24．3 锐角三角函数
24．3.1 锐角三角函数
第1课时
学习目标
了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切三个三角函数的定义，并能应用这些概念解决一些实际问题．
学习重难点
重点：理解三角函数的概念．
难点：区别三个三角函数．
学习过程
一、复习引入
在Rt△ABC中，若AC＝160 cm，∠B＝90°，∠C＝31°，那么AB的长度为多少呢？
二、探究新知
1．明确直角三角形边角关系的名称．
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，我们已经知道∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a，b表示．
2．在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的．
3．如图，△ABC和△A1B1C1中，若∠C＝∠C1＝∠90°， ∠A＝∠A1，那么△ABC和△A1B1C1相似吗？BC与B1C1相等吗？ 和相等吗？
分析：显然△ABC∽△A1B1C1， ＝，这说明在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值．
这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的．
总结：锐角三角函数的概念．
在Rt△ABC中．
(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin A＝ ＝.
(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos A＝＝.
(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan A＝＝.
4．在Rt△ABC中，∠B的正弦、余弦、正切是哪一边与哪一边的比值？
5．锐角三角函数都是正实数吗？为什么？
6．若∠A是锐角，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1，为什么？
7．例题讲解．
例：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.若a＝2b，求∠A和∠B的三个三角函数值．
分析：根据锐角三角函数的定义，锐角的三角函数值是比值，因此只要求出锐角所在的直角三角形任何两条边的比例关系，由a＝2b和勾股定理可以求出c与a或b的比例关系，进而求出∠A，∠B的四个三角函数值．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2b，∴c＝＝＝b.
如图所示，sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，tan A＝＝＝2，sin B＝＝＝，cos B＝＝＝，tan B＝＝＝.
【方法归纳】比较例中sin A与cos B、cos A与 sin B、tan A与tan B的值，有sin A＝cos B，cos A＝sin B，tan A＝，这一规律对一般的直角三角形都成立．
三、巩固练习
教材P107练习的第1，2两题．
四、学习小结
在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角的三角函数，它反映的是两条线段的比值．第3课时
学习目标
知道测量中坡度、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题．
学习重难点
重点：计算与坡度、坡角有关的问题．
难点：利用解直角三角形的方法熟练地解与坡度、坡角有关的实际问题．
学习过程
一、情景导入
如图，斜坡AB和斜坡A′B′哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A′B′的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A.从图形可以看出，＞，即tan A′＞tan A．在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．
二、探究新知
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．
如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tan B，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．
2．例题讲解．
例：如图，水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为23 m，斜坡AB的坡度i＝1∶，斜坡CD的坡度i′＝1∶1，求斜坡AB的长、坡角α和坝底宽AD.(结果保留根号)
分析：过B，C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，分别交AD于E，F两点，构造直角三角形解决此题．
解：过B，C两点分别作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在Rt△AEB中，∵＝，∴tan α＝＝，∴α＝30°，∴AB＝2BE＝2×23＝46(m)，
AE＝＝23(m)．在Rt△CFD中，∵＝，
∴DF＝CF＝23 m.
∴AD＝AE＋EF＋FD＝23＋6＋23＝(29＋23)m.
【方法归纳】解坡度问题需要注意的问题：
(1)适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形；
(2)坡度i与坡角α之间具有的关系：i＝tan α＝.
三、巩固练习
教材P116练习．
四、学习小结
会知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．24．4 解直角三角形
第1课时
学习目标
了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形．
学习重难点
重点：了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的方法．
难点：利用已知元素解直角三角形．
学习过程
一、情景导入
一棵大树在一次强烈的台风中于地面10 m处折断倒下，树顶落在离树根24 m处．问大树在折断之前高多少米？
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为＝26，26＋10＝36，所以大树在折断之前高为36 m.
二、探究新知
1．解直角三角形的定义．
任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形．
2．解直角三角形可以用到的关系式：
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°；
(2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2；
(3)边与角关系sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，tan A＝.
3．例题讲解．
例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝，解这个直角三角形．
分析：解直角三角形就是把直角三角形中除已知元素外的未知元素求出来的过程，故此题需求出∠B，边a，c.
解：∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，
∵tan A＝，
∴a＝b·tan A＝·tan 30°＝×＝1.
∵cos A＝，∴c＝＝＝＝2，
∴∠B＝60°，a＝1，c＝2.
【方法归纳】解直角三角形时会用到勾股定理、锐角三角函数的知识，应根据具体问题具体分析，如本题中的c也可由勾股定理求得．
例2：如图，东西两炮台A，B相距2 000 m，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到1 m)．
分析：本题中，已知条件是什么？(AB＝2 000 m，∠CAB＝90°－ ∠CAD＝50°)，那么求AC的长是用“弦”还是用“切”呢？求BC的长呢？显然，AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数，而求BC的长可以用正切函数．
解：BC＝2 000×tan 50°≈2 384(m)．
AC＝≈3 111(m)．
答：敌舰与两炮台的距离为3 111 m和2 384 m.
问题：
(1)求出AC后，能否用勾股定理求得BC；
(2)在这题中，是否可用正弦函数求AC，是否可以用正切函数求得BC.
通过这道例题的分析和挖掘，明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“方法”以达到目的．
4．从上面的两道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以利用边角关系求出其他的边与角．所以，解直角三角形无非以下两种情况：
(1)已知两条边，求其他边和角；
(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角．
三、巩固练习
教材P113练习1.
四、学习小结
利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，应根据题目的具体条件，正确选择上述的“方法”，求出题目中所要求的边与角．24．3.2 用计算器求锐角三角函数值
学习目标
能用计算器求锐角三角函数值，并能初步运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角形的问题．
学习过程
一、情景导入
问题：小明放一个线长为125 m的风筝，他的风筝线与水平地面构成60°的角，他的风筝有多高？(精确到1 m)
根据题意画出示意图，如图所示，在Rt△ABC中，AB＝125 m，∠B＝60°，求AC的长．
在上节课，学习了30°，45°，60°的三角函数值，假如把上题的 ∠B＝60°改为∠B＝63°，这个问题是否也能得到解决呢？
二、探究新知
例1：用计算器求下列三角函数值．(精确到 0.000 1)
(1)sin 50°；(2)cos 23°34′12″；(3)tan 32°16′24″；(4)tan 36°.
分析：按键顺序分别为：
(1).(2).
(3).
(4).
解：(1)sin 50°≈0.766 0.
(2)cos 23°34′12″≈0.916 6.
(3)tan 32°16′24″≈0.631 6.
(4)tan 36°≈0.726 5.
例2：已知＝0.195 0，求锐角x(精确到1′)．
分析：根据tan x＝，可以求出tan x的值，然后根据例1的方法就可以求出锐角x的值．
解：∵tan 11°2′＝0.195.∴x＝78°58′.
通过以上的学习，我们可以利用计算器求出任何锐角的三角函数值，那么对于上述提出的问题不难得到解决．
三、巩固练习
如图是一块平行四边形的地皮，已知AB＝43 m，AD＝34 m，∠A＝67°26′53″，求这块地皮的面积．
解：作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，DE＝AD·sin A≈31.3(m)，
S ABCD＝AB·DE≈1 345.9(m2)．
答：这块地皮的面积为1 345.9 m2.第24章 解直角三角形
24．1 测 量
学习目标
了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣．
学习重难点
重点：利用图形相似解有关测量长度、宽度、高度的问题．
难点：针对不同类型的测量物体选择恰当的方法作答．
学习过程
一、情景导入
测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量．当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢？
二、探究新知
1．课本P100上阐述的测量旗杆高度的方法有几种？你是如何理解的呢？
第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度．(如图所示)
分析：由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直于地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以△ACB∽△A1C1 B1，因此＝，则BC＝AC·，即可求得旗杆BC的高度．
2．如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢？
第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10 m处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC＝34°，并且已知目高AD为1 m，现在请你按1∶500(根据具体情况而定，选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以计算旗杆的实际高度．
分析：由画图可知：
∵∠BAC＝∠B1A1C1＝34°，∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，
∴△ABC∽△A1B1C1 ，∴B1C1＝BC，
∴BC＝500B1C1，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度．
【方法归纳】解决有关测量问题，关键是将其抽象为数学模型(如：相似三角形，全等三角形等)，然后再利用相应的知识来解答．根据你所选用的测量工具确定不同的数学模型．
三、巩固练习
为了测量学校旗杆的高度，身高1.65 m的小明和小刚来到操场上，他让小刚到体育室借来皮尺，量出小明的影长为0.5 m，旗杆的影长为2.3 m．运用这些数据，小明算出了旗杆的大约高度．
分析：由于太阳光可以看作是一束平行光线，小明和旗杆又都垂直于地面，所以由太阳光线、实物及实物的影子构成的三角形都是相似的(在同一时刻)．
解：如图所示，AC，A′C′分别代表小明身高、旗杆的高度，BC，B′C′则分别代表小明、旗杆在同一时刻的影长．由于太阳光线可以看作是一束平行光线，
∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝.又∵BC＝0.5 m，B′C′＝2.3 m，AC＝1.65 m．∴A′C′＝7.59 m，即旗杆的高度为7.59 m.
四、学习小结
本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法．第2课时
学习目标
进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养把实际问题转化为数学问题的能力．
学习重难点
重点：仰角和俯角有关的实际问题．
难点：比较熟练地利用解直角三角形的方法解与仰角、俯角有关的实际问题．
学习过程
一、情景导入
在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢？ 如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．图中的∠2就是仰角， ∠1就是俯角．
二、例题讲解
例1：如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7 m的C处，用1.20 m的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高度．(精确到0.1 m)
分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1.20 m，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决，在△BDE中，已知DE＝CA＝22.7 m，∠BDE＝22°，正切或余切都能解决这个问题．
解：在Rt△BDE中，
BE＝DE·tan α＝AC·tan α≈9.2，
∴AB＝BE＋AE＝BE＋DC≈10.4(m)．
答：电线杆AB的高度约为10.4 m.
例2：A，B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，两楼不能相互到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)．
(1)设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形；
(2)用测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式．
分析：如图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A楼的顶层测B楼的顶端的仰角，再测B楼的底端的俯角，这样在Rt△ACD中就可以求出CD的长度，因为AE＝CD，而后Rt△ABE中求得BE的长度，这样BD的长度就可以求出．
解：(1)如右图．设AC表示A楼，BD表示B楼，测量步骤为：
①用测角器测量A点到D点的俯角α.
②用测角器测量A点到B点的仰角β.
③用皮尺测量A点到C点的距离a.
(2)在Rt△ACD中，CD＝.
在△ABE中，BE＝AE·tan β，
∵AE＝CD.∴BE＝·tan β＝.
∴BD＝BE＋ED＝BE＋AC＝＋a.
三、巩固练习
教材P114练习2.
四、学习小结
本节课学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形这样的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题选用适当的数学知识加以解决．24．2 直角三角形的性质
学习目标
掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．
学习重难点
重点：掌握直角三角形性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．
难点：能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．
学习过程
一、复习引入
1．什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有啥关系？两条直角边与斜边有什么关系？
(1) 直角三角形两锐角互余；
(2) 两条直角边的平方和等于斜边的平方．(勾股定理)
2．即时练习：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，那么∠A＝60°，∠B＝30°；
(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角有∠A，∠BCD，与∠A相等的角有∠BCD，与∠B相等的角有∠ACD；
(3)在直角三角形中，两条直角边分别为6，8，斜边的长为10.
二、探究新知
1．活动一：
(1)画一个直角三角形；
(2)量一量斜边AB的长度；
(3)找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；
(4)量一量斜边上的中线的长度．
猜想：斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？
2．活动二：证一证
如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD＝AB.
证明(见教材P103)
小结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
利用直角三角形的上述性质，可以解决某些与直角三角形有关的问题．
3．例题讲解．
例：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝AB.
证明(教材P103)
小结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
三、巩固练习
教材P104页练习1，2，3.第2课时
学习目标
进一步掌握三角函数的概念，并能熟练运用此概念探索30°，45°，60°等角度的三角函数值，培养运用知识解决问题的能力．
学习重难点
重点：掌握三角函数的概念，记住30°，45°，60°的三角函数值．
难点：记住30°，45°，60°的三角函数值．
学习过程
一、情景导入
如图，这是一块三角形草皮，∠A＝60°，AB＝2 m，AC＝1.8 m，那么这块三角形的草皮面积为多少呢？
分析：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，我们知道， ＝sin A，CD＝ACsin 60°，AC是已知的，假如sin 60°能够知道，那么CD就可求，那么这个问题就得到解决．
本节课一同来探讨30°，45°，60°的三角函数值．
二、探究新知
1．通过测量，计算sin 30°的值，进而求出30°的其他三角函数值．
请画一个含有30°角的直角三角形，而后用刻度尺量出它的对边和斜边，计算sin 30°的值，并与同伴交流，看看这个值是多少．
通过测量计算，我们可以得到sin 30°＝＝，即斜边等于对边的两倍．因此，我们还可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即c＝2a，由勾股定理得到b＝＝＝a，所以cos 30°＝＝＝，tan 30°＝＝.
2.由上面测量得到的sin 30°值，推出60°角的四个三角函数值．
若∠A＝30°，则∠B＝60°，c＝2a，b＝＝＝a，
则sin 60°＝＝＝ ，cos 60°＝＝＝，tan 60°＝＝.
3.用同样的方法，求出45°角的三角函数值．
4．用表格列出30°，45°，60°角的三个三角函数值．
5．例题讲解．
例：如图，Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD＝1，求S △ABC.
解：在Rt△ACD中，
∵∠A＝30°，∴CD＝AC.
∵CD＝1，
∴AC＝2.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，
∴BC＝AB，即AB＝2BC.
∵AB2＝BC2＋AC2，∴AB2＝BC2＋4，
由解得
∵S △ABC＝AB·CD，∴S △ABC＝××1＝.
【方法归纳】要分清30°角所对的直角边和它所在直角三角形的斜边．
三、巩固练习
1．计算：
(1)sin 30°＋cos 45°－(tan 60°－1)＋tan 30°cos 30°；
(2)cos245°＋tan 60°－；
(3)已知：cos(α＋28°)＝，求α的度数．
解：(1)原式＝2＋－.(2)原式＝.(3)α＝2°.
2．如图，Rt△ABC中，∠A＝15°，你是否能够通过添加辅助线，构造适当的三角形，求得它的正切值.
解：过点B作∠ABD＝15°，与AC交于点D.
∵∠A＝15°，∠C＝90°.
∴∠ABC＝75°.
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝60°.
∴∠BDC＝30°，BD＝2BC.
设BC＝x，则BD＝2x，
∴CD＝BC tan∠CBD＝x.
∵∠A＝15°，∠ABD＝15°.
∴∠A＝∠ABD.
∴AD＝BD＝2x.
∴AC＝CD＋AD＝x＋2x.
∴tan A＝tan 15°＝＝＝2－.
四、学习小结
通过测量，计算求出了30°，45°，60°角的三个三角函数值，记住这些特殊角的三角函数值，这在今后的学习中有很大的帮助，同时，在求这些三角函数值时的方法也显得相当的重要，应领会其实质．
