当湖高级中学 2025学年第一学期高一年级 9月阶段性测试数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
1. 已知集合A={1,3,6,9},B={3,4,5,6}，则A∪B为 ( )
A. 3,6 B. 1,4,5,9 C. 1,3,4,5,6,9 D. 3,4,5,6
【答案】C
【详解】A∪B= 1,3,4,5,6,9 .
故选：C
2. 已知集合N= 0,1,2 ，则满足条件A N的集合A的个数有 ( )．
A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个
【答案】C
【详解】由子集的定义可知集合A有 ， 0 ， 1 ， 2 ， 0,1 ， 0,2 ， 1,2 ， 0,1,2 共 8个，故C正
确.
故选：C.
3. 命题“ x> 0，x2+ 3x- 2> 0”的否定是 ( )
A. x> 0，x2+ 3x- 2≤ 0 B. x> 0，x2+ 3x- 2> 0
C. x≤ 0，x2+ 3x- 2> 0 D. x> 0，x2+ 3x- 2≤ 0
【答案】D
【详解】由全称命题的否定知：原命题的否定为 x> 0，x2+ 3x- 2≤ 0.
故选：D.
4. 设 x∈R，则“x< 1”是“|x| < 1”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】|x| < 1，解得-1< x< 1，
因为 x< 1 - 1< x< 1，-1< x< 1 x< 1，所以 x< 1是 |x| < 1的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知 f x2+1 = x4- 1，则函数 f x 的解析式为 ( )
A. f x = x2- 2x B. f x = x2- 1 x≥1
C. f x = x2- 2x+ 2 x≥1 D. f x = x2- 2x x≥1
【答案】D
【详解】设 x2+ 1= t≥ 1，则 x2= t- 1，
所以 f t = t-1 2 - 1= t2- 2t，
所以 f x = x2- 2x x≥1 ，
故选：D．
6. 已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集是 {x|x<-1或 x> 2}，则不等式 bx2+ ax- c≤ 0的
·1·
解集是 ( )
A. {x| -1≤ x≤ 2} B. {x|x≤-1或 x≥ 2}
C. {x| -2≤ x≤ 1} D. {x|x≤-2或 x≥ 1}
【答案】A
【详解】由条件可知，ax2+ bx+ c= 0的两个实数根是-1和 2，且 a< 0，
-
b
a =-1+2则 c ，得 b=-a，c=-2a，a =-1×2
所以 bx2+ ax- c≤ 0 -ax2+ ax+ 2a≤ 0，即 x2- x- 2≤ 0，
解得：-1≤ x≤ 2，
所以不等式的解集为 -1,2 .
故选：A
7. 函数 y= f(x)的图象与直线 x= 2023的交点个数 ( )
A. 至少有 1个 B. 至多有 1个 C. 仅有 1个 D. 可能有无数多个
【答案】B
【详解】当 x在定义域内任意取一个值,都有唯一的一个函数值 f(x)与之对应,函数 y= f(x)的图象
与直线 x= 2023有唯一交点；
当 x不在定义域内时,函数值 f(x)不存在,函数 y= f(x)的图象与直线 x= 2023没有交点。故函数
y= f(x)的图象与直线 x= 2023至多有一个交点，即函数 y= f(x)的图象与直线 x= 2023的交点至
多有一个，
故选：B.
-x2-ax-5, x≤1 f x - f x
8. 已知函数 f(x) = 1 2 a 满足对任意 x1≠ x2，都有 - > 0成立，则 a的范x , x>1 x1 x2
围是 ( )
A. -3,0 B. -3,-2 C. (-∞,-2] D. (-∞,0]
【答案】B
f
≠
x1 - f xx x 2 【详解】因为对任意 1 2都有 x1-
> 0，
x2
所以函数在定义域R上单调递增，
a<0
所以 -
a
2 ≥1 ，解得-3≤ a≤-2，
a≥-1-a-5
所以 a的范围是 -3,-2
故选：B
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分．
9. 下列各组函数中，是同一函数的是 ( )
A. f x = -2x3与 g x = x -2x B. f x = x与 g x = x2
·2·
C. f x = x0 1与 g x = D. f x = x2- 2x与 g t = t2- 2t
x0
【答案】CD
【详解】对于选项A.
函数 f x = -2x3，定义域为 -∞,0 ，化简得 f x =-x -2x .
函数 g x = x -2x，定义域为 -∞,0 .
两函数的定义域虽相同，但对应关系不一致，所以不是同一函数.选项A错误.
对于选项B.
函数 f x = x，定义域为R.
x, x≥0
函数 g x = x2，定义域为R，化简得 g x = .-x, x<0
两函数对应关系不一致，所以不是同一函数.选项B错误.
对于选项C.
函数 f x = x0，定义域为 -∞,0 ∪ 0,+∞ ，值域为 1 .
1
函数 g x = ，定义域为 -∞,0 ∪ 0,+∞ ，值域为 1 .
x0
即对 x∈ -∞,0 ∪ 0,+∞ ，有 f x = g x = 1.故两函数是同一函数.选项C正确.
对于选项D.
函数 f x = x2- 2x，定义域为R.
函数 g t = t2- 2t，定义域 R.
对 a∈R，有 f a = g a = a2- 2a，故两函数是同一函数.选项D正确.
故选：CD
10. 已知 满足 c< b< a,且 a+ b+ c= 0，下列选项中一定成立的是 ( )
A. ab> ac B. c(b- a)> 0
C ab2> cb2 D. ac a-c < 0
【答案】ABD
【详解】由于 c< b< a,且 a+ b+ c= 0，故 c< 0,a> 0，
对于A,由于 b> c,a> 0，故 ab> ac，A正确，
对于B,b- a< 0,c< 0，故 c(b- a)> 0，B正确，
对于C,若 b= 0，则 ab2= cb2，故C错误，
对于D,ac< 0,a- c> 0，故 ac a-c < 0，D正确，
故选：ABD
11. 已知关于 x的不等式 a(x- 1) (x+ 3) + 2> 0的解集是 x1,x2 ，其中 x1< x2，则下列结论中正确的
是 ( )
A x1+ x2+ 2= 0 B. -3< x1< x2< 1
C. x1-x2 > 4 D. x1x2+ 3< 0
【答案】ACD
【详解】由题设，a(x- 1) (x+ 3) + 2= ax2+ 2ax- 3a+ 2> 0的解集为 x1,x2 ，
x1+x2=-2∴ a< 0，则 ，x 21x2= a -3<0
·3·
∴ x + x + 2= 0 x x + 3= 21 2 ， 1 2 < 0，则A、D正确；a
原不等式可化为 f(x) = a(x- 1) (x+ 3)>-2的解集为 x1,x2 ，而 f(x)的零点分别为-3,1且开口向
下，又 x1< x2，如下图示，
∴由图知：x1<-3< 1< x2， x1-x2 > 4，故B错误，C正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
2
x +a, x≥112. 设函数 f(x) = ，若 f 2 = 9，则实数 a的值为 ．-x, x<1
【答案】5
【详解】∵ 2≥ 1，
∴ f 2 = 22+ a= 9，
∴ a= 5，
故答案为：5．
13. 已知集合A= x 1
充分条件，则实数m的取值范围是 .
【答案】m≤-2
【详解】命题 p:x∈A，命题 q:x∈B，由 p是 q的充分条件，得A B，即 x 1 x 2m 1-m>2m因此 2m≤1 ，解得m≤-2，1-m≥3
所以实数m的取值范围是m≤-2.
故答案为：m≤-2
14. 已知 a∈R，函数 f x = x+ 4 -a + a在区间 [1,4]上的最大值是 5，则 a的取值范围是x
9
【答案】 -∞， 2
4
【详解】x∈ 1,4 ,x+ ∈ 4,5 ，分类讨论：
x
①当 a≥ 5时，f x = a- x- 4 + a= 2a- x- 4 ，
x x
函数的最大值 2a- 4= 5, ∴ a= 9 ，舍去；
2
·4·
②当 a≤ 4时，f x = x+ 4 - a+ a= x+ 4 ≤ 5，此时命题成立；
x x
③当 4< a< 5时， f x max=max 4-a +a, 5-a +a ，则：
4-a +a≥ 5-a +a 4-a +a< 5-a +a 9 9 4- 或a +a=5 5-a + ，解得：a= 或 aa 9综上可得，实数 的取值范围是 -∞, 2 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2x+3已知集合A={x + <1 ,B={x|x2+ x- 6< 0}x 4
(1)求集合A；
(2) RA ∩B．
【答案】(1) (-4,1) (2) [1,2)
【小问 1详解】
2x+3 2x+3
由 + < 1移项得： + - 1< 0，x 4 x 4
2x+3-(x+4) x-1
通分： =
x+4 x+ < 0，4
等价于： x-1 x+4 < 0，
因此，不等式的解为：x∈ (-4,1)，
集合 A= (-4,1).
【小问 2详解】
由 x2+ x- 6< 0因式分解得： x+3 x-2 < 0，
不等式的解集为：x∈ (-3,2)，
所以集合 B= (-3,2)；
由A= (-4,1)，得： RA= -∞,-4 ∪ 1,+∞ ；
所以 RA ∩B= 1,2 .
16. 已知 f(x) = x ，x∈ (-2,2).
x2+4
(1)用定义判断并证明函数 f(x)在 (-2,2)上的单调性；
(2)若 f(a+ 2)> f(2a- 1)，求实数 a的取值范围.
【答案】(1) 1增函数，证明见解析；(2) - ,02 .
【详解】(1)f(x)在 (-2,2)上为增函数.
证明：任取 x1，x2∈ (-2,2)，且 x1< x2，
x x x -x x x -4
所以 f x1 - f x = 1 - 2 =
2 1 1 2
2 .
x2 2 2 21+4 x2+4 x1+4 x2+4
因为-2< x1< x2< 2，
所以 x2- x1> 0，x1x2- 4< 0
则 f x1 - f x2 < 0，即 f x1 < f x2 ，
所以函数 f(x)在 (-2,2)上为增函数.
(2)解：由 (1)知，f(x)在 (-2,2)上单调递增，又 f(a+ 2)> f(2a- 1)，
·5·
-22a-1,
-4解得 - 1 2 3
2 ,
a<3,
1
即- < a< 0，
2
所以 a的取值范围是 - 1 ,02 .
17. 已知m∈R，函数 f x = x x-m ．
(1)当m= 3时，画出 f x 的图象，并写出 f x 的单调递增区间；
(2)当 0【答案】(1)作图见解析，答案见解析 (2)答案见解析
【小问 1详解】
x2-3x, x>3
当m= 3时，f x = x x-3 = ，-x2+3x, x≤3
作图：
3
所以 f x 的单调递增区间为： -∞, ， 3,+∞ ；2
【小问 2详解】
x2-mx, x>m
当m> 0时，f x = x x-m = ，-x2+mx, x≤m
·6·
当 1≤m≤ 3时，f x 在区间 1,3 上的最小值为 f m = 0，
当 018. 求下列各式的最值
(1) 1已知 0< x< ，求函数 y= x(1- 2x) 的最大值
2
(2) > > + (x+1)(2y+1)设 x 0，y 0，x 2y= 5，则 的最小值
xy
( ) xy3 设正实数 x，y，z满足 x2- 3xy+ 4y2- z= 0 2 1 2，当 取得最大值时，求 + - 的最大值．
z x y z
【答案】(1) 1 (2)4 3 (3)1
8
【小问 1详解】
2x 1-2x
< < 1 - > =
2
由题知 0 x ，则 1 2x 0，所以 y x 1-2x = ≤ 1 × 2x+1-2x 1 = × 12 2 2 2 2 4
= 1 ，
8
1
当且仅当 2x= 1- 2x，即 x= 时取等号，
4
所以函数 y= x(1- 2x) 1的最大值为 .
8
【小问 2详解】
由 x> 0，y> 0，且 x+ 2y= 5，
x+1 2y+1 = 2xy+x+2y+1 = 2xy+6则 = 2 xy+ 6 ≥ 2 2 xy× 6 = 4 3，
xy xy xy xy xy
2 xy= 6当且仅当 ，即 x= 3，y= 1时取等号，
xy
(x+1)(2y+1)
所以则 的最小值为 4 3 .
xy
【小问 3详解】
由 x,y,z> 0，且 x2- 3xy+ 4y2- z= 0，可得 z= x2- 3xy+ 4y2，
xy
则 = xy = 1 ≤ 1 = 1，
z x2-3xy+4y2 x
y +
4y -3 2 x × 4yx y x -3
x 4y
当且仅当 = ，即 x= 2y时取等号，此时 z= 2y2，
y x
2 1 2
所以 + - 2 = 2 - 1 =- 1 -1 + 1≤ 1，当 y= 1时取到最大值，x y z y y2 y
xy 2 1 2
所以当 取得最大值时 + - 的最大值为 1.
z x y z
·7·
19. 已知函数 f x = x2- 2x- a2+ 2a a∈R ，集合A= x f x ≤0 ．
(1)若集合A中有且仅有 3个整数，求实数 a的取值范围；
(2)集合B= x f f x +b ≤0 ，若存在实数 a≤ 1，使得A B，求实数 b的取值范围．
【答案】(1) -1,0 ∪ 2,3 ； (2) 3 ,3 ．4
【小问 1详解】
由 f x = x2- 2x- a2+ 2a= x-a x+a-2 ，
由于 f x 对称轴为 x= 1，所以 1∈A，集合A中有且仅有 3个整数，所以集合A的 3个整数只可能
是 0,1,2，
若 a= 2- a即 a= 1时，集合A= x f x ≤0 = 1 与题意矛盾，所以 a≠ 1；
若 a< 2- a即 a< 1时，集合A= x f x ≤0 = a,2-a ，
-1若 a> 2- a即 a> 1时，集合A= x f x ≤0 = 2-a,a ，
-1<2-a≤0则 ≤ < 解得 2≤ a< 3，2 a 3
综上所述实数 a的取值范围是 -1,0 ∪ 2,3 ；
【小问 2详解】
若 a= 2- a即 a= 1时，集合A= x f x ≤0 = x x-a x+a-2 ≤0 = 1 ，B=
x f f x +b ≤0 = x f x +b=1 ，
因为A B，所以 1∈B即 f 1 + b= 1解得 b= 1，
若 a< 2- a即 a< 1时，集合A= x f x ≤0 = a,2-a ，
则B= x f f x +b ≤0 = x a≤ f x +b≤2-a = x a-b≤ f x ≤2-a-b
设集合B= x1,x2 ，因为A B，即 a,2-a x1,x2 ，如图所示，
a-b≤ f 1 a-b≤-a2+2a-1则 即 得 a2- a+ 1≤ b≤ 2- a，2-a-b≥0 2-a-b≥0
所以 a2- a+ 1≤ 2- a可得-1≤ a≤ 1，所以-1≤ a< 1，所以 2- a≤ 2- -1 = 3
2
a2- a+ 1= a- 1 + 3 ≥ 3又因为 ，2 4 4
3
所以 ≤ a2- a+ 1≤ b≤ 2- a≤ 3 3即 ≤ b≤ 3.
4 4
3
综上所述 b的取值范围是 ,3 ．4
·8·当湖高级中学 2025学年第一学期高一年级 9月阶段性测试数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
1. 已知集合A={1,3,6,9},B={3,4,5,6}，则A∪B为 ( )
A. 3,6 B. 1,4,5,9 C. 1,3,4,5,6,9 D. 3,4,5,6
2. 已知集合N= 0,1,2 ，则满足条件A N的集合A的个数有 ( )．
A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个
3. 命题“ x> 0，x2+ 3x- 2> 0”的否定是 ( )
A. x> 0，x2+ 3x- 2≤ 0 B. x> 0，x2+ 3x- 2> 0
C. x≤ 0，x2+ 3x- 2> 0 D. x> 0，x2+ 3x- 2≤ 0
4. 设 x∈R，则“x< 1”是“|x| < 1”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 f x2+1 = x4- 1，则函数 f x 的解析式为 ( )
A. f x = x2- 2x B. f x = x2- 1 x≥1
C. f x = x2- 2x+ 2 x≥1 D. f x = x2- 2x x≥1
6. 已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c< 0的解集是 {x|x<-1或 x> 2}，则不等式 bx2+ ax- c≤ 0的
解集是 ( )
A. {x| -1≤ x≤ 2} B. {x|x≤-1或 x≥ 2}
C. {x| -2≤ x≤ 1} D. {x|x≤-2或 x≥ 1}
7. 函数 y= f(x)的图象与直线 x= 2023的交点个数 ( )
A. 至少有 1个 B. 至多有 1个 C. 仅有 1个 D. 可能有无数多个
-x2-ax-5, x≤1 f x - f x
8. 已知函数 f(x) = 1 2 a 满足对任意 x1≠ x2，都有 - > 0成立，则 a的范x xx , x>1 1 2
围是 ( )
A. -3,0 B. -3,-2 C. (-∞,-2] D. (-∞,0]
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对得 6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分．
9. 下列各组函数中，是同一函数的是 ( )
A. f x = -2x3与 g x = x -2x B. f x = x与 g x = x2
C. f x = x0 g x = 1 与 D. f x = x2- 2x与 g t = t2- 2t
x0
·1·
10. 已知 满足 c< b< a,且 a+ b+ c= 0，下列选项中一定成立的是 ( )
A. ab> ac B. c(b- a)> 0
C ab2> cb2 D. ac a-c < 0
11. 已知关于 x的不等式 a(x- 1) (x+ 3) + 2> 0的解集是 x1,x2 ，其中 x1< x2，则下列结论中正确的
是 ( )
A x1+ x2+ 2= 0 B. -3< x1< x2< 1
C. x1-x2 > 4 D. x1x2+ 3< 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
x2+a, x≥1
12. 设函数 f(x) = ，若 f 2 = 9，则实数 a的值为 ．-x, x<1
13. 已知集合A= x 1充分条件，则实数m的取值范围是 .
14. 已知 a∈R，函数 f x = x+ 4 -a + a在区间 [1,4]上的最大值是 5，则 a的取值范围是x
四、解答题：本题共 5小题，共 77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2x+3已知集合A={x + <1 ,B={x|x2+ x- 6< 0}x 4
(1)求集合A；
(2) RA ∩B．
16. 已知 f(x) = x ，x∈ (-2,2).
x2+4
(1)用定义判断并证明函数 f(x)在 (-2,2)上的单调性；
(2)若 f(a+ 2)> f(2a- 1)，求实数 a的取值范围.
·2·
17. 已知m∈R，函数 f x = x x-m ．
(1)当m= 3时，画出 f x 的图象，并写出 f x 的单调递增区间；
(2)当 018. 求下列各式的最值
(1)已知 0< x< 1 ，求函数 y= x(1- 2x) 的最大值
2
( ) (x+1)(2y+1)2 设 x> 0，y> 0，x+ 2y= 5，则 的最小值
xy
(3) 2- + 2- = xy设正实数 x，y，z满足 x 3xy 4y z 0 2 1 2，当 取得最大值时，求 + - 的最大值．
z x y z
·3·
19. 已知函数 f x = x2- 2x- a2+ 2a a∈R ，集合A= x f x ≤0 ．
(1)若集合A中有且仅有 3个整数，求实数 a的取值范围；
(2)集合B= x f f x +b ≤0 ，若存在实数 a≤ 1，使得A B，求实数 b的取值范围．
·4·