人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》2025年单元测试卷（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《第十章复数》 2025年单元测试卷（4）
一、单选题
1.设复数满足，是虚数单位，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，和都是实数，且，则( )
A. B. C. D.
3.方程的一个根是( )
A. B. C. D.
4.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
5.复平面内表示复数的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.设复数满足其中为虚数单位，则在复平面内对应的点落在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.设，，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件
9.已知复数，则( )
A. B. C. D.
10.已知在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.在复平面内，是原点，，，对应的复数分别为，，，为虚数单位，那么对应的复数为( )
A. B. C. D.
12.已知复数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题
13.已知方程，其中，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是( )
A. 该方程一定有一对共轭虚根
B. 该方程可能有两个正实根
C. 该方程两根的实部之和等于
D. 若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于
14.设的共轭复数是，若，，则等于( )
A. B. C. D.
15.已知是虚数单位，，，定义：，，则下列命题正确的是( )
A. 对任意，都有
B. 若是的共轭复数，则恒成立
C. 若，则
D. 对任意，，，则恒成立
16.已知与是共轭虚数，以下个命题一定正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
17.是虚数单位，则复数的虚部为______．
18.已知复数，则 ______．
19.已知复数，若，则 ______， ______．
20.若复数在复平面上所对应的点在第二象限，则实数的取值范围是______．
四、解答题
21.已知是虚数单位．
是的共轭复数，求的值；
求的值．
22.已知复数，为虚数单位．
求和；
若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
23.已知复数满足，的虚部是．
求复数；
设，，在复平面上的对应点分别为，，，求的面积．
24.设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
求复数；
若为纯虚数，求实数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，
，
即所求式子表示复数在复平面内所对应的点到点的距离的倍，
，点在单位圆上，
点到点最长的距离为，
点到点最短的距离为，
复数在复平面内所对应的点到点的距离的取值范围为
故选：．
2.【答案】
【解析】是虚数单位，、是实数，且，
，
，
解得；
．
故选：．
3.【答案】
【解析】方程中，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】复数满足，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】的点位于第三象限．
故选：．
6.【答案】
【解析】由，得，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】由，得，
则，
则在复平面内对应的点的坐标为，落在第二象限．
故选：．
8.【答案】
【解析】若，则或当时，复数为纯虚数，当时，复数为实数，
所以，“”不一定得出“为纯虚数”；
若为纯虚数，则，则，
所以，“为纯虚数”一定得出“”．
所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．
故选B．
9.【答案】
【解析】，
．
故选D．
10.【答案】
【解析】在复平面内对应的点在第三象限，，，
解得．
则实数的取值范围是．
故选：．
11.【答案】
【解析】，
．
故选：．
12.【答案】
【解析】，，
．
故选：．
13.【答案】
【解析】，当，方程有两个实数根，当时，该方程有一对共轭虚根，
由韦达定理知，两个根的和为，故该方程不可能有两个正实根，
当时，即，方程的两个根为，其实部和为，虚根的模为，
故选：．
14.【答案】
【解析】设，
则，
，，
，解得，即，
．
故选：．
15.【答案】
【解析】对于，若，则，命题错误；
对于，，
，命题正确；
对于，设，，满足，但，命题错误；
对于，设，，，则：
，
，
，
，，
，命题正确．
故选：．
16.【答案】
【解析】与是共轭虚数，设，．
；，复数不能比较大小，因此不正确；
，B正确；
，C正确；
不一定是实数，因此不一定正确．
故选：．
17.【答案】
【解析】复数的虚部为，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】．
故答案为：．
利用复数与共轭复数的性质，结合复数模的运算性质进行求解即可．
本题考查了复数与共轭复数的应用，复数模的运算性质的应用，考查了运算能力与转化化归能力，属于基础题．
19.【答案】
【解析】因为复数，
所以，
所以，解得，，
故答案为：，．
20.【答案】
【解析】因为复数在复平面上所对应的点在第二象限，
所以，解得，即，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
21.【解析】因为，
所以，
所以
；
因为，
所以．
22.【解析】，
，；
复数是关于的方程的一个根，
，
，，
，解得，；
综上，．
23.【解析】设，为实数，
由题意得，，
故，，；
，，，
故A，，，
所以．
24.【解析】正数的复数，满足，
设，则，
又，
由题意，得，，
即；
为纯虚数，
，故．
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