5.3 二次函数同步练习（无答案）
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5.3
二次函数
知识点复习
考点一：二次函数的定义及用待定系数法求二次函数的解析式
1、一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
2、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：
一般式：y=ax2+bx+c
（a≠0），通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；
顶点式：y=a（x－h）2+k
（a≠0），通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；
交点式：y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；
对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（
）．
对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（
），
二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
对应考点练习：
1、如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）则抛物线的解析式为
2、竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝t2＋t，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第（
）
A．3s
B．3.5s
C．4.2s
D．6.5s
3、某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（
）
A．50m
B．100m
C．160m
D．200m
4、如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），
使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．
考点二：二次函数的图像和性质
1、抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了
，
当a>0时，开口
，在对称轴x=－的左侧（当x＜－时），y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧（当x＞－时），y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（
）为最低点；
当a<0时，开口
，在对称轴x=－的左侧（当x＜－时），y随x的增大而增大，在对称轴x=－的右侧（当x＞－时），y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（
）为最高点．
2、│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，
│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；
3、a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－<0，即对称轴在y轴左侧，当a，b异号时，对称轴x=－>0，即对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴
考点对应练习：
1、已知函数与函数的图象大致如图.若则自变量的取值范围是（ ）.
A
B.
C.
D.
2.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(
)
A．有最小值0，有最大值3。
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
。
D．有最小值－1，无最大值
…
－2
－1
0
1
2
…
…
0
4
6
6
4
…
3、抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是
．（填写序号）①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；
②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是；
④在对称轴左侧，随增大而增大．
4、下列二次函数中，图象以直线x
=
2为对称轴，且经过点(0，1)的是
(
)
A．y
=
(x
2)2
+
1
B．y
=
(x
+
2)2
+
1
C．y
=
(x
2)2
3
D．y
=
(x
+
2)2
3
5、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①
②当时，函数有最大值。③当时，函数y的值都等于0.
④其中正确结论的个数是（
）(A)1
(B)2
(C)3
(D)
4
考点三：二次函数图像的平移
二次函数图像间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图像间的平移。
在平移之前先将函数解析式化为顶点式。（上加下减，左加右减）。
1、抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是(
)
A.向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
2、将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_____
考点四：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像特征与a、b、c、b2-4ac等的符号之间的关系
1、函数图象y=ax2+（a－3）x+1与x轴只有一个交点则a的值为（
）
A、0，1
B、0，9
C、1，9
D、0，1，9
2、已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1 x2=3，那么二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（ ）
4.如下图1为抛物线的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（
）
A、
B、 C、
D、
5、二次函数=2－2－3的图象如上图2所示。当＜0时，自变量的取值范围是（
）A．－1＜＜3
B．＜－1
C．＞3
D．＜－3或＞3
6、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如上图3所示，则下列结论中正确的是(
)
A．
a>0
B．
b＜0
C．c＜0
D．a＋b＋c>0
7、如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有(
)
A．2个B．3个
C．4个D．1个
8、已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（
）
A.
B.
C.且
D.且
变式训练：已知抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是（
）
A.
B.
C.且
D.且
考点五：二次函数的应用（表达式的应用）
1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
2.如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米
．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点
．
3.（2013 泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出.
（1）设这批旅游纪念品的总获利为y元，写出y与x的函数关系式？
（2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
考点六：函数综合练习
1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
2.
某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：
如果单独投资A种产品，所获利润yＡ(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x(万元)
1
2
2.5
3
5
yＡ(万元)
0.4
0.8
1
1.2
2
信息二：
如果单独投资B种产品，则所获利润yＢ(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yＢ＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．
(1)求出yＢ与x的函数关系式．
(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yＡ与x之间的关系，并求出yＡ与x的函数关系式．
(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
3.（2014年湖南）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点，其顶点为．
（1）求，的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点，使是以
为底边的等腰三角形，求点的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点、，使以
为顶点的四边形为正方形，求此正方形
的边长．
x
y
-1
1
O
1
二次函数
知识点复习
考点一：二次函数的定义及用待定系数法求二次函数的解析式
1、一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．
2、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：
一般式：y=ax2+bx+c
（a≠0），通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；
顶点式：y=a（x－h）2+k
（a≠0），通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；
交点式：y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；
对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（
）．
对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（
），
二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．
对应考点练习：
1、如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）则抛物线的解析式为
2、竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝t2＋t，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第（
）
A．3s
B．3.5s
C．4.2s
D．6.5s
3、某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（
）
A．50m
B．100m
C．160m
D．200m
4、如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），
使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．
考点二：二次函数的图像和性质
1、抛物线y=ax2+bx+c的图像位置及性质与a，b，c的作用：a的正负决定了
，
当a>0时，开口
，在对称轴x=－的左侧（当x＜－时），y随x的增大而减小；在对称轴x=－的右侧（当x＞－时），y随x的增大而增大，此时y有最小值为y=，顶点（
）为最低点；
当a<0时，开口
，在对称轴x=－的左侧（当x＜－时），y随x的增大而增大，在对称轴x=－的右侧（当x＞－时），y随x的增大而增大，此时y有最大值为y=，顶点（
）为最高点．
2、│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，图像两边越靠近y轴，
│a│越小，开口越大，图像两边越靠近x轴；
3、a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－<0，即对称轴在y轴左侧，当a，b异号时，对称轴x=－>0，即对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y轴交于负半轴
考点对应练习：
1、已知函数与函数的图象大致如图.若则自变量的取值范围是（ ）.
A
B.
C.
D.
2.已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是(
)
A．有最小值0，有最大值3。
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
。
D．有最小值－1，无最大值
…
－2
－1
0
1
2
…
…
0
4
6
6
4
…
3、抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是
．（填写序号）①抛物线与轴的一个交点为（3,0）；
②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是；
④在对称轴左侧，随增大而增大．
4、下列二次函数中，图象以直线x
=
2为对称轴，且经过点(0，1)的是
(
)
A．y
=
(x
2)2
+
1
B．y
=
(x
+
2)2
+
1
C．y
=
(x
2)2
3
D．y
=
(x
+
2)2
3
5、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①
②当时，函数有最大值。③当时，函数y的值都等于0.
④其中正确结论的个数是（
）(A)1
(B)2
(C)3
(D)
4
考点三：二次函数图像的平移
二次函数图像间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图像间的平移。
在平移之前先将函数解析式化为顶点式。（上加下减，左加右减）。
1、抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是(
)
A.向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
2、将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_____
考点四：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像特征与a、b、c、b2-4ac等的符号之间的关系
1、函数图象y=ax2+（a－3）x+1与x轴只有一个交点则a的值为（
）
A、0，1
B、0，9
C、1，9
D、0，1，9
2、已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1 x2=3，那么二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象有可能是（ ）
4.如下图1为抛物线的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（
）
A、
B、 C、
D、
5、二次函数=2－2－3的图象如上图2所示。当＜0时，自变量的取值范围是（
）A．－1＜＜3
B．＜－1
C．＞3
D．＜－3或＞3
6、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如上图3所示，则下列结论中正确的是(
)
A．
a>0
B．
b＜0
C．c＜0
D．a＋b＋c>0
7、如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有(
)
A．2个B．3个
C．4个D．1个
8、已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（
）
A.
B.
C.且
D.且
变式训练：已知抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是（
）
A.
B.
C.且
D.且
考点五：二次函数的应用（表达式的应用）
1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
2.如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米
．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点
．
3.（2013 泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出.
（1）设这批旅游纪念品的总获利为y元，写出y与x的函数关系式？
（2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
考点六：函数综合练习
1.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
2.
某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：
如果单独投资A种产品，所获利润yＡ(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x(万元)
1
2
2.5
3
5
yＡ(万元)
0.4
0.8
1
1.2
2
信息二：
如果单独投资B种产品，则所获利润yＢ(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：yＢ＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．
(1)求出yＢ与x的函数关系式．
(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yＡ与x之间的关系，并求出yＡ与x的函数关系式．
(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
3.（2014年湖南）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点，其顶点为．
（1）求，的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点，使是以
为底边的等腰三角形，求点的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点、，使以
为顶点的四边形为正方形，求此正方形
的边长．
x
y
-1
1
O
1