第22章 一元二次方程
22．1 一元二次方程
第1课时
学习内容
了解一元二次方程的概念；一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．
学习目标
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学习热情．
学习重难点
重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
学习过程
一、复习引入
1．古算趣题：“执竿进屋”．
笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨人依言试一试，不多不少刚抵足．
借问竿长多少数，谁人算出我佩服．
如果假设竿的长为x尺，那么，这个门的宽为(x－4)尺，长为(x－2)尺，
根据题意，得(x－2)2＋(x－4)2＝x2.
整理、化简，得x2－12x＋20＝0.
2．如图，如果＝，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AB＝1，AC＝x，那么BC＝1－x，
根据题意，得＝.
整理得x2＋x－1＝0.
3．有一面积为54 m2的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x m，那么原来长方形长是(x＋5)m，宽是(x＋2)m，
根据题意，得(x＋5)(x＋2)＝54.
整理，得x2＋2x－44＝0.
二、探究新知
请回答下面问题．
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？
(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
(3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？
解：(1)都只含一个未知数x.(2)它们的最高次数都是2次的．(3)都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1：将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．因此，方程3x(x－1)＝5(x＋2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：一般形式为3x2－8x－10＝0，二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2：将方程(x＋1)2＋(x－2)(x＋2)＝1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把(x＋1)2＋(x－2)(x＋2)＝1化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式．
解：一般形式为x2＋x－2＝0.二次项为x2，二次项系数为1；一次项为x，一次项系数为1；常数项为－2.
三、巩固练习
1．判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x＋2＝5y－3; (2) x2＝4；(3) 3x2－＝0；
(4)x2－4＝(x＋2)2；(5) ax2＋bx＋c＝0.
解：(1)不是．(2)是．(3)不是．(4)不是．(5)是．
2．若x2－2xm－1＋3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．
解：m的值为1，2或3.
3．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，
∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
四、学习小结
1．一元二次方程的概念．
2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其运用．第4课时
学习目标
掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
学习重难点
重点：如何解决增长率与降低率问题．
难点：解决增长率与降低率问题．
学习过程
一、探究新知
例：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200(元)，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为 5 000(1－x)2 元，依题意得
5 000(1－x)2＝3 000，
解得x≈1.775(舍)，x2≈0.225.
∴甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？ 比较：两种药品成本的年平均下降率.22.5%，相同
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？
(经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．)
总结：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b(增长取＋，降低取－)
二、巩固练习
1．某林场现有木材a m3，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材a(1＋p%)2m3.
2．某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为15＋15(1＋x)＋15(1＋x)2＝60.
3．某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1 320元，求这种存款方式的年利率．
解：所求的年利率是10%.
三、学习小结
增长率与降低率问题．第2课时
学习目标
1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．复习几种特殊图形的面积公式来解决实际生活问题．
学习重难点
重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
学习过程
一、复习引入
1．直角三角形、一般三角形的面积公式是什么？
2．正方形、长方形、梯形、菱形、平行四边形、圆的面积公式是什么？
二、探究新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
例1：某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底比渠深多0.4 m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m，则上口宽为(x＋2)m，渠底为(x＋0.4)m，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：(1)设渠深为x m，则渠底为(x＋0.4)m，上口宽为(x＋2)m.
依题意，得(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6.
解得x1＝0.8，x2＝－2(舍)，
∴上口宽为2.8 m，渠底为1.2 m.
(2)＝25(天)．
∴需要25天才能挖完渠道．
例2：如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)
分析：(1)本体中有哪些数量关系？(2)“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”如何理解？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
解：依据题意知，中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比为9∶7，由此可以判定，上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7，设上、下边衬的宽均为9x cm，则左、右边衬的宽均为7x cm.依题意，得中央矩形的长为(27－18x) cm，宽为(21－14x) cm.
∵四周的彩色边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的.
∴(27－18x)(21－14x)＝×27×21，
整理，得16x2－48x＋9＝0，
解方程，得x＝，x1≈2.8(舍去)，x2≈0.2.
∴9x＝1.8，7x＝1.4.
因此，上下边衬的宽均为1.8 cm，左、右边衬的宽均为1.4 cm.
三、巩固练习
1．某校为了美化校园，准备在一块长32 m，宽20 m的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校同学参与设计，现在有两位学生各设计了一种方案(如图)，根据两种设计方案各列出方程，求图中道路的宽分别是多少时，图①②的草坪面积为540 m2.
① ②
解：图①的路宽为1 m，图②的路宽为2 m.
2．如图①②，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ＝8 cm2
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，△PCQ的面积等于12.6 cm2
(提示：过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则＝)
解：(1)设x s，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8 cm2.则(6－x)·2x＝8.
整理，得x2－6x＋8＝0.解得x1＝2，x2＝4，
∴经过2 s或4 s，S△PBQ＝8 cm2.
(2)设y s后点P移到BC上，且有CP＝(14－y)cm，点Q在CA上移动，且有CQ＝(2y－8)cm，
过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有 ＝.
∵AB＝6，BC＝8，
∴由勾股定理，得AC＝＝10，
∴DQ＝＝，
则(14－y)·＝12.6，解得y1＝7，y2＝11，
当y＝11时，点Q在CA上距C点14 cm>10 cm，超过CA的范围，舍去．
∴经过7 s，△PCD的面积为12.6 cm2.
四、学习小结
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系
(2022版新课标已改为必学内容)
第1课时
学习目标
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．
2．培养分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．培养发现规律的积极性及勇于探索的精神．
学习重难点
重点：根与系数的关系及其推导．
难点：正确理解根与系数的关系：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．
学习过程
一、复习引入
1．已知方程 x2－ax－3a＝0的一个根是6，则求a及另一个根的值．
2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？
3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝，x2＝.观察两式左边，分母相同，分子是－b＋与－b－.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？
二、探究新知
解下列方程，并填写表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2
x2－2x＝0
x2＋3x－4＝0
x2－5x＋6＝0
观察上面的表格，你能得到什么结论？
(1)关于x的方程 x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1, x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？
解下列方程，并填写表格：
方程 x1 x2 x1＋x2 x1· x2
2x2－7x－4＝0
3x2＋2x－5＝0
5x2－17x＋6＝0
总结：根与系数的关系：
(1)关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q为常数，p2－4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零)
(2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．
即： 对于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，∵a≠0，
∴x2＋ x＋＝0，∴x1＋x2＝－，x1·x2＝.
(可以利用求根公式给出证明)
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
(1)x2－3x－1＝0； (2)x2－2x＝0；
(3)x2＋x＝； (4)x2－1＝0.
解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1.(2)x1＋x2＝6，x1x2＝0.
(3)x1＋x2＝－，x1x2＝－.(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－1.
例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
(1)x2－2＋1＝0；(x1＝＋1，x2＝－1)
(2)2x2－3x－8＝0.(x1＝，x2＝)
解：(1)正确．(2)不正确．
例3：已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
解：另一根为，k＝3.
变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k.
解：k＝0.
变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.
解：k＝2.
三、巩固练习
1．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根是1，求另一根及m的值．
解：另一根为2，m＝2.
2．已知方程x2－4x＋c＝0的一个根为2＋，求另一根及c的值．
解：另一根为2－，c＝1.
3．已知关于x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是另一个根的2倍，求m的值．
解：m＝2.
4．已知某方程两根和为8，积为9，求这两个根．
解：这两个根分别是4＋，4－.
5．x2－2x＋6＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝2，x1·x2＝6是否正确？
解：不正确．由根的判别式可知方程无实数根，故方程不满足根与系数关系．
6．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．
(1)x2－5x－3＝0；(2)9x＋2＝x2；
(3) 6x2－3x＋2＝0；(4)3x2＋x＋1＝0.
解：(1)x1＋x2＝5，x1x2＝－3.
(2)x1＋x2＝9，x1x2＝－2.
(3)方程无实数根．(4)方程无实数根．
7．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值．
解：另一根为－3，b＝5.
四、学习小结
1．根与系数的关系．
2．根与系数关系使用的前提：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．22．3 实践与探索
第1课时
学习目标
掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题．
学习重难点
重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题．
难点：建立数学模型解决实际问题．
学习过程
一、复习引入
路程、速度和时间三者的关系是什么？
二、探究新知
例：一辆汽车以20 m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25 m后停车．
(1)从刹车到停车用了多少时间？
(2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
(3)刹车后汽车滑行到15 m时约用了多少时间(精确到0.1 s)
分析：(1)刚刹车时车速还是20 m/s，以后逐渐减少，停车时车速为0.因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为＝10 m/s，那么根据：路程＝速度×时间，便可求出所用的时间；
(2)很明显，刚要刹车时车速为20 m/s，停车车速为0，车速减少值为20－0＝20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可；
(3)设刹车后汽车滑行到15 m时约用了x s．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15 m的车速，从而可求出刹车到滑行到15 m的平均速度，再根据：路程＝速度×时间，便可求出x的值．
解：(1)从刹车到停车所用的时间是＝2.5(s)．
(2)从刹车到停车每秒平均车速减少值是
＝8(m/s)．
(3)刹车后汽车行驶到15 m时约用0.9 s.
三、巩固练习
1．同上题，刹车1 s后汽车行驶了多少路程？(精确到0.1 s)
解：16 m.
2．刹车2 s后汽车行驶了多少路程？(精确到0.1 s)
解：24 m.
四、应用拓展
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
(1)小岛D和小岛F相距多少海里？
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile)
分析：(1)依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长；
(2)要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求．
解：(1)连接DF，则DF⊥BC.
∵AB⊥BC，AB＝BC＝200 n mile，
∴AC＝AB＝200 n mile，∠C＝45°，
∴CD＝AC＝100 n mile，
DF＝CF，DF＝CD，
∴DF＝CF＝CD＝100(n mile)．
∴小岛D和小岛F相距100 n mile.
(2)设相遇时补给船航行了x n mile，那么DE＝x n mile，AB＋BE＝2x n mile，EF＝AB＋BC－(AB＋BE)－CF＝(300－2x)n mile.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得
x2＝1002＋(300－2x)2.
整理，得3x2－1 200x＋100 000＝0.
解得x1＝200－≈118.4，
x2＝200＋(不合题意，舍去)．
∴相遇时补给船大约航行了118.4 n mile.
五、学习小结
运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．第3课时
学习目标
1．掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
2．复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．
学习重难点
重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
难点：某些量的变化状况不能衡量另外一些量的变化状况．
学习过程
一、复习引入
问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
分析：总利润＝每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是(0.3－x)元，总件数应是元．
解：设每张贺年卡应降价x元．则
(0.3－x)＝120，解得x＝0.1(负值舍去)．
答：每张贺年卡应降价0.1元．
二、探究新知
刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元？如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢？即绝对量与相对量之间的关系．
例：某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大？
分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；＝≈，从这些数目看，好像两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题．
解：由题可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元．
设每张乙种贺年卡应降价y元，
则(0.75－y)＝120，
即(200＋136y)＝120，
整理，得68y2＋49y－15＝0，
y＝，
∴y1≈－0.95(不符题意，应舍去)，y2≈0.25.
答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大．
三、巩固练习
1．新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2 500元，市场调研表明：当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2 000元，市场调研表明：当销售价为2 600元时，平均每天能售出12台；而当销售价每涨价25元时，平均每天就能少售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，那么两种冰箱的定价应各是多少？
解：设甲种冰箱降价x个50元，乙种冰箱涨价y个45元．则(2 900－50x－2 500)×(8＋4x)＝5 000，
解得x1＝x2＝3，2 900－50x＝2 750.
(2 600＋25y－2 000)(12－4y)＝5 000，
解得y1＝－22(舍去)，y2＝1，
∴2 600＋25y＝2625.
答：两冰箱的定价分别为2 750元和2 625元．
2．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500 kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
(3)商品想在月销售成本不超过10 000元的情况下，使得月销售利润达到8 000元，销售单价应为多少？
解：(1)销售量：500－5×10＝450(kg)；
销售利润：450×(55－40)＝450×15＝6 750元．
(2)y＝(x－40)[500－10(x－50)]
＝－10x2＋1 400x－40 000.
(3)由于水产品不超过10 000÷40＝250 kg，定价为x元，则(x－40)[500－10(x－50)]＝8 000，
解得x1＝80，x2＝60.
当x1＝80时，进货500－10(80－50)＝200 kg<250 kg，满足题意．
当x2＝60时，进货500－10(60－50)＝400 kg>250 kg，舍去．
∴销售单价应为每千克80元．
四、学习小结
建立多种一元二次方程的数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．第2课时
学习目标
熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题．
学习重难点
重点：一元二次方程根与系数关系的灵活运用．
难点：某些代数式的变形．
学习过程
一、复习引入
一元二次方程的根与系数的关系：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么 x1＋x2＝－，x1·x2＝.
一元二次方程根与系数的关系充分刻化了两根和与两根积和方程系数的关系，它的应用不仅在验根、已知一根求另一根及待定系数k的值，还在其他数学问题中有广泛而又简明的应用．
二、探究新知
例1: 已知x1，x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值．
(1)x＋x； (2)＋； (3)(x1－3)(x2－3)；
(4)(x1－x2)2; (5)x－x2＋x1－x；(6)＋.
解：(1).(2)3.(3)13.(4).(5)±.
(6)－.
运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x1＋x2和x1x2表示的代数式．
例2：已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0的两个实数根的平方和是11，求k的值．
分析：使用根与系数关系的前提是判别式大于等于零．
解：设方程两实数根为x1，x2.
由x＋x＝11得k＝±－1，
由b2－4ac≥0得k≥－，故k＝－1.
三、巩固练习
1．已知方程x2＋3x＋1＝0的两个根为x1，x2，求(1＋x1)(1＋x2)的值．
解：(1＋x1)(1＋x2)＝－1.
2．m为何值时，
(1)方程x2－4x＋3m＋1＝0有两个不相等的正数根？
解：－(2)方程2x2＋x－2m＋1＝0的两根异号？
解：m>.
3．已知x1, x2是方程5x2－7x＋2＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值．
(1) x＋x；(2)(x1＋x2)2；(3)(1＋x1)(1＋x2) .
解：(1).(2).(3).
四、学习小结
1．利用根与系数的关系求代数式的值．(关键是将所求代数式用含有两根和与两根积的式子表示出来)
2．已知两根满足某种关系式，求字母的值．(注意判别式要大于等于零)第2课时
学习目标
1．了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
2．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
学习重难点
重点：弄清配方法的解题步骤．
难点：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
学习过程
一、复习引入
解下列方程：(1)x2－4x＋7＝0；(2)2x2－8x＋1＝0.
已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
二、探究新知
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p±；如果q＜0，方程无实数根．
例：解下列方程：
(1)2x2＋1＝3x；(2)3x2－6x＋4＝0；
(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.
分析：已经介绍了配方法，因此，解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．
解：(1)x1＝，x2＝1.
(2)原方程无实数解．
(3)x1＝－2，x2＝－－2.
三、巩固练习
用配方法解方程(6x＋7)2(3x＋4)(x＋1)＝6.
分析：因为如果展开(6x＋7)2，那么方程就变得很复杂，如果把(6x＋7)看为一个数y，那么(6x＋7)2＝y2，其它的3x＋4＝(6x＋7)＋，x＋1＝(6x＋7)－，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．
解：设6x＋7＝y，则3x＋4＝y＋，x＋1＝y－.
依题意，得y2＝6.
去分母，得y2(y＋1)(y－1)＝72.y2(y2－1)＝72,
y4－y2＝72，＝，
y2－＝±，y2＝9或y2＝－8(舍)，∴y＝±3.
当y＝3时，x＝－；当y＝－3时，x＝－.
∴原方程的根为x1＝－，x2＝－.
四、学习小结
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．22．2.3 公式法
第1课时
学习目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2．复习具体的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
学习重难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程求根公式法的推导．
学习过程
一、复习引入
1．前面已经学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
(1)x2＝4； (2)(x－2) 2＝7.
2．这种解法的(理论)依据是什么？这种解法的局限性是什么？
答：只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．
3．面对这种局限性，怎么办？
答：使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．
二、探究新知
1．用配方法解方程：
(1)ax2－7x＋3 ＝0；(2)ax2＋bx＋3＝0.
2．如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请完成下面这个问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝，x2＝(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)
分析：因为前面具体的配方法解方程已做得很多，我们现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得ax2＋bx＝－c.
二次项系数化为1，得x2＋x＝－ .
配方，得＝.
∵4a2>0，当b2－4ac≥0时≥0，
∴＝.
直接开平方，得x＋＝，
即x＝，
∴x1＝，x2＝.
由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝ 就得到方程的根．公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性．
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例：用公式法解下列方程．
(1)2x2－x－1＝0；(2)x2－0.75＝－3x；
(3)4x2－3x＋2＝0.
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：(1)x1＝－，x2＝1.
(2)x1＝－＋，x2＝－－.(3)无解．
三、巩固练习
1．教材P30练习．
2．某数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1 ＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题：若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
分析：要使它为一元二次方程，必须满足m2＋1＝2，同时还要满足(m＋1)≠0.
解：存在．根据题意，得m2＋1＝2，m2＝1，m＝±1.
当m＝1时，m＋1＝1＋1＝2≠0；
当m＝－1时，m＋1＝－1＋1＝0(不合题意，舍去)．
∴方程为2x2－x－1＝0，a＝2，b＝－1，c＝－1，
b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－1)＝1＋8＝9，
x＝＝，x1＝1，x2＝－ .
因此，该方程是一元二次方程时，m＝1，两根x1＝1，x2＝－ .
四、学习小结
1．求根公式的概念及其推导过程．
2．公式法的概念．
3．应用公式法解一元二次方程的步骤．
4．初步了解一元二次方程根的情况．22．2.2 配方法
第1课时
学习目标
1．理解通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
2．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
学习重难点
重点：理解“直接降次有困难”，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．
难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．
学习过程
一、复习引入
解下列方程：
(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0.
上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±或mx＋n＝±(p≥0)．
二、探究新知
列出下面问题的方程并回答：
问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽各是多少？
(1)列出经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
(2)能否直接用上面三个方程的解法呢？
解：(1)前三个左边是含有x的完全平方式而后两个不具有．
(2)不能．
既然不能直接降次解方程，那么就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程：
x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16，
两边加使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9，
左边写成平方形式 →(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5，即x＋3＝5或x＋3＝－5，
解一次方程→x1＝2，x2＝－8.
可以验证x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2 m，长为8 m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例：用配方法解下列关于x的方程；
(1)x2－8x＋1＝0； (2)x2－2x－＝0.
分析：显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式．
解：(1)x1＝4＋，x2＝4－.
(2)x1＝1＋，x2＝1－.
三、巩固练习
1．教材P27练习．
2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
分析：设x s后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知列出等式．
解：设x s后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
根据题意，得
(8－x)(6－x)＝××8×6.
整理，得x2－14x＋24＝0.
即(x－7)2＝25，解得x1＝12，x2＝2.
x1＝12，x2＝2都是原方程的根，
但x1＝12不合题意，舍去．
∴2 s后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
四、学习小结
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．第5课时
学习目标
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2．通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
学习重难点
重点：用“倍数关系”建立数学模型．
难点：用“倍数关系”建立数学模型．
学习过程
一、复习引入
列一元一次方程解应用题的步骤：
①审题，②设出未知数， ③找等量关系，④列方程，⑤解方程， ⑥答.
二、探究新知
例1: 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：第一轮传染后共有(1＋x)人，第二轮传染后共有[1＋x＋x(1＋x)]人．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有(x＋1)人患了流感，第二轮后共有[1＋x＋x(1＋x)]人患了流感．
列方程得1＋x＋x(x＋1)＝121，x2＋2x－120＝0，
解得x1＝－12(舍去)，x2＝10.
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
思考：按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？ 121＋121×10＝1 331.
通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？
例2：某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，
则1＋x＋x·x＝91，即x2＋x－90＝0，
解得x1＝9，x2＝－10(不合题意，舍去)．
答：每个支干长出9个小分支．
三、巩固练习
要组织一场篮球联赛， 每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
解：设应邀请x个球队参加比赛，则
x(x－1)＝90，解得x＝10(负值舍去)．
答：应邀请10个球队参加比赛．
四、学习小结
1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
2．列一元二次方程解一元二次方程的一般步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验——检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去；⑥答．第2课时
学习目标
能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点，会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法．
学习重难点
重点：会根据不同的方程特点选用恰当的方法，使解题过程简单合理．
难点：通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想．
学习过程
1．用不同的方法解一元二次方程3x2－5x－2＝0(配方法，公式法，因式分解法)
三种不同的解法体现了同样的解题思路——把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求解．
2．把下列方程的最简单方法选填在括号内．
A．直接开平方法 B. 配方法
C．公式法 D．因式分解法
(1)7x－3＝2x2 ( )
(2)4(9x－1)2＝25 ( )
(3)(x＋2)(x－1)＝20( )
(4)2(0.2t＋3)2－12.5＝0 ( )
一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法．其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便．
3．将下列方程化成一般形式，再选择恰当的方法求解．
(1)3x2＝x＋4；
(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；
(3)(x＋3)(x－4)＝－6；
(4)(x＋1)2－2(x－1)2＝6x－5.
将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而且能为解题方法的选择提供基础．
4．(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识(消元、降次、化归的思想)．
(2)三种方法(配方法、公式法、因式分解法)的联系与区别：
联系：①降次，即它的解题的基本思想：将二次方程化为一次方程，即降次．②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：
①配方法要先配方，再开方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.22．2.4 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．掌握b2－4ac>0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，反之也成立；b2－4ac＝0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，反之也成立；b2－4ac<0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没实数根，反之也成立；及其它们关系的运用．
2．通过复习用配方法解一元二次方程的b2－4ac>0，b2－4ac＝0，b2－4ac<0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．
学习重难点
重点：b2－4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；b2－4ac＝0，时一元二次方程有两个相等的实数根；b2－4ac<0，时一元二次方程没有实数根．
难点：从具体题目来推出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的情况与根的情况的关系．
学习过程
一、复习引入
判定下列方程根的情况．
(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－2x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.
解：(1)b2－4ac＝9>0，方程有两个不相等的实数根．
(2)b2－4ac＝12－12＝0，方程有两个相等的实数根．
(3)b2－4ac＝1－4×4×1＝－15<0，方程没有实数根．
二、探索新知
方程 b2－4ac的值 b2－4ac的符号 x1，x2的关系(选填“相等”“不等”或“不存在”)
2x2－3x＝0
3x2－2x＋1＝0
4x2＋x＋1＝0
请观察上表，结合b2－4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况，证明你的猜想．
从前面的具体问题，我们已经知道b2－4ac与0的大小来判断根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x＝，当b2－4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元二次方程的x1＝≠x2＝，即有两个不相等的实数根．当b2－4ac＝0时，根据平方根的意义＝0，所以x1＝x2＝，即有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．
因此，①当b2－4ac>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实数根，即x1＝，x2＝.
②当b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等实数根，即x1＝x2＝.
③当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
例：不解方程，判定方程根的情况：
(1)16x2＋8x＝－3；
(2)9x2＋6x＋1＝0；
(3)2x2－9x＋8＝0.
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2－4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：(1)化为16x2＋8x＋3＝0.
a＝16，b＝8，c＝3，b2－4ac＝64－4×16×3＝－128<0，
∴方程没有实数根．
(2)a＝9，b＝6，c＝1，b2－4ac＝36－4×9×1＝0，
∴方程有两个相等实数根．
(3)a＝2，b＝－9，c＝8，b2－4ac＝81－4×2×8＝17＞0.
∴方程有两个不相等实数根．
三、巩固练习
1．不解方程判定下列方程根的情况：
(1)x2＋10x＋26＝0； (2)x2－x－＝0；
(3)3x2＋6x－5＝0; (4)4x2－x＋＝0；
(5)x2－x－＝0; (6)4x2－6x＝0；
(7)x(2x－4)＝5－8x.
解：(1)方程无解．(2)方程有两个不相等的实数根．(3)方程有两个不相等的实数根．(4)方程有两个相等的实数根．(5)方程有两个不相等的实数根．(6)方程有两个不相等的实数根．(7)方程有两个不相等的实数根．
2．若关于x的一元二次方程(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数解，求ax＋3>0的解集．(用含a的式子表示)
分析：要求ax＋3>0的解集，就是求ax>－3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数根，即(－2a)2－4(a－2)(a＋1)<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程(a－2)x2－2ax＋a＋1＝0没有实数根，
∴(－2a)2－4(a－2)(a＋1)＝4a2－4a2＋4a＋8<0，
∴a<－2.
∵ax＋3>0即ax>－3，
∴x<－，即不等式的解集为x<－.
四、学习小结
b2－4ac>0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；b2－4ac<0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．22．2 一元二次方程的解法
22．2.1 直接开平方法和因式分解法
第1课时
学习目标
1．理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．
学习重难点
重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次──转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
学习过程
一、复习引入
1．填空：
(1)x2－8x＋16＝(x－4)2；
(2)9x2＋12x＋4＝(3x＋2)2；
(3)x2＋px＋＝.
2．目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程和一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、探究新知
已经学习了x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
解：能，把2t＋1变为上面的x，那么2t＋1＝±3，
即2t＋1＝3，2t＋1＝－3，方程的两根为t1＝1，t2＝－2.
例1：解方程：(1)(2x－1)2＝5；(2)x2＋6x＋9＝2；(3)x2－2x＋4＝－1.
分析：很清楚，x2＋4x＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.
解：(1)由题意得2x－1＝±，
∴x＝.∴x1＝，x2＝.
(2)由已知，得(x＋3)2＝2，直接开平方，得
x1＝－3＋，x2＝－3－.
(3)方程可化为(x－1)2＝－4，∴此方程无实数根．
例2：市政府计划两年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．
分析：设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；两年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2.
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则10(1＋x)2＝14.4，
方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
∴每年人均住房面积增长率应为20%.
提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、巩固练习
1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始，沿BA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果AB＝6 cm，BC＝12 cm，P，Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8 cm2
解：设x s后△PBQ的面积等于8 cm2，则PB＝x，BQ＝2x，依题意，得x·2x＝8，x2＝8.根据平方根的意义，得x＝±2 ，即x1＝2，x2＝－2.
∵移动时间不能是负值．
∴2 s后△PBQ的面积等于8 cm2.
2．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率．
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额是(1＋x)万元，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的是(1＋x)2万元．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x.
那么1＋(1＋x)＋(1＋x)2＝3.31.
把(1＋x)当成一个数，配方得(1＋x＋)2＝2.56，
即＝2.56，
方程的根为x1＝10%，x2＝－3.1.
∵增长率为正数，
∴该公司二、三月份营业额平均增长率为10%.
四、学习小结
由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)，那么x＝±转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)，那么mx＋n＝±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．第2课时
学习目标
掌握用因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．
学习重难点
重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．
学习过程
一、复习引入
因式分解：
(1)2x2＋x＝0； (2)3x2＋6x＝0.
二、探究新知
1．上面两个方程中有没有常数项？
2．等式左边的各项有没有共同因式？
上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解．
因此，上面两个方程都可以写成：
(1)x(2x＋1)＝0；
(2)3x(x＋2)＝0.
因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是
(1)x＝0或2x＋1＝0，∴x1＝0，x2＝－.
(2)3x＝0或x＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2.
因此，可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．
例：解方程：
(1)10x－4.9x2 ＝0；(2)x(x－2)＋x－2 ＝0；
(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；(4)(x－1)2 ＝(3－2x)2 .
解：(1)x1＝0，x2＝.(2)x1＝2，x2＝－1.
(3)x1＝，x2＝－.(4)x1＝，x2＝2.
(方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．)
思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？
三、巩固练习
1．教材P23练习．
2．已知9a2－4b2＝0，求代数式－－的值．
分析：要求－－的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．
解：原式＝＝－.
∵9a2－4b2＝0，∴(3a＋2b)(3a－2b)＝0，a＝－b或a＝b.当a＝－b时，原式＝3；当a＝b时，原式＝－3.
四、学习小结
1．用因式分解法，即用提取公因式法等解一元二次方程及其应用．
2．因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.第2课时
学习目标
1．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
2．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
学习重难点
重点：判定一个数是否是方程的根．
难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
学习过程
一、复习引入
问题1：前面有关“执竿进屋”的问题中，我们列得方程x2－12x＋20＝0.
列表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
x2－12x＋20 …
问题2：前面有关长方形的面积的问题中，我们列得方程x2＋7x－44＝0，即x2＋7x＝44.
列表：
x 1 2 3 4 5 6 …
x2＋7x－44 …
二、探究新知
1．(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
(2)如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？
解：(1)问题1中x＝2与x＝10是x2－12x＋20＝0的解，问题2中，x＝4是x2＋7x－44＝0的解．(2)如果抛开实际问题，问题2中还有x＝－11的解．
2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
回过头来看：x2－12x＋20＝0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x＝－11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1：下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足方程的等式，∴x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．
例2：若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根，求代数式2 025(a＋b＋c)的值．
分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解．
解：把x＝1代入方程中得a＋b＋c＝0，
∴2 025(a＋b＋c)＝0.
例3：用以前所学的知识求出下列方程的根．
(1)x2－64＝0；(2)3x2－6＝0；(3)x2－3x＝0.
分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
解：(1)x1＝8，x2＝－8.(2)x1＝－，x2＝.
(3)x1＝0，x2＝3.
三、巩固练习
1．若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根为0，求a的值．
解：由题可知a－1≠0，∴a≠1，把x＝0代入原方程，得a2－1＝0.解得a＝1或－1，又∵a≠1，∴a＝－1.
2．要剪一块面积为150 cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5 cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为x cm，则宽为(x－5)cm.
列方程x(x－5)＝150，即x2－5x－150＝0.
请根据所列的方程回答以下问题：
(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？并说明理由；
(2)完成下表：
x 10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2－5x－150
(3)你知道铁片的长x是多少吗？
分析：x2－5x－150＝0不能用平方根的意义和整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法──“夹逼”方法求出该方程的根．
解：(1)x不可能小于5.
理由：如果x<5，则宽(x－5)<0，不合题意．
x不可能等于10.
理由：如果x＝10，则面积x2－5x－150＝－100，也不可能．
(2)如表：
x 10 11 12 13 14 15 16 17 …
x2－5x－150 －100 －84 －66 －46 －24 0 26 54 …
(3)铁片长x＝15 cm.
四、学习小结
1．一元二次方程根的概念．
2．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
3．要会用一些方法求一元二次方程的根．(“夹逼”方法； 平方根的意义)
