第一章 特殊平行四边形
1．1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
【学习目标】
理解菱形的概念，掌握菱形的性质．
【学习重点】
理解并掌握菱形的性质．
【学习难点】
形成推理的能力．
学习过程
一、情景导入，初步认识
观察生活中有关菱形的事物．
引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
二、思考探究，获取新知
制作平行四边形木框(可活动的)，试着平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．
如图，将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开．
思考：
1．这是一个什么样的图形呢？
2．有几条对称轴？
3．对称轴之间有什么位置关系？
4．菱形中有哪些相等的线段？
【归纳结论】
菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直．
三、运用新知，深化理解
1．如图，在菱形ABCD中，AB＝15，∠ADC＝120°，则B，D两点之间的距离为( A )
A．15
B.
C．7.5
D．15
2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.求证：DE＝BE.
分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，易得BD⊥AC，∠DBC＝30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE＝BE.
证明：方法一：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∠ABC＝60°，∴BD⊥AC，∠DBC＝30°，
∵DE∥AC，∴DE⊥BD，
即∠BDE＝90°，∴DE＝BE.
方法二：∵四边形ABCD是菱形，
∠ABC＝60°，∴AD∥BC，AC＝AD，
∵AC∥DE，∴四边形ACED是菱形，
∴DE＝CE＝AC＝AD，又四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
∴BC＝EC＝DE，即C为BE的中点，
∴DE＝BC＝BE.
3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.
(1)求∠ABD的度数；
(2)求线段BE的长．
分析：(1)根据菱形的四条边都相等，又∠A＝60°，得到△ABD是等边三角形，则∠ABD＝60°；(2)先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．
解：(1)在菱形ABCD中，AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD＝60°.
(2)由(1)可知BD＝AB＝4，
∵O为BD的中点，∴OB＝2，
∵OE⊥AB，∠ABD＝60°，
∴∠BOE＝30°，∴BE＝1.第2课时 菱形的判定
【学习目标】
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法．
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
【学习重点】
菱形的两个判定方法．
【学习难点】
判定方法的证明及运用．
学习过程
一、情境导入，初步认识
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：
性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角．
3．运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？(判定：2个条件)
二、思考探究，获取新知
1．按下列步骤画出一个平行四边形．
(1)画一条线段长AC＝6 cm；
(2)取AC的中点O，再以点O为中点画另一条线段BD＝8 cm，且使BD⊥AC，BO＝DO；
(3)顺次连接A，B，C，D四点，得到平行四边形ABCD.猜猜你画的是什么四边形？
【归纳结论】
菱形的判定方法1: 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：
(1)是一个平行四边形；
(2)两条对角线互相垂直．
2．已知：在 ABCD中，AC⊥BD.
求证： ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形．
3．画一画：作一条线段AC，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别交于B，D两点，依次连接A，B，C，D.
思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？
【归纳结论】
菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形．
三、运用新知，深化理解
1．下列说法中正确的是( B )
A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是菱形
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACB，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F，求证：四边形AEFG是菱形．
证明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，
∴AE＝FE，∵∠ACE＝∠ECF，
∴△AEC≌△FEC(AAS)，∴AC＝FC，
∵CG＝CG，∴△ACG≌△FCG(SAS)，
∴∠CAG ＝∠CFG ，
∵∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝∠CFG，
∴GF∥AE，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AG∥EF，∴四边形AEFG是平行四边形．
又∵AG＝GF(或AE＝EF)，
∴四边形AEFG是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
四、学习小结
1．回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
2．通过本节课的学习，还有哪些疑惑？第2课时 矩形的判定
【学习目标】
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力．
【学习重点】
理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用．
【学习难点】
定理的证明方法及运用．
学习过程
一、情境导入，初步认识
小华想做一个矩形相框送给妈妈作生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？
二、思考探究，获取新知
动手操作，拿一个活动的平行四边形学具，轻轻拉动一个点．
思考：1.随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
2．当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
【归纳结论】
对角线相等的平行四边形是矩形．
证明：(见教材P14例题)矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．
【归纳结论】
有三个角是直角的四边形是矩形．
三、运用新知，深化理解
1．下列说法中正确的是( D )
A．一组对边平行且相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
分析：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；一组对边平行且相等并有一个角是直角的四边形是矩形，故B错误；对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)，故C错误；对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确．
2．对角线相等的平行四边形是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
分析：矩形的判定定理有：(1)对角线相等的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形．
3．如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°，
又∵AH，BH分别平分∠DAB，∠CBA，
∴∠HAB＋∠HBA＝90°.
∴∠H＝90°.
同理可求得∠HEF＝∠F＝∠FGH＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
4．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，CD⊥AB于点D，P为BC上的一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE＋PF＝CD，你能说明为什么吗？
解：连接AP，
∵S△ABC＝S△ABP＋S△ACP，AB＝AC，
∴AB·CD＝AB·PE＋
AC·PF，
∴PE＋PF＝CD.1．3 正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
【学习目标】
掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算．
【学习重点】
正方形的性质．
【学习难点】
正方形的性质．
学习过程
一、情境导入，初步认识
1．在我们的生活中除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？
2．观察生活中的正方形，它们有什么共同特征？
【归纳结论】
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
二、思考探究，获取新知
1．做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形．
2．观察：这个正方形具有哪些性质？
【归纳结论】
正方形的四个角都是直角，四条边相等．正方形的对角线相等且互相垂直平分．
3．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？
三、运用新知，深化理解
1．如图，△ABC是一个等腰直角三角形，四边形DEFG是其内接正方形，H是正方形DEFG的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对数为（C）
A．12
B．13
C．26
D．30
分析：设AB＝3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．故选C.
2．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数．
分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE，就可得∠EAF的度数．
解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，
∵AB＝AG，AF＝AF，
∠B＝∠AGF＝90°，
∴△ABF≌△AGF(HL)，
∴∠BAF＝∠GAF，
同理易得△AGE≌△ADE，
∴∠GAE＝∠DAE，即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝
(∠DAG＋∠BAG)＝∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°.
3．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在BC，CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°.
(1)求证：DF＋BE＝EF；
(2)求∠EFC的度数．
分析：(1)延长EB至G，使BG＝DF，连接AG.利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，得出DF＋BE＝EF；(2)根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数．
(1)证明：延长EB至点G，
使BG＝DF，连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∠ABG＝∠ADF＝∠BAD＝90°，
∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG＝AF，∵∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，
∴∠FAE＝∠GAE＝45°，
∵AE＝AE，∴△FAE≌△GAE(SAS)，∴GE＝EF，
∴DF＋BE＝GB＋BE＝GE＝EF.
(2)解：∵△AGE≌△AFE，
∴∠AFE＝∠AGE＝∠DFA＝90°－∠DAF＝75°，
∴∠EFC＝180°－∠DFA－∠AFE＝30°，∴∠EFC＝30°.第2课时 正方形的判定
【学习目标】
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．
【学习重点】
正方形的判定方法．
【学习难点】
正方形的判定方法．
学习过程
一、情境导入，初步认识
宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形，只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，认为是正方形，把纱巾给了宁宁．你认为这个纱巾一定是正方形吗？
二、思考探究，获取新知
把实际问题转化为数学问题．“对折两次，能够完全重合”实际上说明了什么？
对折两次可以得出四边相等，也可以得出对角线垂直平分，即纱巾的两条对角线是对称轴，即只能保证纱巾是菱形．
思考：由矩形变为正方形还需要哪些条件？ 由菱形变为正方形还需要哪些条件？
【归纳结论】
对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．
三、运用新知，深化理解
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( D )
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
分析：A正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形．故选D.
2．用两个全等的直角三角形拼下列图形：
①平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形)；
②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形，一定可以拼成的图形是( A )
A．①②⑤ B．②③⑤
C．①④⑤ D．①②③
分析：两个全等的直角三角形直角边重合拼成的四边形一定是平行四边形；直角边重合拼成的三角形一定是等腰三角形；斜边重合拼成的四边形一定是矩形．
3．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)当∠A＝90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．
分析：(1)先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B＝∠C，即△ABC是等腰三角形；(2)由已知可证明四边形AFDE是正方形．
(1)证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
又∵BD＝CD，BF＝CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE(HL)，
∴∠B＝∠C.
∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：当∠A＝90°时，四边形AFDE是正方形．
证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四边形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF＝DE，
∴四边形AFDE是正方形．1．2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
【学习目标】
了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
【学习重点】
掌握矩形的性质，并学会应用．
【学习难点】
理解矩形的特殊性．
学习过程
一、情境导入，初步认识
观察生活中特殊的平行四边形，发现共同特征，进行感性认识，引入新课——矩形．
二、思考探究，获取新知
1．拿一个活动的平行四边形学具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？
2．再次改变平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，观察这是什么图形？
【归纳结论】
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．
思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？
【归纳结论】
矩形性质1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2 矩形的对角线相等．
3．矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
4．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，求AO与BD的数量关系．
【归纳结论】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
三、运用新知，深化理解
1．已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4 cm，求矩形对角线的长．
分析：矩形是特殊的平行四边形，它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知条件，可得△OAB是等边三角形，即可求出对角线的长度．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分．
∴OA＝OB.又∵∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形．
∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝8(cm)．
2．已知：如图，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD长4 cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
分析：因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．
解：设AD＝x cm，则对角线长(x＋4) cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得x2＋82＝(x＋4)2，
解得x＝6. 则 AD＝6 cm.
利用面积公式，可得AE·DB＝ AD·AB，
解得 AE＝4.8 cm.
3．若矩形的一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm的两部分，求矩形的周长．
解：当矩形的一个角的平分线分一边为4 cm和3 cm时，
矩形的周长为2×(3＋4)＋2×4＝22 cm；
当矩形的角平分线分一边为3 cm和4 cm时，
矩形的周长为2×(3＋4)＋2×3＝20 cm.
综上所述，矩形周长为22 cm或20 cm.
