第25章 随机事件的概率
25．1 在重复试验中观察不确定现象
第1课时
学习目标
通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断．
学习重难点
重点：随机事件的特点．
难点：对生活中的随机事件作出准确判断．
学习过程
一、情景导入
1．下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？
(1)太阳从西边落下；(2)某人的体温是100 ℃.
2．我们把上面的事件(1)称为必然事件，把事件(2)称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么是不可能事件？它们的特点各是什么？
二、探究新知
5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序．签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5.小军首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机(任意)地取一根纸签．请考虑以下问题：
(1)抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？
(2)抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？
(3)抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？
(4)你能列举与事件(3)相似的事件吗？
总结：称那些无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件．称那些每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件．这两事件在试验中是否发生都是能够预先确定的，所以统称为确定事件．无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件，称为随机事件．
三、巩固练习
指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．
(1)两直线平行，内错角相等；
(2)在装有3个球的布袋里摸出4个球；
(3)地球上物体在重力的作用下自由下落；
(4)抛掷一千枚硬币，全部正面朝上．
解：必然事件：(1)(3)；不可能事件：(2)；随机事件：(4)．25．2.2 频率与概率
学习内容
1．当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
2．模拟实验．
学习目标
理解每次试验可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，用频率估计概率的方法；能应用模拟实验求概率及其它们的应用．
学习重难点
重点：弄清用频率估计概率的条件及方法．
难点：比较用列举法求概率与用频率求概率的条件与方法．
学习过程
一、复习引入
1．用列举法求概率的条件是什么？
2．用列举法求概率的方法是什么？
3．A＝(事件)，P(A)的取值范围是什么？
二、探究新知
1．前面的列举法只能在所有可能是等可能并且有限个的大前提下进行的，如果不满足上面二个条件，是否还可以应用以上的方法呢？不可以
也就是：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
2．例题讲解．
例：某水果公司以4.5元/kg的成本新进了20 000 kg 雪梨，销售人员首先从所有的雪梨中随机地抽取若干雪梨，进行了“雪梨损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中．
雪梨总质量(n)/kg 损坏雪梨质量(m)/kg 雪梨损坏的频率(m/n)
100 11.00 0.110
200 21.00 0.105
500 48.50
800 78.48
1 000 103.08
(1)请你帮忙完成此表；
(2)如果公司希望这些雪梨能够获得税前利润10 000元，那么在出售雪梨(已去掉损坏的雪梨)时，每千克大约定价为多少元比较合适？
分析：由损坏的频率＝可完成上表，填完表后，我们可以估计雪梨损坏的概率为0.1，则雪梨完好的概率为0.9.
解：(1)表中从上到下依次填：0.097，0.098，0.103.
(2)根据估计的概率可以知道20 000 kg雪梨中完好的雪梨为20 000×0.9＝18 000 kg.完好雪梨的实际成本为＝5(元/kg)．
设每千克雪梨的售价为x元，则
(x－5)×18 000＝10 000.
解得x≈5.56元．
因此，出售雪梨时每千克大约定价5.56元比较合适．
三、巩固练习
一个口袋内装有大小与质量均相等的10个小球，每个小球上编有不同的号码1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.从中摸出1个球．
(1)摸出编号是“6”的小球的概率等于多少？这个数表示什么意思？
(2)摸出编号大于或等于“6”的小球的概率等于多少？这个数表示什么意思？
分析：因为口袋内的10个小球的大小与质量均相等，所以从中摸出1个球，其编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9或10的机会是相等的．所以摸出编号是“6”的小球的概率是0.1，而摸出编号大于或等于“6”的小球的概率就是摸出编号是6，7，8，9，10的小球的概率之和，即0.5.
解：(1)0.1，它表示重复摸很多次的话，那么平均每10次有1次摸到编号是“6”的小球．(2)0.5，它表示重复摸很多次的话，那么平均每2次就有1次摸到编号大于或等于“6”的小球．25．2.3 列举所有机会均等的结果
学习目标
会用列表或树状图的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果．
学习重难点
重点：用列表法和树状图法解决问题．
难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用列表或树状图法求出所有可能结果．
学习过程
一、情景导入
1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？
2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，共有几种可能的结果？
二、探究新知
1．要求思考掷两枚硬币所能产生的所有结果．
可能会认为结果只有：两个都为正面，一个正面一个反面和两个都是反面这样3种情形，要弄清这种想法的错误原因．
列出了所有可能结果后，问题就容易解决了．
2．问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的．比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关．同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题．
三、巩固练习
有两组数，第一组数有5个，分别是1，2，3，4，5，第二组数也有5个，分别是6，7，8，9，10.现分别从第一组数和第二组数中各取一个数，求所取的两个数中，第一组中取到的数能整除第二组中取到的数的概率．
解：
第二组第一组 6 7 8 9 10
1 (1，6) (1，7) (1，8) (1，9) (1，10)
2 (2，6) (2，7) (2，8) (2，9) (2，10)
3 (3，6) (3，7) (3，8) (3，9) (3，10)
4 (4，6) (4，7) (4，8) (4，9) (4，10)
5 (5，6) (5，7) (5，8) (5，9) (5，10)
从表中可以看出共有25种结果，其中第一组中的数能整除第二组中的数的共有12种，所以其概率为.
【方法归纳】有关数字问题求概率往往采用列表法比树状图简单．
四、学习小结
用列表或树状图法求出所有可能的结果时，要注意表格的设计，做到使各种可能结果既不重复也不遗漏．第2课时
学习目标
获得“在相同实验条件下，随着实验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐趋于稳定”的认识，体会随机事件中所隐含的确定性内涵．
学习重难点
重点：通过大量实验，体会随着重复实验次数的增大，事件发生的频率将呈现逐渐稳定的趋势，可以由此来预测机会的大小．
难点：逐步培养随机观念．
学习过程
一、情景导入
1．确定事件包括必然事件和不可能事件，它们发生的可能性分别是1和0.
2．你买一张彩票中特等奖是随机事件．
3．投掷一枚骰子，正好是“6”的可能是随机事件．
随机事件是否发生，没有人能够预测，这叫做“随机性”，但是通过上面的例子，我们发现在捉摸不定的背后，隐藏着某种规律．
二、探究新知
探究1：“抛一枚硬币”游戏
这是一个不确定事件，那么不确定事件是否就无规律可循了呢？下面我们就通过实验探索不确定现象背后隐含的规律：
(1)小组为单位投掷硬币，完成表格；
(2)利用表格中的数据绘制折线统计图；
(3)出现反面的数据和频率怎么求？
(4)你发现了什么规律？
小结：当实验次数越多，“出现正面”的频率在0.5附近波动．(体会随机事件中所隐含的确定性内涵问题)
如果换成其它试验，是否也能发现类似的规律呢？
探究2：抛“两枚硬币”游戏
(1)预测一下“出现两个正面”和“出现一正一反”的频率；
(2)抛掷两枚硬币，看看当抛掷次数很多以后“出现两个正面”和“出现一正一反”这两个不确定事件的频率是否也会比较稳定；
(3)制作折线统计图．你发现了什么规律？和你的预测相符吗？在实验过程中有哪些问题需要注意？
三、学习小结
1．借助实验，可以进一步体会随机事件在每次实验中发生与否具有不确定性．
2．获得“在相同实验条件下，随着实验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐趋于稳定”的认识．25．2 随机事件的概率
25．2.1 概率及其意义
学习目标
复习概率的意义，为解决利用一般方法求概率的繁琐，探究用特殊方法求概率，然后应用这种方法解决一些实际问题．
学习重难点
重点：理解事件A发生的概率为P(A)＝，以及运用它解决实际问题．
难点：通过实验理解P(A)＝并应用它解决一些具体问题．
学习过程
一、探究新知
1．请回答下列问题．
(1)概率是什么？
(2)P(A)的取值范围是什么？
(3)在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？我们又把这个常数叫做什么？
(4)A是必然事件，B是不可能发生的事件，C是随机事件．请你画出数轴把这三个量表示出来．
总结：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率，记为P(A)．
0≤P(A)≤1.
利用P(A)＝解决一些具体题目，它具有普遍性．
2．把学生分为10组，按要求做试验并回答问题．
(1)从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的签上的号码有多少种可能？其抽到1的概率为多少？
(2)掷一个骰子，向上的一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1的概率是多少？
答：(1)可能结果有1，2，3，4，5这5种情况，由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是.其概率是.
(2)有1，2，3，4，5，6这6种可能．由于骰子的构造相同、质地均匀，又是随机掷出的，所以我们可以断言：每种结果的可能性相等，都是.
总结：以上两个试验有两个共同的特点：
①一次试验中，可能出现的结果有限多个；
②一次试验中，各种结果发生的可能性相等．
对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比分析出事件的概率．
3．例题讲解．
例：如图，有一个转盘，转盘被分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，求下列事件的概率：
(1)指针指向绿色；(2)指针指向红色或黄色；(3)指针不指向红色．
分析：转一次转盘，它的可能结果有4种—有限个，并且各种结果发生的可能性相等．因此，它可以应用P(A)＝来解决问题．
解：(1)P(指针指向绿色)＝.
(2)P(指针指向红色或黄色)＝.
(3)P(指针不指向红色)＝.
三、巩固练习
教材P139练习．
