第2课时 反比例函数的图象与性质(2)
【学习目标】
探索反比例函数的主要性质．
【学习重点】
准确掌握并能运用反比例函数图象的性质．
【学习难点】
准确掌握并能运用反比例函数图象的性质．
学习过程
一、情境导入，初步认识
上一节课我们已经学习了反比例函数的定义和图象的画法，及图象所在的象限．这一节课继续来探究反比例函数的图象和它的性质．
通过类比正比例函数的学习来研究的问题及其研究方法，研究思路．
二、思考探究，获取新知
1．画一画反比例函数y＝和y＝－的图象．
思考：随着x的增大，y值是怎样变化的？
加深对作反比例函数图象的认识，并在列表、画图过程中进一步感知反比例函数的性质．
【归纳结论】
反比例函数y＝(k≠0)的图象：当k＞0时，在每一象限内，y的值随着x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随着x值的增大而增大．
2．在反比例函数y＝的图象上取两点P(1，6)，Q(6，1)，过点P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1＝6；过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2＝6；S1与S2有什么关系？为什么？
【归纳结论】
反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何意义：过反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点引x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值．
三、运用新知，深化理解
1．若反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是( A )
A．k＜0 B．k＞0
C．k≤0 D．k≥0
2．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是( B )
A．y＝x B．y＝
C．y＝－ D．y＝－
3．反比例函数y＝(2m－1)xm2－2 ，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是( C )
A．±1 B．小于的实数
C．－1 D．1
4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( A )
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1
C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
5．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象如图所示，则下列说法中正确的是( C )
A．它们的函数值y随着x的增大而增大
B．它们的函数值y随着x的增大而减小
C．k＜0
D．它们的自变量x的取值为全体实数
6．当k＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是( B )
7．如图，A，B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则( B )
A．S＝2
B．S＝4
C．2＜S＜4
D．S＞4
8．若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y＝－上，则y1，y2中较小的是__y2__.
9．已知点A(m，2)，B(2，n)都在反比例函数y＝的图象上．
(1)求m，n的值；
(2)若直线y＝mx－n与x轴交于点C，求C关于y轴对称点C′的坐标．
解：(1)m＝n＝3. (2)C′(－1，0)．
10．已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)．
(1)求正比例函数和反比例函数的关系式；
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的关系式；
(3)在(2)中的一次函数图象与x轴、y轴分别交于C，D，求四边形OABC的面积．
解：(1)y＝x，y＝.(2)m＝；y＝x－.
(3)S四边形OABC＝10.
11．如图，反比例函数y＝的图象与直线y＝x－2交于点A，且A点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式．
解：将yA＝1代入y＝x－2得xA＝3，故A的坐标为(3，1)．
将A(3，1)代入y＝得k＝3，
∴反比例函数的解析式为
y＝.第六章 反比例函数
6．1 反比例函数
【学习目标】
经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．
【学习重点】
理解和领会反比例函数的概念．
【学习难点】
领悟反比例函数的概念．
【学习过程】
一、情境导入，初步认识
我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y＝kx＋b(其中k，b为常数且k≠0)，正比例函数的表达式为y＝kx(k为常数且k≠0)，在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路程为1 200 km，某人开车从A地到B地，汽车的速度v(km/h)和时间t(h)之间的关系式为vt＝1 200，则t＝中，t和v之间肯定不是正比例函数和一次函数关系，那么它们之间究竟是什么关系呢？
二、思考探究，获取新知
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1 318 km，乘坐某次列车所用时间t(单位：h)随该列车平均速度v(单位：km/h)的变化而变化；
(2)某住宅小区要种植一个面积为1 000 m2的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化；
(3)已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人均占有土地面积S(单位：km2/人)随全市人口n(单位：人)的变化而变化．
解：(1)t＝. (2)y＝.
(3)S＝，
其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，S是n的函数．
上面的函数关系式，都具有y＝的形式，其中k是常数．
【归纳结论】
一般地，如果两个变量x，y之间可以表示成y＝(k为常数且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数．
三、运用新知，深化理解
1．已知函数y＝，当x＝1时，y＝－3，那么这个函数的关系式是( B )
A．y＝ B．y＝－
C．y＝ D．y＝－
2．已知y与x成反比例，当x＝3时，y＝4，那么y＝3时，x的值为( A )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
3．若函数y＝(m是常数)是反比例函数，则m＝__2__，关系式为y＝.
4．写出下列各题中所要求的两个相关量之间的函数关系式，并指出函数的类别．
(1)商场推出分期付款购电脑活动，每台电脑12 000元，首付4 000元，以后每月付y元，x个月全部付清，则y与x的关系式为y＝，是反比例函数．
(2)某种灯的使用寿命为1 000 h，它的使用天数y与平均每天使用的小时数x之间的关系式为y＝，是反比例函数．
(3)设三角形的底边、对应高、面积分别为a，h，S.
当a＝10时，S与h的关系式为S＝5h，是正比例函数；
当S＝18时，a与h的关系式为a＝，是反比例函数．
(4)某工人承包运输粮食的总数是w t，每天运x t，共运了y天，则y与x的关系式为y＝，是反比例函数．
5．下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？
(1)一个游泳池的容积为2 000 m3，注满游泳池所用的时间t随注水速度v的变化而变化；
(2)某立方体的体积为1 000 cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；
(3)一个物体重100 N，物体对地面的压强p随物体与地面的接触面积S的变化而变化．
解：(1)t＝. (2)h＝. (3)p＝.
6．下列哪个等式中的y是x的反比例函数：y＝4x，＝3，y＝6x＋1，xy＝123.
解：只有xy＝123是反比例函数．
7．已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝6.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求当x＝4时，y的值．
解：(1)设y＝，∵x＝2时，y＝6，
∴有6＝，解得k＝12，∴y＝.
(2)把x＝4代入y＝，得y＝3.6．2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象与性质(1)
【学习目标】
1．会用描点法画反比例函数图象．
2．理解反比例函数的性质．
【学习重点】
画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质．
【学习难点】
理解反比例函数的性质，并能灵活应用．
学习过程
一、情境导入，初步认识
1．一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象是什么形状？其性质有哪些？
2．反比例函数y＝的图象会是什么形状呢？我们可以采用什么方法画？
二、思考探究，获取新知
1．画出反比例函数y＝的图象，再尝试画出反比例函数y＝－的图象．
2．在作图过程中，类比画一次函数的图象的过程；探索反比例函数的图象作图步骤：
①列表；②描点； ③连线．
特点：①列表时，注意到自变量的取值应使函数有意义(即x≠0)，同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征；②描点时，一般情况下所选的点越多，则图象越精细；③连线时，根据已经描好的点先思考：图象有没有可能是直线．探究发现图象特点后，用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点，得到反比例函数的图象．
3．比较y＝与y＝－的图象，它们有什么共同特征？它们之间有什么关系？
了解反比例函数的图象是一种双曲线，反比例函数曲线的两个分支是断开的，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．在同一坐标系内两个反比例函数图象的对称关系．
4．观察函数y＝和y＝－以及y＝和y＝－的图象．
(1)能发现它们的共同特征以及不同点吗？
(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限？
(3)在每一个象限内，y随x的变化如何变化？
【归纳结论】
反比例函数y＝(k为常数，k不为零)的图象是一种双曲线；当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，当k ＜ 0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限．
三、运用新知，深化理解
1．反比例函数y＝的图象大致是图中的( D )
2．下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( C )
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝－
3．如果函数y＝2xk＋1的图象是双曲线，那么k＝__－2__.
4．如果点(1，－2)在双曲线y＝上，那么该双曲线在第__二、四__象限．
5．如果反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是__1，2__.
6．已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y＝的图象在第__二、四__象限．
7．已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于点(－1，－1)，则此一次函数的关系式为__y＝2x＋1__，反比例函数的关系式为y＝.
8．作出反比例函数y＝的图象，并根据图象解答下列问题：
(1)当x＝4时，求y的值；
(2)当y＝－2时，求x的值；
(3)当y＞2时，求x的取值范围．
解：列表：
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y … －4 －6 －12 12 6 4 …
由图知：(1)y＝3.(2)x＝－6.(3)0＜x＜6.
9．作出反比例函数y＝－的图象，结合图象回答：
(1)当x＝2时，y的值；
(2)当1＜x≤4时，y的取值范围；
(3)当1≤y＜4时，x的取值范围．
解：列表：
x … －4 －2 －1 1 2 4 …
y … 1 2 4 －4 －2 －1 …
由图知：(1)y＝－2.(2)－4＜y≤－1.(3)－4≤x＜－1.6．3 反比例函数的应用
【学习目标】
对反比例函数和反比例函数的图象意义理解加深．
【学习重点】
建立反比例函数的模型，进而解决实际问题．
【学习难点】
经历探索的过程，培养学习数学的主动性和解决问题的能力．
学习过程
一、情境导入，初步认识
复习回顾：
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？
3．反比例函数图象有哪些性质？
4．反比例函数的图象对称性如何？
二、思考探究，获取新知
1．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？
如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？(见书P158)
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？
(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
解：(1)p＝(S>0)，p是S的反比例函数．
(2)p＝3 000 Pa.(3)至少0.1 m2.(4)图略．
思考：为什么只需在第一象限作函数图象？
2．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示．(见书P158)
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
解：(1)电压为36 V；I＝(R>0)．
(2)当I≤10 A时，R≥3.6 Ω.
3．如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(，2)．
(1)分别写出这两个函数的表达式；
(2)你能求出点B的坐标吗？
解：(1)y＝2x，y＝.
(2)B(－，－2)．
三、运用新知，深化理解
1．某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200 cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为x cm，长为y cm，那么这些同学所制作的矩形的长y cm与宽x cm之间的函数关系的图象大致是( A )
2．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( D )
A．小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系
B．长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系
C．压力为600 N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系
D．一个容积为25 L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系
3．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：
体积x/ml 100 80 60 40 20
压强y/kpa 60 75 100 150 300
则可以反映y与x之间的关系的式子是( D )
A．y＝3 000x B．y＝6 000x
C．y＝ D．y＝
4．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( A )
5．一个水池装水12 m3，如果从水管中每小时流出x(m3)的水，经过y(h)可以把水放完，那么y与x的函数关系式是y＝，自变量x的取值范围是__x＞0__.
6．若梯形的下底长为x，上底长为下底长的，高为y，面积为60，则y与x的函数关系式是y＝ (不考虑x的取值范围)．
7．一个长方体的体积是100 cm3，它的长是y cm，宽是5 cm，高是x cm.
(1)写出长y cm关于高x cm的函数关系式，以及自变量x的取值范围；
(2)画出(1)中函数的图象；
(3)当高是3 cm时，求长方体的长．
解：(1)y＝(x>0)．
(2)图象略．
(3)长方体的长为 cm.
