2016年北师大版九年级数学上册同步测试：1.1 菱形的性质与判定（解析版）

2016年北师大版九年级数学上册同步测试：1.1
菱形的性质与判定
一、选择题（共13小题）
1．边长为3cm的菱形的周长是（　　）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
2．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．4
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（　　）
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
5．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）
A．6米
B．6米
C．3米
D．3米
6．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（　　）
A．4
B．4
C．2
D．2
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则DE的长为（　　）
A．2.4
B．3.6
C．4.8
D．6
8．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（　　）
A．100°
B．104°
C．105°
D．110°
9．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（　　）
A．10
B．8
C．6
D．5
10．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　）
A．3.5
B．4
C．7
D．14
11．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
12．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y=
B．y=
C．y=2
D．y=3
13．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（　　）
A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2
C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4
　
二、填空题（共11小题）
14．若菱形的周长为20cm，则它的边长是　　　　　　cm．
15．菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=　　　　　　cm．
16．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为　　　　　　．
17．菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48=0的两实根，则菱形的面积为　　　　　　．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　　　　　　．
19．如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=　　　　　　．
20．已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为　　　　　　cm2．
21．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=2，则菱形ACEF的面积为　　　　　　．
22．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是　　　　　　．
23．如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是　　　　　　．
24．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为　　　　　　cm．
　
三、解答题（共6小题）
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
26．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=　　　　　　°时，四边形BFDE是正方形．
27．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF．
（1）直接写出点F的坐标；
（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积．
28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．
29．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度．
30．如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM．
（1）求证：AG=BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积．
　
2016年北师大版九年级数学上册同步测试：1.1
菱形的性质与判定
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共13小题）
1．边长为3cm的菱形的周长是（　　）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
【考点】菱形的性质．
【分析】利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．
【解答】解：∵菱形的各边长相等，
∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4=12（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键．
　
2．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
【考点】菱形的性质．
【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形，进而得出BD的长．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2，
又∵∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
则对角线BD的长是2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB是等边三角形是解题关键．
　
3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．4
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE=2，BE=2，
∴AB=2，
S菱形ABCD=底×高=2×2=4，
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
　
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是（　　）
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质即可直接作出判断．
【解答】解：根据菱形的对角线互相垂直平分可得：①正确；②错误；
根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确．
④错误．
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质，正确记忆性质的基本内容是关键．
　
5．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）
A．6米
B．6米
C．3米
D．3米
【考点】菱形的性质．
【专题】应用题．
【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），
∵∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA==3（米），
则AC=2OA=6米，
故选A．
【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．
　
6．（2015 龙岩）如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC=120°，则AC的长为（　　）
A．4
B．4
C．2
D．2
【考点】菱形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】连接AC交BD于点E，则∠ABE=60°，根据菱形的周长求出AB的长度，在RT△ABE中，求出BE，继而可得出BD的长．
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABE=60°，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB=4，
在RT△ABE中，AE=ABsin∠ABE=4×=2，
故可得AC=2AE=4．
故选A．
【点评】此题考查了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
　
7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，DE⊥BC于点E，则DE的长为（　　）
A．2.4
B．3.6
C．4.8
D．6
【考点】菱形的性质．
【分析】首先根据已知可求得OA，OD的长，再根据勾股定理即可求得BC的长，再由菱形的面积等于底乘以高也等于两对角线的乘积，根据此不难求得DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，DB=6，
∴BC==5，
∵S菱形ABCD=AC×BD=BC×DE，
∴×8×6=5×DE，
∴DE==4.8，
故选C．
【点评】此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
　
8．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若∠CDF=24°，则∠DAB等于（　　）
A．100°
B．104°
C．105°
D．110°
【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC，AD=CD；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB的度数．
【解答】解：连接BD，BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA．
∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，
∴AF=BF，BF=DF，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，
∵∠CDF=24°，
∴3∠DAC+24°=180°，则∠DAC=52°，
∴∠DAB=2∠DAC=104°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．
　
9．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（　　）
A．10
B．8
C．6
D．5
【考点】菱形的性质；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
由勾股定理得：AB===5，
即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、OB的长，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
　
10．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　）
A．3.5
B．4
C．7
D．14
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH=AB=×7=3.5．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
　
11．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）
A．28°
B．52°
C．62°
D．72°
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∵，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°﹣28°=62°．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
　
12．如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y=
B．y=
C．y=2
D．y=3
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，即可得OC垂直平分DE，求得DE=2x，再由∠DFE=∠GFH=120°，可求得C与DF，EF的长，继而求得△DF的面积，再由菱形FGMH中，FG=FE，得到△FGM是等边三角形，即可求得其面积，继而求得答案．
【解答】解：∵ON是Rt∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠EOC=45°，
∵DE⊥OC，
∴∠ODC=∠OEC=45°，
∴CD=CE=OC=x，
∴DF=EF，DE=CD+CE=2x，
∵∠DFE=∠GFH=120°，
∴∠CEF=30°，
∴CF=CE tan30°=x，
∴EF=2CF=x，
∴S△DEF=DE CF=x2，
∵四边形FGMH是菱形，
∴FG=MG=FE=x，
∵∠G=180°﹣∠GFH=60°，
∴△FMG是等边三角形，
∴S△FGH=x2，
∴S菱形FGMH=x2，
∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2．
故选B．
【点评】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形，△FGM是等边三角形是关键．
　
13．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=1，延长AD到点E，使DE=AD，延长CD到点F，使DF=CD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是（　　）
A．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
B．四边形ACEF是矩形，它的周长是2+2
C．四边形ACEF是平行四边形，它的周长是4
D．四边形ACEF是矩形，它的周长是4+4
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【分析】首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可．
【解答】解：∵DE=AD，DF=CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∴AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=1，
∴EF=AC=1，
过点D作DG⊥AF于点G，则AG=FG=AD×cos30°=，
∴AF=CE=2AG=，
∴四边形ACEF的周长为：AC+CE+EF+AF=1++1+=2+2，
故选B．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大．
　
二、填空题（共11小题）
14．若菱形的周长为20cm，则它的边长是　5　cm．
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形ABCD的周长为20cm，根据菱形的四条边都相等，即可求得其边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴边长为：20÷4=5（cm）．
故答案为：5．
【点评】此题考查了菱形的性质，注意掌握菱形四条边都相等定理的应用是解此题的关键，比较容易解答．
　
15．菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=　5　cm．
【考点】菱形的性质；勾股定理．
【专题】数形结合．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线一半的长度，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵菱形ABCD中，对角线长AC=8cm，BD=6cm，
∴AO=AC=4cm，BO=BD=3cm，
∵菱形的对角线互相垂直，
∴在Rt△AOB中，AB===5cm．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，作出图形更形象直观且有助于理解．
　
16．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为　28　．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据菱形的性质可得：AB=AD，然后根据∠A=60°，可得三角形ABD为等边三角形，继而可得出边长以及周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∵BD=7，
∴AB=BD=7，
∴菱形ABCD的周长=4×7=28．
故答案为：28．
【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，比较简单．
　
17．菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48=0的两实根，则菱形的面积为　24　．
【考点】菱形的性质；根与系数的关系．
【分析】先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果．
【解答】解：x2﹣14x+48=0
x=6或x=8．
所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．
菱形的面积为：24．
故答案为：24．
【点评】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系．
　
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（5，4）　．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．
　
19．如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=　35°　．
【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AD∥BC，求出∠CBO，根据平行线的性质求出∠ADO即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵∠BCO=55°，
∴∠CBO=90°﹣55°=35°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO=35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行线的性质的应用，注意：菱形的对角线互相垂直，菱形的对边平行．
　
20．已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为　24　cm2．
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．
【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
∴这个菱形的面积=×6×8=24（cm2）．
故答案为：24．
【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键．
　
21．（2015 营口）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC=60°，∠ACB=15°，BD=2，则菱形ACEF的面积为　12　．
【考点】菱形的性质；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】新定义．
【分析】首先取AC的中点G，连接BG、DG，再根据∠ADC=90°，∠ABC=90°，判断出A、B、C、D四点共圆，点G是圆心；然后求出∠BGD=90°，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后解直角三角形，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积为多少即可．
【解答】解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG，，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，
∴∠ACD=∠ABD=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°，
∵∠AGB=15°×2=30°，∠AGD=30°×2=60°，
∴∠BGD=30°+60°=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG=DG=，
∴AC=2，
∴AD=2，
∴，
∴菱形ACEF的面积为：
3
=
=
故答案为：12．
【点评】（1）此题主要考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（3）此题还考查了解直角三角形问题，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
　
22．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是　（12，）　．
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，由点D的坐标为（6，8），可求得菱形OBCD的边长，又由点A是BD的中点，求得点A的坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数y=（x＞0）的解析式，然后由tan∠FBE=tan∠DOM===，可设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a），即可得方程4a（10+3a）=32，继而求得a的值，则可求得答案．
【解答】解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E，
∵点D的坐标为（6，8），
∴OD==10，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB=OD=10，
∴点B的坐标为：（10，0），
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴点A的坐标为：（8，4），
∵点A在反比例函数y=上，
∴k=xy=8×4=32，
∵OD∥BC，
∴∠DOM=∠FBE，
∴tan∠FBE=tan∠DOM===，
设EF=4a，BE=3a，
则点F的坐标为：（10+3a，4a），
∵点F在反比例函数y=上，
∴4a（10+3a）=32，
即3a2+10a﹣8=0，
解得：a1=，a2=﹣4（舍去），
∴点F的坐标为：（12，）．
故答案为：（12，）．
【点评】此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线，求得反比例函数的解析式，得到tan∠FBE=tan∠DOM===，从而得到方程4a（10+3a）=32是关键．
　
23．如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是　96　．
【考点】菱形的性质．
【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长，进而求出BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AC=12，
∴AO=6，
∵AB=10，
∴BO==8，
∴BD=16，
∴菱形的面积S=AC BD=×16×12=96．
故答案为：96．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
　
24．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中，EF=4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为　　cm．
【考点】菱形的性质；矩形的性质．
【专题】计算题；压轴题；推理填空题．
【分析】首先取CD的中点G，连接HG，设AB=6acm，则BC=7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm；然后根据GH∥BC，可得x=3.5a﹣2；再根据上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，可得a（7a﹣x）=18，据此求出a、x的值各是多少；最后根据AM∥FC，求出HK的长度，再用HK的长度乘以4，求出该菱形的周长为多少即可．
【解答】解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，，
设AB=6acm，则BC=7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm，
∵BC=7acm，MN=EF=4cm，
∴CN=，
∵GH∥BC，
∴，
∴，
∴x=3.5a﹣2…（1）；
∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，
∴6a （7a﹣x）÷2=54，
∴a（7a﹣x）=18…（2）；
由（1）（2），可得
a=2，x=5，
∴CD=6×2=12（cm），CN=，
∴DN==15（cm），
又∵DH===7.5（cm），
∴HN=15﹣7.5=7.5（cm），
∵AM∥FC，
∴=，
∴HK=，
∴该菱形的周长为：
=（cm）．
故答案为：．
【点评】（1）此题主要考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）此题还考查了矩形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
　
三、解答题（共6小题）
25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE，从而得到AF=CE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2，根据等边对等角可得然后∠F=∠3，然后求出∠2=∠F，再根据同位角相等，两直线平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）根据菱形的四条边都相等可得AC=CE，然后求出AC=CE=AE，从而得到△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE=60°，然后根据直角三角形两锐角互余解答．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，E是BA的中点，
∴CE=AE=BE，
∵AF=AE，
∴AF=CE，
在△BEC中，∵BE=CE且D是BC的中点，
∴ED是等腰△BEC底边上的中线，
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，
∴∠1=∠2，
∵AF=AE，
∴∠F=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE=AF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACEF是菱形，
∴AC=CE，
由（1）知，AE=CE，
∴AC=CE=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠CAE=60°，
在Rt△ABC中，∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
　
26．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．
（1）求证：△BAE≌△BCF；
（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA=　20　°时，四边形BFDE是正方形．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）由题意易证∠BAE=∠BCF，又因为BA=BC，AE=CF，于是可证△BAE≌△BCF；
（2）由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分，只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，
∴∠BAE=∠BCF，
在△BAE与△BCF中，
∴△BAE≌△BCF（SAS）；
（2）∵四边形BFDE对角线互相垂直平分，
∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形，
∵△BAE≌△BCF，
∴∠EBA=∠FBC，
又∵∠ABC=50°，
∴∠EBA+∠FBC=40°，
∴∠EBA=×40°=20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF．
　
27．如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），∠COA=60°，将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF．
（1）直接写出点F的坐标；
（2）求线段OB的长及图中阴影部分的面积．
【考点】菱形的性质；扇形面积的计算；坐标与图形变化-旋转．
【分析】（1）由菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），可求得OA=2，又由将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，可得点F在x轴的负半轴上，且OF=2，继而求得点F的坐标；
（2）首先过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，可求得∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，继而求得线段BG的长，则可求得扇形EOB与菱形OABC的面积，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵菱形OABC的顶点A的坐标为（2，0），
∴OA=2，
∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF，∠COA=60°，
∴∠AOF=180°，OF=2，
即点F在x轴的负半轴上，
∴点F（﹣2，0）；
（2）过点B作BG⊥x轴于点G，连接OE，OB，
则∠AOB=∠EOF=30°，AB=OA=2，
∴∠BAG=60°，
∴∠ABG=30°，
∴AG=AB=1，BG==，
∴OB=2BG=2，
∵∠BOE=120°，
∴S扇形==4π，S菱形OABC=OA BG=2，
∴S阴影=S扇形﹣S菱形OABC=4π﹣2．
【点评】此题考查了菱形的性质、旋转的性质以及扇形的面积．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
　
28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】计算题；矩形
菱形
正方形．
【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，判断出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．
（2）首先根据四边形ABCD是菱形，判断出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，进而求出BO、BD的值是多少；然后根据DE∥AC，AD∥CE，判断出四边形ACED是平行四边形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周长是多少．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴，
∴OM=ON．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6，
∴BO==2，
∴，
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=8，
∴△BDE的周长是：
BD+DE+BE
=BD+AC+（BC+CE）
=4+8+（6+6）
=20
即△BDE的周长是20．
【点评】（1）此题主要考查了菱形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（2）此题还考查了三角形的周长的含义以及求法，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
　
29．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
【分析】（1）首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS证明△AOE≌△COF；
（2）首先画出α=30°时的图形，根据菱形的性质得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的长，进而得到EF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴，
∴AE=CF，OE=OF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF．
（2）当α=30°时，即∠AOE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AOB中，
sin∠ABO===，
∴AO=1，
在Rt△AEO中，
cos∠AOE=cos30°==，
∴OE=，
∴EF=2OE=．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及解三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质，解答（2）问时需要正确作出图形，此题难度不大．
　
30．如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM=2∠BAM．
（1）求证：AG=BG；
（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG=1，求三角形ADG的面积．
【考点】菱形的性质．
【分析】（1）根据菱形的对角线平分一组对角，得出∠ABD=∠CBD，再根据∠ABM=2∠BAM，得出∠ABD=∠BAM，然后根据等角对等边证明即可．
（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABM=2∠BAM，
∴∠ABD=∠BAM，
∴AG=BG；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△MBG，
∴=，
∵点M为BC的中点，
∴=2，
∴=（）2=4
∵S△BMG=1，
∴S△ADG=4．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．