1．2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象与性质(1)
学习目标
【知识与技能】
1．会用描点法画反比例函数图象．
2．理解反比例函数的性质．
【过程与方法】
观察、比较、合作、交流、探索．
【学习重点】
画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质．
【学习难点】
理解反比例函数的性质，并能灵活应用．
学习过程
一、情景导入，初步认知
你还记得一次函数的图象吗？一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢？
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数图象的画法
画出反比例函数y＝的图象．
分析：画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤．
思考：(1)当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化？y轴左边的各点是否也有相同的规律？
(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
探究2：反比例函数所在的象限
画出函数y＝的图象，并思考下列问题：
(1)函数图象的两个分支分别位于哪些象限？
(2)在每一象限内，函数值y随自变量x的变化是如何变化的？
【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数y＝的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
探究3：反比例函数y＝－ 的图象
(1)可以用画反比例函数y＝－ 的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；
(2)可以通过探索函数y＝与y＝－ 之间的关系，画出y＝－ 的图象．
【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数y＝的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．
探究4：反比例函数的性质
反比例函数y＝－与y＝的图象有什么共同特征？
【归纳结论】反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是由两支曲线组成的．当k>0时，图象在第一、三象限；当k<0时，图象在第二、四象限．
反比例函数y＝与y＝－(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称．
三、运用新知，深化理解
1．教材P9例1.
2．如果函数y＝2xk＋1的图象是双曲线，那么k＝________．
【答案】－2
3．已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y＝的图象在第________象限．
【答案】二、四
第2课时 反比例函数的图象与性质(2)
学习目标
【知识与技能】
1．会求反比例函数的表达式．
2．巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性．
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力．
【学习重点】
会求反比例函数的表达式．
【学习难点】
反比例函数图象和性质的运用．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．反比例函数有哪些性质？
2．学会了根据函数表达式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的表达式吗？
二、思考探究，获取新知
1．已知反比例函数y＝的图象经过点P(2，4)．
(1)求k的值，并写出该函数的表达式；
(2)判断点A(－2，－4)，B(3，5)是否在这个函数的图象上；
(3)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？
分析：(1)题中已知图象经过点P(2，4)，即表明把P点坐标代入表达式成立，这样能求出k，表达式也就确定了．
(2)要判断A，B是否在这条函数图象上，就是把A，B的坐标代入函数表达式中，如能使表达式成立，则这个点就在函数图象上，否则就不在．
(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况．
【归纳结论】这种求表达式的方法叫作待定系数法．
2．下图是反比例函数y＝的图象，根据图象，回答下列问题：
(1)k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；
(2)如果点A(－3，y1)，B(－2，y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小．
分析：(1)由图象可知，反比例函数y＝的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.
(2)因为点A(－3，y1)，B(－2，y2)是该函数图象上的两点且－3<0，－2<0.所以点A，B都位于第三象限，又因为－3<－2，由反比例函数的图象的性质可知y1>y2.
三、运用新知，深化理解
1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1
C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【答案】A
2．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y＝－ 上，则y1，y2中较小的是____．
【答案】y2
3．已知点P(2，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上．
(1)当x＝－3时，求y的值；
(2)当1＜x＜3时，求y的取值范围．
解：(1)∵点P(2，2)在反比例函数y＝的图象上，
∴2＝，即k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
∴当x＝－3时，y＝－.
(2)当x＝1时，y＝4；当x＝3时，y＝，
又∵反比例函数y＝在x>0时y值随x值的增大而减小，
∴当1第3课时 反比例函数的图象与性质(3)
学习目标
【知识与技能】
1．综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题．
2．借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．
【过程与方法】
经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力．
【学习重点】
理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题．
【学习难点】
学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．正比例函数有哪些性质？
2．一次函数有哪些性质？
3．反比例函数有哪些性质？
二、思考探究，获取新知
1．已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(－3，4)，试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象．
解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y＝k1x，y＝，其中，k1，k2是常数，且均不为0.
由于这两个函数的图象交于P(－3，4)，则P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式．
因此，4＝k1×(－3)，4＝，解得k1＝－ ，k2＝－12，
∴正比例函数表达式为y＝－ x，反比例函数表达式为y＝－ .
函数图象略．
2．在反比例函数y＝的图象上取两点P(1，6)，Q(6，1)，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2.S1与S2有什么关系？为什么？
【归纳结论】反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何意义：过双曲线y＝(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值．
三、运用新知，深化理解
1．如图，A是反比例函数y＝的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积是3，则k的值是( )
A．3 B．－3 C．6 D．－6
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|.
【答案】C
2．已知直线y＝x＋b经过点A(3，0)，并与双曲线y＝的交点为B(－2，m)和C，求k，b的值．
解：点A(3，0)在直线y＝x＋b上，∴0＝3＋b，b＝－3.
一次函数的表达式为y＝x－3.
又∵点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，
∴m＝－2－3＝－5，
即B(－2，－5)．
而点B(－2，－5)又在反比例函数y＝上，
∴k＝－2×(－5)＝10.1．3 反比例函数的应用
学习目标
【知识与技能】
经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想．
【过程与方法】
观察、比较、合作、交流、探索．
【情感态度】
体验数形结合的思想．
【学习重点】
建立反比例函数的模型，进而解决实际问题．
【学习难点】
经历探索的过程，培养学习数学的主动性和解决问题的能力．
学习过程
一、情景导入，初步认知
复习回顾
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？
3．反比例函数图象有哪些性质？
4．反比例函数的图象对称性如何？
二、思考探究，获取新知
1．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务．
(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p＝，请判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？
(2)如人对地面的压力F＝450 N，完成下表：
受力面积S/m2 0.005 0.01 0.02 0.04
压强p/Pa
(3)当F＝450 N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此请说出他们铺垫木板通过湿地的道理．
解：略．
2．你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0)，即pV＝K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？
解：略．
三、运用新知，深化理解
1．教材P15例题．
2．某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200 cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为x cm，长为y cm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )
【答案】A
3．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )
A．小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系
B．长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系
C．压力为600 N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系
D．一个容积为25 L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系
【答案】D
4．一个水池装水12 m3，如果从水管中每小时流出x m3的水，经过y h可以把水放完，那么y与x的函数关系式是________，自变量x的取值范围是________．
【答案】y＝；x＞0
5．若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系式是________(不考虑x的取值范围)．
【答案】y＝
6．一个长方体的体积是100 cm3，它的长是y(cm)，宽是5(cm)，高是x(cm)．
(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式，以及自变量x的取值范围；
(2)画出(1)中函数的图象；
(3)当高是3 cm时，求长方体的长．
解：(1)y＝(x>0)．(2)图象略．(3)长方体的长为 cm.第1章 反比例函数
1．1 反比例函数
学习目标
【知识与技能】
理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式．
【过程与方法】
经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展抽象思维能力．
【学习重点】
理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数表达式．
【学习难点】
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数的模型思想．
学习过程
一、情景导入，初步认知
1．复习已学过的反比例关系，例如：
(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt＝s(s是常数)；
(2)当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)．
2．电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U＝220 V时，请用含R的代数式表示I.
二、思考探究，获取新知
探究1：反比例函数的概念
(1)一群选手在进行全程为3 000 m的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式；
(2)利用(1)的关系式完成下表：
所用时间t(s) 121 137 139 143 149
平均速度v(m/s)
(3)随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？
(4)平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？
(5)观察上述函数表达式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？
探究2：反比例函数的自变量的取值范围
思考：在上面的问题中，对于反比例函数v＝，其中自变量t可以取哪些值呢？
分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围．由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所以t的取值范围为t>0.
【归纳结论】一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成y＝(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，常数k(k≠0)称为反比例函数的比例系数．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P3例题．
2．下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是12 cm2，它的一边是a cm，这边上的高是h cm，a与h的函数关系；
(2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系；
(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系；
(4)某乡粮食总产量为m t，那么该乡每人平均拥有粮食y(t)与该乡人口数x的函数关系．
分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的表达式经过整理后是否符合y＝(k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数表达式，然后解答．
解：(1)a＝，是反比例函数．
(2)F＝pS，是正比例函数．
(3)F＝，是反比例函数．
(4)y＝，是反比例函数．
3．当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例，且V＝5 m3时，ρ＝1.98 kg/m3.
(1)求ρ与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
(2)求V＝9 m3时，二氧化碳的密度．
解：(1)ρ＝(V>0)．
(2)当V＝9 m3时，二氧化碳的密度为1.1 kg/m3.
