第3课时
学习内容
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．
学习目标
含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
学习重难点
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律．
难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
学习过程
一、复习引入
1．计算：(1)(2x＋y)·zx；(2)(2x2y＋3xy2)÷xy.
2．计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)；(2)(2x＋1)2＋(2x－1)2.
这些内容是对已学过的整式运算的再现．它主要有：①单项式×单项式；②单项式×多项式；③多项式÷单项式；④完全平方公式；⑤平方差公式的运用．
二、探究新知
如果把上面的x，y，z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
整式运算中的x，y，z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1：计算：(1)(＋)×；(2)(4－3)÷2.
分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解：(1)原式＝×＋×＝3＋2.
(2)原式＝4÷2－3÷2＝2－.
例2：计算：(1)(＋6)(3－)；
(2)(＋)(－)．
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：(1)原式＝3－()2＋18－6＝13－3.
(2)原式＝()2－()2＝10－7＝3.
三、巩固练习
1．教材P12练习．
2．已知＝2－，其中a，b是实数，且a＋b≠0，
化简＋，并求值．
分析：由于(＋)(－)＝1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式＝＋
＝4x＋2.
∵＝2－，∴(a＋b)x＝(a＋b)2.
∵a＋b≠0，∴x＝a＋b，
∴原式＝4x＋2＝4a＋4b＋2.
四、学习小结
掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．21．2 二次根式的乘除
21．2.1 二次根式的乘法 21.2.2 积的算术平方根
学习内容
·＝(a≥0，b≥0)，反之＝·(a≥0，b≥0)．
学习目标
由具体数据，发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)并运用它进行计算；利用逆向思维，得出＝·(a≥0，b≥0)并运用它进行解题和化简．
学习重难点
重点：掌握·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)及它们的运用．
难点：发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)，要弄清＝·(a<0，b<0)．
学习过程
一、复习引入
1．填空：
(1)×＝6，＝6；
(2)×＝60，＝60.
2．参考上面的结果，用“>”“<”或“＝”填空．
(1)×＝，
×＝.
(2)利用计算器计算填空．
①×＝；②×＝；
③×＝.
二、探究新知
一般地，对二次根式的乘法规定为·＝(a≥0，b≥0)
反过来，＝·(a≥0，b≥0)．
例1：计算：(1)×；(2)×.
解：(1)×＝.
(2)×＝＝.
例2：化简：(1)；(2)(x≥0，y≥0)；
(3).
解：(1)＝×＝3×4＝12.
(2)＝×＝××＝3xy.
(3)＝＝×＝3.
三、巩固练习
1．(1)计算：
①×；②3×2；③·.
(2)化简：；；；.
解：(1)①8.②12.③a.
(2)2；3；2；2ab.
2．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正．
(1)＝×；
(2)×＝4××＝4×＝4＝8.
解：(1)不正确．改正：
＝＝×＝2×3＝6.
(2)不正确．改正：
×＝×＝＝4.
四、学习小结
·＝(a≥0，b≥0)，＝·(a≥0，b≥0)及其运用．第21章 二次根式
21．1 二次根式
第1课时
学习内容
二次根式的概念及其运用．
学习目标
理解二次根式的概念，并利用(a≥0)的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．
学习重难点
重点：形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念．
难点：利用“(a≥0)”解决具体问题．
学习过程
一、复习引入
1．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝1，∠C＝90°，那么AB边的长是.
2．甲射击6次，各次击中的环数如下：8，7，9，9，7，8，那么甲这次射击的方差是s2，那么s＝.
二、探究新知
很明显，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称作二次根式．因此，一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
议一议：
－1有算术平方根吗？0的算术平方根是多少？当a<0，有意义吗？
例1：下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
，，，(x>0)，，，－，，(x≥0，y≥0)．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0.
解：二次根式有，(x>0)，，－，(x≥0，y≥0)；
不是二次根式的有，，，.
例2：当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x－1≥0，才能有意义．
解：由3x－1≥0，得x≥.当x≥时，在实数范围内有意义．
三、巩固练习
1．教材P3练习2.
2．当x是多少时，＋在实数范围内有意义？
分析：要使＋ 在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x＋3≥0和中的x＋1≠0.
解：当x≥－且x≠－1时，＋在实数范围内有意义．
3．已知y＝＋＋5，求的值．
解：＝.
四、学习小结
1．形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．第2课时
学习内容
利用二次根式化简的数学思想解应用题．
学习目标
通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
学习重难点
重点：利用二次根式进行实际运用．
难点：利用二次根式进行实际运用．
学习过程
一、复习引入
上节课，已经学习了二次根式如何加减的问题，把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
二、探究新知
例1：如图所示的Rt△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动．则几秒后△PBQ的面积为35 cm2？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)
分析：设x s后△PBQ的面积为35 cm2，则PB＝x，BQ＝2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．
解：设x s后△PBQ的面积为35 cm2.
则有PB＝x，BQ＝2x.依题意，得x·2x＝35，x2＝35，x＝.∴ s后△PBQ的面积为35 cm2.PQ＝＝＝＝＝5.
答： s后△PBQ的面积为35 cm2，PQ的距离为5 cm.
例2：要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材？(精确到0.1 m)
分析：此框架是由AB，BC，BD，AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．
解：由勾股定理，得AB＝＝2，
BC＝＝，
所需钢材长度为AB＋BC＋AC＋BD＝2＋＋5＋2＝3＋7≈3×2.24＋7≈13.7(m)．
答：大约需要13.7 m的钢材．
三、巩固练习
1．教材P12习题3.
2．若最简根式3a－b与根式是同类二次根式，求a，b的值．(同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式)
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把2ab2－b3＋6b2化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a－b＝2，2a－b＋6＝4a＋3b.
解：＝
＝|b|·.
由题意得∴
∴a＝1，b＝1.
四、学习小结
掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．第2课时
学习内容
(a≥0)是一个非负数；()2＝a(a≥0)．
学习目标
1．理解(a≥0)是一个非负数和()2＝a(a≥0)，并利用它们进行计算和化简．
2．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出(a≥0)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出()2＝a(a≥0)；最后运用结论严谨解题．
学习重难点
重点：掌握(a≥0)是一个非负数；()2＝a(a≥0)及其运用．
难点：用分类思想的方法导出(a≥0)是一个非负数；用探究的方法导出()2＝a(a≥0)．
学习过程
一、复习引入
1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？
二、探究新知
议一议：(a≥0)是一个什么数呢？
总结：(a≥0)是一个非负数．()2＝a(a≥0)．
做一做：根据算术平方根的意义填空：
()2＝4；＝；()2＝0.
例：计算：
(1)；(2)(3)2；(3).
分析：直接利用()2＝a(a≥0)的结论解题．
解：(1).(2)45.(3).
三、巩固练习
1．计算下列各式的值：
(1)；(2)；(3).
解：(1).(2).(3)14.
2．计算：
(1)()2(x≥0)；(2)()2；
(3)()2.
分析：(1)∵x≥0，∴x＋1>0；(2)a2≥0；
(3)4x2－12x＋9＝(2x－3)2≥0.
所以上面的3题都可以运用()2＝a(a≥0)的重要结论解题．
解：(1)∵x≥0，∴x＋1>0，()2＝x＋1.
(2)∵a2≥0，∴()2＝a2.
(3)4x2－12x＋9＝(2x－3)2.
∵(2x－3)2≥0，∴4x2－12x＋9≥0，
∴()2＝4x2－12x＋9.
四、学习小结
1.(a≥0)是一个非负数．
2．()2＝a(a≥0)；反之a＝()2(a≥0)．21．3 二次根式的加减
第1课时
学习内容
二次根式的加减．
学习目标
理解和掌握二次根式加减的方法．
学习重难点
重点：二次根式化简为最简根式．
难点：会判定是否是最简二次根式．
学习过程
一、复习引入
计算下列各式．
(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；
(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a3.
上面题目的结果，实际上是以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．
二、探究新知
1．计算下列各式．
(1)2＋3；(2)＋2＋；
(3)3－2＋.
解：(1)如果我们把当成x，
2＋3＝(2＋3)＝5.
(2)把当成z，
＋2＋×＝＋2＋3＝(1＋2＋3)＝6.
(3)看为x，看为y，
3－2＋＝(3－2)＋＝＋.
2．因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如3与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？3与呢？
解：3＋＝3＋2＝5，
3＋＝3＋3＝6.
总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
3．计算：
(1)3－9＋3；
(2)(＋)＋(－)．
解：(1)原式＝12－3＋6＝(12－3＋6)＝15.
(2)原式＝4＋2＋2－＝6＋.
三、巩固练习
1．教材P12练习1.
2．已知4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求－的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x－1)2＋(y－3)2＝0，即x＝，y＝3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，
∴(2x－1)2＋(y－3)2＝0，∴x＝，y＝3.
原式＝x＋6.
当x＝，y＝3时，原式＝＋6＝＋3.
四、学习小结
1．不是最简二次根式的，应化成最简二次根式．
2．相同的最简二次根式进行合并．第2课时
学习内容
最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．
学习目标
1．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
2．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
学习重难点
重点：最简二次根式的运用．
难点：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
学习过程
一、复习引入
1．计算：(1)；(2)；(3).
解：(1)＝.(2)＝.(3)＝.
2．现在来看本章引言中的问题：如果两个卫星的飞行半径分别是h1 km，h2 km，那么它们的速度的比是.
二、探究新知
1．被开方数不含分母．
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．像这样的二次根式称为最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
解：不是．
＝＝＝.
例1：化简成最简二次根式：
(1)3；(2).
解：(1)3＝；(2)＝xy.
例2：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5 cm，BC＝6 cm，求AB的长．
解：∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝＝6.5(cm)，因此AB的长为6.5 cm.
三、巩固练习
1．教材P9练习1中(3)(4)．
2．观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
＝＝＝－1，
＝＝＝－，
同理可得＝－，…
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
×
(＋1)．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式＝(－1＋－＋－＋…＋－)×(＋1)＝(－1)(＋1)＝2 025－1＝2 024.
四、学习小结
掌握最简二次根式的概念及其运用．21．2.3 二次根式的除法
第1课时
学习内容
＝(a≥0，b>0)，＝(a≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简．
学习目标
理解＝(a≥0，b>0)和＝(a≥0，b>0)及利用它们进行运算．
学习重难点
重点：理解＝(a≥0，b>0)，＝(a≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简．
难点：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
学习过程
一、复习引入
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空：
(1)＝，＝；
(2)＝，＝.
规律：＝；＝；
＝；＝；＝.
二、探究新知
一般地，对二次根式的除法规定：＝(a≥0，b>0)，反过来，＝(a≥0，b>0)
下面利用这个规定来计算和化简一些题目．
例：计算：(1)；(2)÷.
分析：上面两小题利用＝(a≥0，b>0)便可直接得出答案．
解：(1)＝＝＝2.
(2)÷＝＝＝＝2.
三、巩固练习
已知＝，且x为偶数，求(1＋x)·的值．
分析：式子＝，只有a≥0，b>0时才能成立，因此得到9－x≥0且x－6>0，即6解：由题意得即∴6∵x为偶数，∴x＝8.
∵原式＝.
∴当x＝8时，原式＝＝6.
四、学习小结
掌握＝(a≥0，b>0)和＝(a≥0，b>0)及其运用．第3课时
学习内容
＝a(a≥0)．
学习目标
1．理解＝a(a≥0)并利用它进行计算和化简．
2．通过具体数据的解答，探究＝a(a≥0)，并利用它解决具体问题．
学习重难点
重点：＝a(a≥0)．
难点：探究结论，理解a≥0时，＝a才成立．
学习过程
一、复习引入
1．形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2.(a≥0)是一个非负数．
3．()2＝a(a≥0)．
猜想当a≥0时，＝a是否也成立呢？下面探究这个问题．
二、探究新知
填空：＝2；＝0.01；
＝0；＝.
因此，一般地，.
例：化简：(1)；(2).
分析：因为(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，所以都可用＝a(a≥0)化简．
解：(1)＝＝3.(2)＝＝4.
三、巩固练习
填空：当a≥0时，＝____；当a<0时，＝____，并根据这一性质回答下列问题．
(1)若＝a，则a可以是什么数？
(2)若＝－a，则a可以是什么数？
(3)若>a，则a可以是什么数？
分析：因为＝a(a≥0)，所以要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使
“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，＝，那么－a≥0.根据(1)(2)可知＝│a│，而│a│要大于a，只有a<0.
解：a；－a.
(1)a≥0.(2)a≤0.(3)a<0.
四、学习小结
＝a(a≥0)及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．
