【解答】解：第1个数：﹣（1+）；
第2个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）；
第3个数：﹣（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×（1+）；
…
∴第n个数：﹣（1+）[1+][1+]…[1+]=﹣，
∴第10个数、第11个数、第12个数、第13个数分别为﹣，﹣，﹣，﹣，其中最大的数为﹣，即第10个数最大．
故选：A．
【点评】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．
　
二、填空题（共22小题）
8．观察下列一组数：，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是　　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10个数的分子为10；分母为3，5，7，9，11，…即可得出第10个数的分母为：1+2×10=21，得出结论．
【解答】解：∵分子为1，2，3，4，5，…，
∴第10个数的分子为10，
∵分母为3，5，7，9，11，…，
∴第10个数的分母为：1+2×10=21，
∴第10个数为：，
故答案为：．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解答此题的关键．
　
9．观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是　15　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】根据每个数n都连续出现n次，可列出1+2+3+4+…+x=119+1，解方程即可得出答案．
【解答】解：因为每个数n都连续出现n次，可得：
1+2+3+4+…+x=119+1，
解得：x=15，
所以第119个数是15．
故答案为：15．
【点评】此题考查数字的规律，关键是根据题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
　
10．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a+b+c=　110　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】观察不难发现，左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数为左下和右上的积加上1的和，根据此规律列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据左上角+4=左下角，左上角+3=右上角，右下角的数为左下和右上的积加上1的和，
可得6+4=a，6+3=c，ac+1=b，
可得：a=10，c=9，b=91，
所以a+b+c=10+9+91=110，
故答案为：110
【点评】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察前三个图形，找出四个数之间的变化规律是解题的关键．
　
11．请观察下列等式的规律：
=（1﹣），=（﹣），
=（﹣），=（﹣），
…
则+++…+=　　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】观察算式可知=（﹣）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求解．
【解答】解：
+++…+
=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）
=×
=．
故答案为：．
【点评】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为=（﹣）（n为非0自然数）．
　
12．下列数据是按一定规律排列的，则第7行的第一个数为　22　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】先找到数的排列规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行的第1个数，即可求出第7行的第1个数．
【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n﹣1）个数．
所以第n行的第1个数n（n﹣1）+1．
所以n=7时，第7行的第1个数为22．
故答案为：22．
【点评】此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键．
　
13．数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4=2+2；　　　　　
12=5+7；
6=3+3；　　　　　
14=3+11=7+7；
8=3+5；　　　　
　16=3+13=5+11；
10=3+7=5+5　　　
18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是　所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和　（请用文字语言表达）．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据以上等式得出规律进行解答即可．
【解答】解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，
故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和
【点评】此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．
　
14．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第10行从左至右的第5个数是　50　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】先找到数的排列规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，即可求出第10行从左向右的第5个数．
【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n﹣1）个数．
所以第n行从左向右的第5个数n（n﹣1）+5．
所以n=10时，第10行从左向右的第5个数为50．
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了数字的变化规律，找出数字排列的规律是解决问题的关键．
　
15．一列数x1，x2，x3，…，其中x1=，xn=（n为不小于2的整数），则x2015=　2　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用2015除以3，根据商和余数的情况确定a2015的值即可．
【解答】解：根据题意得，x2==2，
x3==﹣1，
x4==，
…，
依此类推，每三个数为一个循环组依次循环，
∵2015÷3=671…2，
∴x2015是第672个循环组的第2个数，与x2相同，
即x2015=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查数字的变化规律，计算并观察出每三个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
　
16．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，按此规律，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则该报数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为　4　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据报数规律得出甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，即可得出报出的数为3的倍数的个数，即可得出答案．
【解答】解：∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束；
∴50÷4=12余2，
∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，
∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，
甲同学需报到：9，21，33，45这4个数时，应拍手4次．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了数字规律，得出甲的报数次数以及分别报数的数据是解决问题的关键．
　
17．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400=　1.6×105或160000　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．
【解答】解：∵；；；…
∴；
∴．
故答案为：1.6×105或160000．
【点评】本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．
　
18．观察下列一组数：，，，，，，，，，，，，，，，…它们是按分子，分母和的递增顺序排列的（和相等的分数，分子小的排在前面），那么这一组数的第108个数是　　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据观察数列，可发现规律：，（，），（，，），（，，，），（，，，，），，…和相等的数分别是1个，2个、3个4个…，可得答案．
【解答】解：1+2+3+4+…+14==105，
即第105个数是，
第106个数是，
第107个数是，
第108个数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了数字的变化类，发现规律：和相等的数分别是1个，2个，3个，4个是解题关键．
　
19．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是　　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】观察已知一组数发现：分子为从1开始的连续奇数，分母为从2开始的连续正整数的平方，写出第n个数即可．
【解答】解：根据题意得：这一组数的第n个数是．
故答案为：．
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
　
20．已知：一组数1，3，5，7，9，…，按此规律，则第n个数是　2n﹣1　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】观察1，3，5，7，9，…，所给的数，得出这组数是从1开始连续的奇数，由此表示出答案即可．
【解答】解：1=2×1﹣1，
3=2×2﹣1，
5=2×3﹣1，
7=2×4﹣1，
9=2×5﹣1，
…，
则第n个数是2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
【点评】此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决实际问题．
　
21．观察下列等式：12=1，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015=　1016064　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】根据1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，据此求出1+3+5+…+2015的值是多少即可．
【解答】解：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，
所以1+3+5+…+2015
=1+3+5+…+（2×1008﹣1）
=10082
=1016064
故答案为：1016064．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2．
　
22．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：
，
如果自然数m最少经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为　128、21、20、3　．
【考点】规律型：数字的变化类；推理与论证．
【专题】规律型．
【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可．
【解答】解：根据分析，可得
则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．
故答案为：128、21、20、3．
【点评】（1）此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．
（2）此题还考查了推理和论证问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊．②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
　
23．将连续正整数按如下规律排列：
若正整数565位于第a行，第b列，则a+b=　147　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】首先根据连续正整数的排列图，可得每行都有4个数，所以用565除以4，根据商和余数的情况判断出正整数565位于第几行；然后根据奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，判断出565在第几列，确定出b的值，进而求出a+b的值是多少即可．
【解答】解：∵565÷4=141…1，
∴正整数565位于第142行，
即a=142；
∵奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，
∴正整数565位于第五列，
即b=5，
∴a+b=142+5=147．
故答案为：147．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：（1）每行都有4个数．（2）奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小．
　
24．按一定规律排列的一列数依次为：，，，，…，按此规律，这列数中的第10个数与第16个数的积是　　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】首先根据，
=，可得当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，据此求出这列数中的第10个数与第16个数各是多少；然后求出它们的积是多少即可．
【解答】方法一：
解：∵，
=，
∴这列数依次为：，，，，…，
∴当这列数的分子都化成4时，分母分别是5、8、11、14、…，
∵8﹣5=11﹣8=14﹣11=3，
∴分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列，
∴这列数中的第10个数与第16个数的积是：
=
=．
故答案为：．
方法二：
将，，，化成分子相同的形式，，，，
经观察，此数列分母为一阶等差，
∴设s=kn+b，
，
∴k=3，b=2，
∴s=3n+2，
∴s10=，s16=，
∴s10×s16=．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：当这列数的分子都化成4时，分母构成以5为首项，以3为公差的等差数列．
　
25．按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是　xy=z　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】首项判断出这列数中，2的指数各项依次为
1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可．
【解答】解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，
∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．
故答案为：xy=z．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．
　
26．小明写出如下一组数：，﹣，，﹣，…，请用你发现的规律，猜想第2014个数为　﹣　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】首先判断出每个数的正负，然后根据每个数的分子分别是1、3、7、15、…，判断出第n个数的分子是多少；最后根据每个数的分母分别是5、9、17、33、…，判断出第n个数的分母是多少，进而判断出这组数的第n个数是多少，再把n=2014代入，求出第2014个数为多少即可．
【解答】解：∵这组数分别是正数、负数、正数、负数、…，
∴这组数的第n个数的正负即（﹣1）n+1的正负；
∵1=21﹣1，3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，
∴第n个数的分子是：2n﹣1；
∵5=4×（21﹣1﹣1）+5，9=4×（22﹣1﹣1）+5，17=4×（23﹣1﹣1）+5，33=4×（24﹣1﹣1）+5，
∴第n个数的分母是：4×（2n﹣1﹣1）+5=2n+1+1；
∴这组数的第n个数是：
（﹣1）n+1 ，
∴第2014个数为：
（﹣1）2014+1 =﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是求出这组数的第n个数是多少．
　
27．已知==3，
==10，
==15，…观察以上计算过程，寻找规律计算=　56　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】对于Cab（b＜a）来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始乘，乘b的个数．
【解答】解：∵
==3，
==10，
==15，
∴==56．
故答案为：56．
【点评】此题主要考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键．
　
28．一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第9个等式　92+102+902=912　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】观察不难发现，两个连续自然数的平方和加上它们积的平方，等于比它们的积大1的数的平方，然后写出即可．
【解答】解：∵12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212，…，
∴第9个等式为：92+102+（9×10）2=（9×10+1）2，
即92+102+902=912．
故答案为：92+102+902=912．
【点评】此题是对数字变化规律的考查，仔细观察底数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
　
29．观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+103=　552　．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【分析】13=12
13+23=（1+2）2=32
13+23+33=（1+2+3）2=62
13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102
13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．
【解答】解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2
所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552．
【点评】本题的规律为：从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2．
　
三、解答题（共1小题）
30．阅读下列材料，并解决相关的问题．
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，3，9，27，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=3．
则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为　2　，第4项是　24　．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：
=q，
=q，
=q，…
=q．
所以：a2=a1 q，a3=a2 q=（a1 q） q=a1 q2，a4=a3 q=（a1 q2） q=a1 q3，…
由此可得：an=　a1 qn﹣1　（用a1和q的代数式表示）．
（3）若一等比数列的公比q=2，第2项是10，请求它的第1项与第4项．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】阅读型；新定义．
【分析】（1）由第二项除以第一项求出公比q的值，确定出第4项即可；
（2）根据题中的定义归纳总结得到通项公式即可；
（3）由公比q与第二项的值求出第一项的值，进而确定出第4项的值．
【解答】解：（1）q==2，第4项是24；
（2）归纳总结得：an=a1 qn﹣1；
（3）∵等比数列的公比q=2，第二项为10，
∴a1==5，a4=a1 q3=5×23=40．
故答案为：（1）2；24；（2）a1 qn﹣1
【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．