江苏省无锡市太湖高中 2025- 2026学年高一年级 9月学情调研
数学
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题 (本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分)
1. 已知集合A= x∣x2-4x-5=0 ,B= x∣x2=1 ，则A∪B等于 ( )
A. -1,5 B. 1,-5 C. -1,-5,1 D. -1,1,5
【答案】D
【详解】x2- 4x- 5= x+1 x-5 = 0，得 x=-1或 x= 5，即A= -1,5 ，
且B= -1,1 ，所以A∪B= -1,1,5
故选：D
2. 已知 p:x> 1，且 y> 2，q:x+ y> 3，则 q是 p的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】取 x= 4，y= 0，此时 x+ y> 3，但 y< 2，
所以由 q不能推出 p，
所以 q不是 p的充分条件，
由 x> 1，且 y> 2，由不等式性质可得 x+ y> 3，
所以 p可推出 q，
所以 q是 p的必要条件，
所以 q是 p的必要不充分条件，
故选：B.
3. 若命题“ x∈R，x2- 1>m”是真命题，则实数m的取值范围是 ( )
A. -∞,-1 B. -∞,-1 C. -1,+∞ D. -1,+∞
【答案】B
【详解】 x∈R，x2- 1的最小值是-1，因此m<-1，
故选：B．
4. 满足 0 M 0,1,2,3 的集合M的个数为 ( )
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【详解】因为 0 M 0,1,2,3 ，所以集合M中至少含有 0，且集合M中最多含有 3个元素，
所以满足条件的集合M为 0 , 0,1 , 0,2 , 0,3 , 0,1,2 , 0,1,3 , 0,2,3 ，共 7个.
故选：C.
5. 下列命题为真命题的是 ( )
A. 若 a> b> 0，则 ac2> bc2 B. 若 a> b> 0，则 a2> b2
·1·
C. 若 a< b< 0，则 a2< ab< b2 D. 若 a< b< 0 1 1，则 <
a b
【答案】B
【详解】对于A,当 c= 0时，显然 ac2> bc2不成立，故A错误；
对于B，由 a> b> 0，利用不等式的性质易得 a2> b2，故B正确；
对于C，当 a< b< 0时，取 a=-2,b=-1，则 a2= 4> ab= 2，故C错误；
对于D，当 a< b< 0时，ab> 0 1 1，由不等式的性质，可得 < ，故D错误.
b a
故选：B.
6. 若集合A= 1,x x>0 中的元素是△ABC的两条边的边长，则 ( )
A. △ABC一定不是等腰三角形 B. △ABC一定不是直角三角形
C. △ABC一定不是等边三角形 D. △ABC一定不是钝角三角形
【答案】C
【详解】由集合中元素的互异性可得 x≠ 1，故△ABC一定不是等边三角形，故C正确；
可取 x= 2，设△ABC中 a= 1，b= 2，另一边为 c，
若 c= 2，则 b= c≠ a，此时△ABC是等腰三角形，故A错误；
若 c= 3，则有 c2+ a2= b2，即B= 90°，此时△ABC是直角三角形，故B错误；
若 c= 3 ，则有 c2+ a2< b2，即B> 90°，此时△ABC是钝角三角形，故D错误.
2
故选：C.
7. 若不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 {x ∣-2< x< 1}，则不等式 cx2+ bx+ a< 0的解集为 ( )
A. x -1 }2 2
C. 1 x - 1}2 2
【答案】C
【详解】因为 ax2+ bx+ c> 0的解集为 {x ∣-2< x< 1}，
故 a< 0且-2,1为方程 ax2+ bx+ c= 0的解.
-2+1=- b
故 a c ，故 b= a,c=-2a，-2×1= a
故不等式 cx2+ bx+ a< 0即为-2ax2+ ax+ a< 0，
故 2x2- x- 1< 0，故- 1 < x< 1，
2
故不等式 cx2+ bx+ a< 0 1的解集为 x - 故选：C
8. 已知实数 x,y满足 xy+ 3x= 3，且 0< x< 1 3 1，求 +
2 x y- 的最小值为 ( )3
A. 2 3 B. 3+ 2 3 C. 6 D. 8
【答案】D
【详解】由方程 xy+ 3x= 3，可得：
·2·
x y+3 3 = 3 = y+ 3，
x
代入所求表达式得：
3 + 1- = (y+ 3) +
1
，
x y 3 y-3
令 z= y- 3，则：
3 + 1- = (y+ 3) +
1 = z+ 6+ 1 ，
x y 3 y-3 z
由 y= 3 - 3，所以 z= y- 3= 3 -3 - 3= 3 - 6，x x x
因为 0< x< 1 3 3，所以 > 6，所以 z= - 6> 0.
2 x x
由基本不等式得：
3 + 1- = z+
1 + 6≥ 2 z 1 + 6= 8，
x y 3 z z
z= 1 3当且仅当“ ”，即“z= 1”，即 x= 时取等号.
z 7
3 + 1所以 最小值为 8.
x y-3
故选：D
二、多项选择题 (本大题共 4小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对得部分分)
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 0∈ B. 0
C. 若A∪B=B，则A B D. 若A∩B=B，则A B
【答案】BCD
【详解】对于A,空集为不含任何元素的集合，故 0 ，故A错误，
对于B, 空集是任意集合的子集，故 0 ，B正确，
对于C，若A∪B=B，则A B，C正确，
对于D, 若A∩B=B，则B A，D正确，
故选：BCD
10. 已知 1≤ a< 2, -3< b≤ 4，则下列说法正确的是 ( )
A. - 2< a+ b< 6 B. - 3< a- b< 5 C. - 6< ab< 8 D. - 3< b ≤ 4
a
【答案】ACD
【详解】对于A，由 1≤ a< 2, -3< b≤ 4可得-2< a+ b< 6，故A正确，
对于B,由 1≤ a< 2, -4≤-b< 3，则-3≤ a- b< 5，故B错误，
对于C,当 1≤ a< 2,0≤ b≤ 4时，则 0≤ ab< 8，当 1≤ a< 2, -3< b< 0时，则 1≤ a< 2,0<-b<
3，此时 0<-ab< 6，则-6< ab< 0，综上可得-6< ab< 8，故C正确，
1 1 b
对于D,由 1≤ a< 2可得 < ≤ 1，当 0≤ b≤ 4时，则 0≤ ≤ 4，当-3< b< 0，则 0<-b< 3，
2 a a
故 0< -b < 3，进而-3< b < 0 b，综上可得-3< ≤ 4，故D正确，
a a a
故选：ACD
·3·
11. 函数 y= ax3+ bx2+ cx+ d的图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. a> 0
B. 方程 ax3+ bx2+ cx+ d= 0的三个根分别为 x1= 1,x2= 2,x3= 3
C. 不等式 ax3+ bx2+ cx+ d> 0的解集为 {x ∣ x< 1或 2< x< 3}
D. 不等式 ax3+ bx2+ cx+ d< 0的解集为 {x ∣ 1< x< 2}
【答案】BC
【详解】由图象可得函数 y= ax3+ bx2+ cx+ d的零点从小到大依次为 1,2,3，
所以 ax3+ bx2+ cx+ d= 0的三个根分别为 x1= 1,x2= 2,x3= 3，B正确，
所以 ax3+ bx2+ cx+ d= a x-1 x-2 x-3 ，
所以 y= ax3+ bx2+ cx+ d可化为 y= a x-1 x-2 x-3 ，
当 1< x< 2时，x- 1> 0，x- 2< 0，x- 3< 0，
由图象可得当 1< x< 2时，y< 0，即 a x-1 x-2 x-3 < 0，
所以 a< 0，A错误，
观察图象可得不等式 ax3+ bx2+ cx+ d> 0的解集为 x x<1 或 2< x< 3}，C正确，
不等式 ax3+ bx2+ cx+ d< 0的解集为 x 13 ，D错误，
故选：BC.
三、填空题 (本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分)
12. 命题 p: x∈R，x+ 1≥ 0．则命题 p的否定为： ．
【答案】 x∈R，x+ 1< 0.
【详解】由全称量词命题的否定可知，命题 p的否定为： x∈R，x+ 1< 0.
故答案为： x∈R，x+ 1< 0.
13. 若 x> 1，则 3x+ 4- 的最小值为 .x 1
【答案】4 3+ 3
【详解】由 x> 1，得 3x+ 4- = 3(x- 1) +
4
- + 3≥ 2 3(x-1)
4
- + 3= 4 3+ 3，x 1 x 1 x 1
4 2 3
当且仅当 3(x- 1) = - ，即 x= 1+ 时取等号，x 1 3
4
所以 3x+ - 的最小值为 4 3+ 3.x 1
故答案为：4 3+ 3
14. 关于 x的不等式 ax2+ ax- 1< 0在R上恒成立，则实数 a的取值范围为 .
【答案】(-4,0]
【详解】若 a= 0,得-1< 0,符合题意；
·4·
≠ a<0若 a 0，由题知 = 2+ < ，解得-4< a< 0，Δ a 4a 0
综上实数 a的取值范围是 -4,0 .
故答案为：(-4,0].
四、解答题 (本大题共 6小题，共 70分)
15. 已知集合A= 1,3,a2 ,B= {1,a+ 2},是否存在实数 a,使得A∪B=A 若存在,试求出实数 a的
值;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,a= 2
【详解】解:A∪B=A B A∴{1,a+ 2} 1,3,a2 ，
2
a+2= a+2=a3
∴ a2≠
a+2≠1
1 或 2 ，
a2≠ a ≠13 a2≠3
∴ a= 2，
∴存在实数 a= 2，使得A∪B=A.
【点睛】本题考查并集的性质，注意集合元素的互异性，是基础题.
16. 设全集U=R，集合A= x∣x2-6x+5≥0 ,B={x ∣ 2-m≤ x< 1+ 2m}，其中m∈R.
(1)若 RA ∩B= RA，求实数m的取值范围；
(2)若B≠ 且“x∈ RA”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)m≥ 2
(2) 1 3
【小问 1详解】
因A={x|x≤ 1或 x≥ 5}，故 RA= x|1因为 RA ∩B=
2-m≤1
RA，故 RA B，故 + ≥ ，解得m≥ 2.1 2m 5
【小问 2详解】
因为B≠ ，故 2-m< 1+ 2m即m> 1 .
3
而由“x∈ RA”是“x∈B”的必要不充分条件，可得B为 RA的真子集，
m>
1
3 1
故 2-m>1 ，故 3 1+2m≤5
17. 某校要建造一间 24m2的背靠墙的长方形小房，已知房屋正面的造价为 1200元 /m2，房屋侧面的造
价为 800元 /m2，屋顶的造价为 10000元.如果墙高 3m，且不计房屋背面费用，问当长方形小房的长
x为多少m时，长方形小房的造价 y最低？最低造价是多少？
【答案】当长为 4 2m时造价最低，最低总造价是 28800 2+ 10000元.
【详解】设底面的长为 xm，宽 bm，则 xb= 24，
设房屋总造价为 y，由题意可得：
y= 3x 1200+ 2× 3b 800+ 10000，
由 xb= 24，且 x> 0,b> 0
·5·
y= 3600x+ 4800b+ 10000≥ 2 3600x 4800b+ 10000= 28800 2+ 10000
3600x=4800b x=4 2当且仅当 = ，即 ，此时造价最低.xb 24 b=3 2
综上：当长为 4 2m，宽为 3 2m时，最低总造价是 28800 2+ 10000元.
18. (1)若 a> 0,b> 0，且 ab= a+ b+ 3，求 ab,a+ b的取值范围.
(2)解关于 x的不等式 ax2+ 2x+ 1≥ 0，其中 a∈R.
【答案】(1) [9, +∞),[6, +∞)；(2)答案见解析.
【详解】(1)由 a> 0,b> 0，得 ab= a+ b+ 3≥ 2 ab+ 3，当且仅当 a= b= 3时取等号，
则 ( ab )2- 2 ab- 3≥ 0，解得 ab≥ 3，因此 ab≥ 9，
2
又 a+ b+ 3= ab≤ a+b ，当且仅当 a= b= 3时取等号，2
则 (a+ b)2- 4(a+ b) - 12≥ 0，而 a+ b> 0，解得 a+ b≥ 6，
所以 ab,a+ b的取值范围分别为 [9, +∞),[6, +∞).
(2)当 a= 0 1时，解不等式 2x+ 1≥ 0，得 x≥- ；
2
当 0< a< 1时，Δ= 4- 4a> 0 -1± 1-a，解方程 ax2+ 2x+ 1= 0，得 x= ，
a
ax2+ 2x+ 1≥ 0 x≤ -1- 1-a x≥ -1+ 1-a因此不等式 的解为 或 ；
a a
当 a≥ 1时，Δ= 4- 4a≤ 0，不等式 ax2+ 2x+ 1≥ 0恒成立，解集为R；
当 a< 0时，Δ> 0，不等式 ax2+ 2x+ 1≥ 0，即-ax2- 2x- 1≤ 0 -1+ 1-a，解得 ≤ x≤
a
-1- 1-a
，
a
所以当 a= 0 1时，原不等式的解集为 - ,+∞2 ；
当 0< a< 1 -∞,-1- 1-a时，原不等式的解集为 ∪ -1+ 1-a ,+∞ ；a a
当 a≥ 1时，原不等式的解集为R；
-1+ 1-a -1- 1-a
当 a< 0时，原不等式的解集为 , a a .
19. 对于集合A= 1,2,3 ，集合B= 2,3,4 .
(1)若把集合 {x ∣ x∈A，且 x B}称为集合A与B的差集，记作A-B，求A-B和B-A；
(2)若把集合 x,y ∣x∈A,y∈B 称为集合A与B的积，记作A×B.
(i)求A×B；
(ii)若集合A= a1,a2,a3, ,am ，集合B= b1,b2,b3, ,bn ，问A×B中有多少个元素？请写出这些
元素.
【答案】(1)A-B= 1 ,B-A= 4 ；
(2) (i)答案见解析；(ii)答案见解析.
【小问 1详解】
因为 1∈A,1 B，2∈A,2∈B，3∈A,3∈B，所以A-B= 1 ；
因为 2∈B,2∈A，3∈B,3∈A，4∈B,4 A，所以B-A= 4 .
【小问 2详解】
·6·
(i)已知A= 1,2,3 ,B= 2,3,4 ，
当 x= 1时，y= 2,3,4，构成有序对 1,2 , 1,3 , 1,4 ；
当 x= 2时，y= 2,3,4，构成有序对 2,2 , 2,3 , 2,4 ；
当 x= 3时，y= 2,3,4，构成有序对 3,2 , 3,3 , 3,4 ；
所以A×B= 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 3,2 , 3,3 , 3,4 .
(ii)若集合A= a1,a2,a3, am 有m个元素，集合B= b1,b2,b3, bn 有n个元素，
则A×B中的每一个元素是由A中的一个元素和B中的一个元素组成的有序数对 ai,b j ，
(其中 i= 1,2,3, ,m，j= 1,2,3, n).
因此，A×B中元素 个数为m×n，所有元素为 x,y |x=ai,y=b j,i=1,2,3, ,m;j=1,2,3, n .
·7·江苏省无锡市太湖高中 2025- 2026学年高一年级 9月学情调研
数学
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题 (本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分)
1. 已知集合A= x∣x2-4x-5=0 ,B= x∣x2=1 ，则A∪B等于 ( )
A. -1,5 B. 1,-5 C. -1,-5,1 D. -1,1,5
2. 已知 p:x> 1，且 y> 2，q:x+ y> 3，则 q是 p的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若命题“ x∈R，x2- 1>m”是真命题，则实数m的取值范围是 ( )
A. -∞,-1 B. -∞,-1 C. -1,+∞ D. -1,+∞
4. 满足 0 M 0,1,2,3 的集合M的个数为 ( )
A. 3 B. 6 C. 7 D. 8
5. 下列命题为真命题的是 ( )
A. 若 a> b> 0，则 ac2> bc2 B. 若 a> b> 0，则 a2> b2
C. 若 a< b< 0 1 1，则 a2< ab< b2 D. 若 a< b< 0，则 <
a b
6. 若集合A= 1,x x>0 中的元素是△ABC的两条边的边长，则 ( )
A. △ABC一定不是等腰三角形 B. △ABC一定不是直角三角形
C. △ABC一定不是等边三角形 D. △ABC一定不是钝角三角形
7. 若不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 {x ∣-2< x< 1}，则不等式 cx2+ bx+ a< 0的解集为 ( )
A. 1 x -1 }2 2
C. x - 1 1 1}2
8. 已知实数 x,y xy+ 3x= 3 0< x< 1 3满足 ，且 ，求 + 1 的最小值为 ( )
2 x y-3
A. 2 3 B. 3+ 2 3 C. 6 D. 8
二、多项选择题 (本大题共 4小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对得部分分)
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 0∈ B. 0
·1·
C. 若A∪B=B，则A B D. 若A∩B=B，则A B
10. 已知 1≤ a< 2, -3< b≤ 4，则下列说法正确的是 ( )
A. - 2< a+ b< 6 B. - 3< a- b< 5 C. - 6< ab< 8 D. - 3< b ≤ 4
a
11. 函数 y= ax3+ bx2+ cx+ d的图象如图所示，则下列说法正确的是 ( )
A. a> 0
B. 方程 ax3+ bx2+ cx+ d= 0的三个根分别为 x1= 1,x2= 2,x3= 3
C. 不等式 ax3+ bx2+ cx+ d> 0的解集为 {x ∣ x< 1或 2< x< 3}
D. 不等式 ax3+ bx2+ cx+ d< 0的解集为 {x ∣ 1< x< 2}
三、填空题 (本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分)
12. 命题 p: x∈R，x+ 1≥ 0．则命题 p的否定为： ．
13. 若 x> 1，则 3x+ 4- 的最小值为 .x 1
14. 关于 x的不等式 ax2+ ax- 1< 0在R上恒成立，则实数 a的取值范围为 .
四、解答题 (本大题共 6小题，共 70分)
15. 已知集合A= 1,3,a2 ,B= {1,a+ 2},是否存在实数 a,使得A∪B=A 若存在,试求出实数 a的
值;若不存在,请说明理由.
·2·
16. 设全集U=R，集合A= x∣x2-6x+5≥0 ,B={x ∣ 2-m≤ x< 1+ 2m}，其中m∈R.
(1)若 RA ∩B= RA，求实数m的取值范围；
(2)若B≠ 且“x∈ RA”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
17. 某校要建造一间 24m2的背靠墙的长方形小房，已知房屋正面的造价为 1200元 /m2，房屋侧面的造
价为 800元 /m2，屋顶的造价为 10000元.如果墙高 3m，且不计房屋背面费用，问当长方形小房的长
x为多少m时，长方形小房的造价 y最低？最低造价是多少？
·3·
18. (1)若 a> 0,b> 0，且 ab= a+ b+ 3，求 ab,a+ b的取值范围.
(2)解关于 x的不等式 ax2+ 2x+ 1≥ 0，其中 a∈R.
19. 对于集合A= 1,2,3 ，集合B= 2,3,4 .
(1)若把集合 {x ∣ x∈A，且 x B}称为集合A与B的差集，记作A-B，求A-B和B-A；
(2)若把集合 x,y ∣x∈A,y∈B 称为集合A与B的积，记作A×B.
(i)求A×B；
(ii)若集合A= a1,a2,a3, ,am ，集合B= b1,b2,b3, ,bn ，问A×B中有多少个元素？请写出这些
元素.
·4·
