第22章 二次函数复习：求二次函数的解析式 专题练习【含答案】 2025--2026学年人教版九年级数学上册

第22章 二次函数—求二次函数的解析式同步练习2025-2026学年人教版
典例：
类型1　已知一点或两点坐标求二次函数解析式
1．求下列二次函数的解析式：
（1）已知抛物线y＝a（x－1）2过点（3，1），则抛物线的解析式为 ；
（2）已知抛物线y＝－ax2－4ax－经过点A（－3，0），则该抛物线的解析式为 ；
（3）已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（－2，0），B（0，－4），则抛物线的解析式为 ；
（4）已知二次函数y＝ax2＋x＋c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为（8，0），则二次函数的解析式为 ；
（5）抛物线L：y＝－x2＋bx＋c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B，则抛物线L的解析式为 ．
类型2　已知三点坐标（用“一般式”）求二次函数解析式
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，－5），（0，－4）和（1，1），则该抛物线的解析式为 ．
类型3　设“顶点式”求二次函数解析式
3．求下列二次函数的解析式：
（1）已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（－1，－2），则此二次函数的解析式为 ；
（2）已知抛物线的图象如图所示，则该抛物线的解析式是 ；
（3）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过原点和点B（4，8），对称轴为直线x＝－2，则抛物线的解析式为 ；
（4）已知二次函数的图象经过点（－1，）和（－3，），且该二次函数的最小值为3，则该二次函数的解析式为 ；
（5）已知二次函数图象的顶点坐标为（－1，3），且与y轴的交点到x轴的距离为1，则该函数的解析式为 ．
类型4　设“交点式”求二次函数解析式
4．求下列二次函数解析式：
（1）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为 ；
（2）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A（－4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），则抛物线的解析式为 ；
（3）如图，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，A点坐标为（－1，0），OC＝2，OB＝3，点D为抛物线的顶点，则抛物线的解析式为 ．
类型5　由平移或翻折求二次函数解析式
5．如图，将二次函数y＝（x－2）2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数解析式是 ．
已知二次函数y＝－3x2＋1的图象如图所示，将其沿x轴
翻折后得到的抛物线的解析式为 ．
针对训练：
1.已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．
2.已知抛物线经过点，且顶点坐标为，求抛物线的解析式．
3.已知二次函数的图象经过点和，且对称轴为直线，求这个二次函数的解析式．
4.一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的解析式．
5.抛物线经过点，顶点在直线上．求抛物线的解析式．
6.抛物线经过点，顶点在直线上，求抛物线的解析式．
7.已知二次函数在时有最大值，且图象经过点，求该二次函数的解析式．
8.已知二次函数在时有最大值，且图象经过点，求该二次函数的解析式．
9.根据下列条件，分别确定二次函数的解析式：
抛物线过点，，；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，，与轴交点的纵坐标是．
10.已知二次函数 的图象经过点、、、．
求此二次函数的解析式；
当时，求此函数的最小值与最大值．
11.已知二次函数的图象经过点，且当时，函数有最大值．
求二次函数的表达式．
直接写出一个与该函数图象开口方向相反，大小相同，且经过点的二次函数的表达式．
12.如图，二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，是第一象限内该二次函数图象上的一动点，过点作直线轴于点，直线交于点．
直接写出，，三点的坐标及直线的解析式；
若，求点的坐标．
答案
典例：
1．（1）y＝（x－1）2；
（2）y＝－x2－x－；
（3）y＝x2－x－4；
（4）y＝－x2＋x＋4；
（5）__y＝－x2＋2x＋1．
2．y＝2x2＋3x－4．
3．（1）y＝3（x＋1）2－2（或写成y＝3x2＋6x＋1）；
（2）y＝－（x－）2＋（或写成y＝－x2＋x＋2）；
（3）y＝（x＋2）2－1（或写成y＝x2＋x）；
（4）y＝（x＋2）2＋3（或写成y＝x2＋2x＋5）；
（5）y＝－2（x＋1）2＋3或y＝－4（x＋1）2＋3．
4．（1）y＝（x＋1）（x－3）（或写成y＝x2－2x－3）；
（2）y＝－（x＋4）（x－2）（或写成y＝－x2－x＋4）；
（3）y＝－（x＋1）（x－3）（或写成y＝－x2＋x＋2）．
5．y＝（x－2）2＋4．
6.y＝3x2－1．
针对训练：
1.由图可知，函数的顶点坐标为，
设解析式为，
过点，则，，
解析式为．
2.抛物线的解析式为．
3.设这个二次函数的解析式为，根据题意，得解得二次函数的解析式为．
4.设这个二次函数为，将，，代入，得解得这个二次函数的解析式为．
5.抛物线经过点和，
对称轴为，即顶点的横坐标为，把代入中可得，．
设抛物线解析式为，将代入可得，，
二次函数的解析式为．
6.可知，抛物线经过点和，
对称轴为，即顶点的横坐标为，
把代入中可得，，
设抛物线的解析式为，将代入可得，，
所求抛物线的解析式为．
7.设此二次函数的解析式是，把点代入，得，解得，．
8.设此二次函数的解析式是，
把点代入，得，解得，
．
9.（1）抛物线过点，，，
，解得
二次函数的解析式为．
（2）设二次函数的解析式为
抛物线与轴交点的纵坐标为，
，，
．
二次函数的解析式为．
10.根据题意得
，解得，
所以抛物线解析式为；
由中二次函数的解析式可得该二次函数图象的对称轴，且函数的开口向上，
当时，；
当时，．
所以当时，函数的最小值是，最大值是．
11.（1）设二次函数的表达式为，
把代入得，解得，所以二次函数的表达式为．
（2）设二次函数的表达式为，把代入得，解得，
所以满足条件的一个二次函数的表达式为．
12.（1），，，直线的解析式为；
（2）过点作于点设点，则，，，，解得舍去或，．