4．2 正 切
学习目标
【知识与技能】
了解正切的概念，能够正确地用tan A表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两直角边的比，熟记30°；45°；60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子．
【过程与方法】
逐步培养观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力．
【学习重点】
了解正切的概念，熟记特殊角的正切值．
【学习难点】
正切的应用．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝______；cos A＝________．
2．当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？
二、思考探究，获取新知
1．如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则 ＝ 成立吗？为什么？
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tan α，即tan α＝.
2．求tan 30°，tan 45°，tan 60°的值．
【归纳结论】tan 30°＝，tan 45°＝1，tan 60°＝.
3．30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值分别是多少？
【归纳结论】
三角函数α sin α cos α tan α
30°
45° 1
60°
4.如何用计算器求一般锐角的正切值？
例如：求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键，则屏幕上显示的0.466 3，这就是25°角的正切值．
5．如果已知正切值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数．
例如：已知tan α＝0.839 1，求α的度数．我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数．
6．什么是锐角三角函数？
【归纳结论】我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数．
三、运用新知，深化理解
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是________．(选填序号)
分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，
∴sin A＝＝，故①错误；
∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，
∴cos B＝cos 60°＝，故②正确；
∵∠A＝30°，∴tan A＝tan 30°＝，
故③正确，∵∠B＝60°，
∴tan B＝tan 60°＝，故④正确．
【答案】②③④
2．求tan 70°45′的值．(精确到0.000 1)
解：tan 70°45′≈2.863 6.
3．(1)求下列三角函数值：sin 60°，cos 70°，tan 45°，sin 29.12°，cos 37°42′6″，tan 18°31′；
解：sin 60°＝，cos 70°≈0.342，tan 45°＝1，
sin 29.12°≈0.487，cos 37°42′6″≈0.791，
tan 18°31′≈0.335.
(2)计算下列各式(保留0.001)．
①sin 25°＋cos 65°；②sin 36°·cos 72°；
③tan 56°·tan 34°.
解：①0.845.②0.182.③1.000.
4．计算：
()0＋－tan 60°＋.
解：原式＝1＋2－＋9＝10＋.
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cos A＝，求BC的长．
分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．
解：∵cos A＝，∴AC＝AB·cos A＝8×＝6，
∴BC＝＝＝2.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，AC＝6，求BC，AB的长．(精确到0.001)
解：∵＝tan A＝tan 35°，
由计算器求得tan 35°≈0.700 2，
∴BC＝AC·tan A
≈6×0.700 2≈4.201.
∵＝cos A＝cos 35°，
由计算器求得cos 35°≈0.819 2，
∴AB＝≈7.324.
7．如图，工件上有一V型槽，测得它的上口宽20 mm，深19.2 mm.求V型角(∠ACB)的度数(结果精确到度)．
解：∵tan∠ACD＝＝
≈0.520 8，
∴∠ACD≈27.51°.
∴∠ACB＝2∠ACD≈55°.
∴V型角的度数约为55°.4．4 解直角三角形的应用
第1课时 俯角和仰角问题
学习目标
【知识与技能】
比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
【过程与方法】
通过学习进一步掌握解直角三角形的方法．
【学习重点】
应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．
【学习难点】
选用恰当的直角三角形，分析解题思路．
学习过程
一、情景导入，初步认知
海中有一个小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20 n mile后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？
二、思考探究，获取新知
某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离．你能帮他想出一个可行的办法吗？
分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A，B之间的水平距离AC.
【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．
三、运用新知，深化理解
1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．(精确到1 m)
解：在Rt△ABC中，
sin B＝，
∴AB＝≈≈4 221 m.
答：飞机A到控制点B的距离约为4 221 m.
2．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m．这栋高楼有多高(结果精确到0.1 m)
分析：在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120.可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC.
解：α＝30°，β＝60°，AD＝120.
∵tan α＝，tan β＝，
∴BD＝AD·tan α＝120×＝40，
CD＝AD·tan β＝120×＝120.
∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈227.1 m.
答：这栋高楼约高277.1 m.
第2课时 坡度和方位角问题
学习目标
【知识与技能】
1．了解测量中坡度、坡角的概念．
2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．
【过程与方法】
通过对例题的学习，能够利用所学知识解决实际问题．
【学习重点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题．
【学习难点】
能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．
学习过程
一、情景导入，初步认知
如图，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.
从图形可以看出，＞，即tan A1＞tan A.
二、思考探究，获取新知
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．
如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用1∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tan B，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
2．如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240 m到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？(角度精确到0.01°，长度精确到0.1 m)
3．如图，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．这艘船继续向东航行是否安全？
三、运用新知，深化理解
1．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离(精确到0.1 m，cos 24°≈0.913 5)．
解：在Rt△ABC中，cos A＝，
∴AB＝≈≈6.0 m.
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0 m.
2．如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m，sin 18°26′≈0.316，tan18°26′＝)．
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
＝，＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69 m.
FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5 m.
∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5 m.
∵斜坡AB的坡度i＝tan α＝≈0.333 3，
∴α≈18°26′.∵＝sin α，∴AB＝≈72.7 m.
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.
3．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF＝，BF＝3 m，BC＝1 m，CD＝6 m.
(1)求∠D的度数；
(2)求线段AE的长．
解：(1)∵四边形BCEF是矩形，
∴∠BFE＝∠CEF＝90°，CE＝BF，BC＝FE，
∴∠BFA＝∠CED＝90°，∵CE＝BF，BF＝3 m，
∴CE＝3 m，∵CD＝6 m，∠CED＝90°，∴∠D＝30°.
(2)∵sin∠BAF＝，∴＝，∵BF＝3 m，
∴AB＝ m，∴AF＝＝ m，
∴AE＝ m.
4．如图，上午9时，海监船位于A处，观测到某港口城市P位于海监船的北偏西67.5°方向，海监船以21 n mile/h的速度向正北方向行驶，下午2时海监船到达B处，这时观察到城市P位于海监船的南偏西36.9°方向，求此时海监船所在B处与城市P的距离．(参考数据：sin 36.9°≈，tan 36.9°≈，sin 67.5°≈，tan 67.5°≈)
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x n mile.
在Rt△APC中，∵tan A＝，
∴AC＝≈，
在Rt△PCB中，∵tan B＝，∴BC＝≈，
∵从上午9时到下午2时要经过五个小时，
∴AC＋BC＝AB＝21×5，∴＋＝21×5，
解得x＝60.∵sin B＝，
∴PB＝＝≈100(n mile)．
∴海监船所在B处与城市P的距离为100 n mile.4．3 解直角三角形
学习目标
【知识与技能】
理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能力．
【学习重点】
直角三角形的解法．
【学习难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．什么是锐角三角函数？
2．你知道哪些特殊的锐角三角函数值？
二、思考探究，获取新知
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c，∠A，∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边、角之间的关系：
sin A＝；
cos A＝；
tan A＝.
(2)三边之间的关系：
a2＋b2＝c2(勾股定理)．
(3)锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝90°.
3．在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其他的元素吗？
4．在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其他的元素吗？
5．在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其他的元素吗？
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a＝5.求∠B，b，c.
解：∵∠B＝90°－∠A＝60°，又∵tan B＝，
∴b＝a·tan B＝5·tan 60°＝5.∵sin A＝，
∴c＝＝＝10.
【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P122例2.
2．已知在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b.
解：a＝csin 60°＝8×＝12，
b＝ccos 60°＝8×＝4，∠B＝30°.
3．已知在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝3，∠A＝30°，求∠B，b，c.
解：∠B＝90°－30°＝60°，
b＝atan B＝3×＝9，
c＝＝6.
(另解：由于＝sin A，∴＝＝6)．
4．已知在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，c＝－，a＝－1，求∠A，∠B，b.
解：＝＝＝sin A，
由此可知，∠A＝45°，∠B＝90°－45°＝45°，
且有b＝a＝－1.
5．已知在△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝6，b＝2，求∠A，∠B，c.
解：由于tan A＝，∴tan A＝＝，
则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，
且有c＝2b＝2×2＝4.
6．在Rt△ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8 cm，求这个三角形的三条边的长．
解：由已知可得△BCD是含30°的直角三角形，
∴CD＝BD＝×8＝4(cm)，△ADB是等腰三角形，
∴AD＝BD＝8(cm)，则有AC＝8＋4＝12(cm)，
BC＝＝12×＝4(cm)，
AB＝＝＝8(cm)．
7．如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD＝BD，则折痕BE的长为多少？
分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC＝BD，∠BDE＝∠C＝
90°，再根据AD＝BD可知AB＝2BC，AE＝BE，故∠A＝30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE＝x，则CE＝6－x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长．
解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，
∴BC＝BD，∠BDE＝∠C＝90°，
∵AD＝BD，∴AB＝2BC，AE＝BE，∴∠A＝30°.
在Rt△ABC中，∵AC＝6，
∴BC＝AC·tan 30°＝6×＝2，
设BE＝x，则CE＝6－x，在Rt△BCE中，
∵BC＝2，BE＝x，
CE＝6－x，BE2＝CE2＋BC2，
∴x2＝(6－x)2＋(2)2，
解得x＝4.即BE＝4.第4章 锐角三角函数
4．1 正弦和余弦
第1课时 正弦的概念和正弦值的求法
学习目标
【知识与技能】
1．理解锐角正弦的定义．
2．会求直角三角形中锐角的正弦值．
3．会用计算器计算任意一个锐角的正弦值．
【过程与方法】
探索正弦定义的过程，逐步培养观察、比较、分析、归纳的能力．
【学习重点】
根据定义求锐角的正弦值．
【学习难点】
探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．你能测量出上海东方明珠电视塔的高度吗？
2．学习了本章内容就能简捷地解决这类问题，本章将介绍锐角三角形函数，它们可以用来解决实际问题．
二、思考探究，获取新知
1．画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算：
＝________＝________．
(1)计算出的比值是否与其他人相等．
(2)根据计算的结果，你能得到什么结论？
(3)这个结论是正确的吗？
(4)若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
2．如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则BC∶AB＝EF∶DE成立吗？请说出你的证明过程．
通过我们的证明，这就说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sin α，即sin α＝.
3．计算sin 30°，sin 45°，sin 60°的值．
【归纳结论】sin 30°＝；sin 45°＝；sin 60°＝.
4．我们已经知道了三个特殊角(30°，45°，60°)的正弦值，而对于一般锐角α的正弦值，我们应该如何来计算呢？
5．利用计算器计算sin 50°的值．
在计算器上依次按键，则屏幕上显示的就是sin 50°的值．
6．如果已知正弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数．
例如：已知sin α＝0.707 1，求α的度数．我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P110例1、P113例2.
2．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b的值为( )
A. B. C. D．2
【答案】A
3．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的正弦值( )
A．不变化 B．扩大3倍
C．缩小 D．以上说法都不对
分析：因为各边值都扩大3倍，所以锐角A的对边与斜边的比值不变．
【答案】A
4．计算sin 36°＝________．(保留四个有效数字)
【答案】0.587 8
5．若sin A＝0.123 4，sin B＝0.213 5，则∠A____∠B(选填“＜”“＞”或“＝”)．
分析：根据sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝，可以发现锐角的度数越大，正弦值越大．
【答案】＜
第2课时 余弦的概念和余弦值的求法
学习目标
【知识与技能】
1．理解锐角余弦的定义．
2．会求直角三角形中锐角的余弦值．
3．会用计算器求一般锐角的余弦值．
【过程与方法】
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
【学习重点】
求直角三角形中锐角的余弦值．
【学习难点】
求直角三角形中锐角的余弦值．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．什么叫作正弦？
2．sin 30°，sin 45°，sin 60°的值分别是多少？
二、思考探究，获取新知
1．如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则＝成立吗？为什么？
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
【归纳结论】在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cos α，即cos α＝.
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角α，有cos α＝sin(90°－α)，从而有sin α＝cos(90°－α)．
2．计算cos 30°，cos 45°，cos 60°的值．
【归纳结论】cos 30°＝；cos 45°＝；cos 60°＝.
3．我们已经知道了三个特殊角(30°，45°，60°)的余弦值，而对于一般锐角α的余弦值，我们可以用计算器来计算．
例如，求cos 50°角的余弦值，我们可以在计算器上依次按键，则屏幕上显示的就是cos 50°的值．
4．如果已知余弦值，我们可以利用计算器求出它对应的锐角的度数．
例如：已知cos α＝0.866 1，求α的度数．我们可以依次按键，则屏幕上显示的就是α的度数．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P115例4.
2．下列说法中正确的个数有( )
①对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1；
②对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2；
③如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2；
④对于任意锐角α，都有sinα＝cos(90°－α)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
3．在△ABC中，∠C＝90°，若2AC＝AB，求∠A的度数及cos B的值．
分析：利用三角形中边的比值关系，结合三角函数的定义解决问题，注意对特殊角三角函数值的逆向应用．
解：∵∠C＝90°，2AC＝AB，∴＝，
∵cos A＝，∴cos A＝，∴∠A＝45°，
∴cos B＝cos 45°＝.
4．计算：cos260°＋cos245°＋sin 30°·sin 45°.
解：原式＝＋＋××
＝＋＋＝.
5．用计算器求值(保留四位小数)：
(1)sin 38°19′；(2)cos 78°43′16″.
解：(1)sin38°19′≈0.620 0.
(2)cos 78°43′16″≈0.195 6.
第3课时 正弦和余弦
学习目标
【知识与技能】
1．进一步认识正弦和余弦．
2．正弦和余弦的综合应用．
【过程与方法】
通过合作交流，能够根据直角三角形中边角关系，进行简单的计算．
【学习重点】
直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用．
【学习难点】
直角三角形中锐角的正弦、余弦的综合应用．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．正弦和余弦的定义是什么？
2．正弦和余弦之间有什么关系？
二、思考探究，获取新知
如图，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差．(结果精确到0.01 m)
解：根据题意可知，
∠BOD＝60°，
OB＝OA＝OD＝2.5 m，
∠AOD＝×60°＝30°，
∴OC＝OD·cos 30°＝2.5×≈2.165(m)．
∴AC＝2.5－2.165≈0.34(m)．
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34 m.
三、运用新知，深化理解
1．求下列式子的值．
＋.
解：原式＝＋
＝＋
＝－(1＋)2－(1－)2
＝－3－2－3＋2＝－6.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sin A＝，求cos A.
解：∵sin A＝，∴AB＝＝6×＝10.
又AC＝＝＝8，
∴cos A＝＝.
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝10，AB的长为多少？sin B呢？
解：∵cos A＝＝＝，
∴AB＝，∴sin B＝.
