2016年北师大版九年级数学上册同步测试:1.1 菱形的性质与判定(解析版)

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名称 2016年北师大版九年级数学上册同步测试:1.1 菱形的性质与判定(解析版)
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资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2016-08-27 08:21:01

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文档简介

2016年北师大版九年级数学上册同步测试:1.1
菱形的性质与判定
一、选择题(共13小题)
1.边长为3cm的菱形的周长是(  )
A.6cm
B.9cm
C.12cm
D.15cm
2.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线BD的长是(  )
A.1
B.
C.2
D.2
3.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数y=的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为(  )
A.2
B.4
C.2
D.4
4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列结论:①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等边三角形,其中一定成立的是(  )
A.①②
B.③④
C.②③
D.①③
5.如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于(  )
A.6米
B.6米
C.3米
D.3米
6.如图,菱形ABCD的周长为16,∠ABC=120°,则AC的长为(  )
A.4
B.4
C.2
D.2
7.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8,DB=6,DE⊥BC于点E,则DE的长为(  )
A.2.4
B.3.6
C.4.8
D.6
8.如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F,垂足为点E,连接DF,若∠CDF=24°,则∠DAB等于(  )
A.100°
B.104°
C.105°
D.110°
9.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是(  )
A.10
B.8
C.6
D.5
10.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于(  )
A.3.5
B.4
C.7
D.14
11.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为(  )
A.28°
B.52°
C.62°
D.72°
12.如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是(  )
A.y=
B.y=
C.y=2
D.y=3
13.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=1,延长AD到点E,使DE=AD,延长CD到点F,使DF=CD,连接AC、CE、EF、AF,则下列描述正确的是(  )
A.四边形ACEF是平行四边形,它的周长是4
B.四边形ACEF是矩形,它的周长是2+2
C.四边形ACEF是平行四边形,它的周长是4
D.四边形ACEF是矩形,它的周长是4+4
 
二、填空题(共11小题)
14.若菱形的周长为20cm,则它的边长是      cm.
15.菱形ABCD中,若对角线长AC=8cm,BD=6cm,则边长AB=      cm.
16.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,BD=7,则菱形ABCD的周长为      .
17.菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48=0的两实根,则菱形的面积为      .
18.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是      .
19.如图,菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,若∠BCO=55°,则∠ADO=      .
20.已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则这个菱形的面积为      cm2.
21.定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径,即损矩形外接圆的直径.如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,点D是菱形ACEF对角线的交点,连接BD.若∠DBC=60°,∠ACB=15°,BD=2,则菱形ACEF的面积为      .
22.如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过该菱形对角线的交点A,且与边BC交于点F.若点D的坐标为(6,8),则点F的坐标是      .
23.如图,在菱形ABCD中,AB=10,AC=12,则它的面积是      .
24.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙).图乙中,EF=4cm,上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到,则该菱形的周长为      cm.
 
三、解答题(共6小题)
25.如图,△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是BC、BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.
(1)求证:四边形ACEF是平行四边形;
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
26.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.
(1)求证:△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=50°,则当∠EBA=      °时,四边形BFDE是正方形.
27.如图,菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0),∠COA=60°,将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF.
(1)直接写出点F的坐标;
(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积.
28.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.
(1)请你判断OM和ON的数量关系,并说明理由;
(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,当AB=6,AC=8时,求△BDE的周长.
29.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,对角线AC、BD相交于点O,将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<90°)后得直线l,直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)当α=30°时,求线段EF的长度.
30.如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求证:AG=BG;
(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积.
 
2016年北师大版九年级数学上册同步测试:1.1
菱形的性质与判定
参考答案与试题解析
 
一、选择题(共13小题)
1.边长为3cm的菱形的周长是(  )
A.6cm
B.9cm
C.12cm
D.15cm
【考点】菱形的性质.
【分析】利用菱形的各边长相等,进而求出周长即可.
【解答】解:∵菱形的各边长相等,
∴边长为3cm的菱形的周长是:3×4=12(cm).
故选:C.
【点评】此题主要考查了菱形的性质,利用菱形各边长相等得出是解题关键.
 
2.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线BD的长是(  )
A.1
B.
C.2
D.2
【考点】菱形的性质.
【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出△DAB是等边三角形,进而得出BD的长.
【解答】解:∵菱形ABCD的边长为2,
∴AD=AB=2,
又∵∠DAB=60°,
∴△DAB是等边三角形,
∴AD=BD=AB=2,
则对角线BD的长是2.
故选:C.
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定,得出△DAB是等边三角形是解题关键.
 
3.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数y=的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为(  )
A.2
B.4
C.2
D.4
【考点】菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.
【专题】压轴题.
【分析】过点A作x轴的垂线,与CB的延长线交于点E,根据A,B两点的纵坐标分别为3,1,可得出横坐标,即可求得AE,BE,再根据勾股定理得出AB,根据菱形的面积公式:底乘高即可得出答案.
【解答】解:过点A作x轴的垂线,与CB的延长线交于点E,
∵A,B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3,1,
∴A,B横坐标分别为1,3,
∴AE=2,BE=2,
∴AB=2,
S菱形ABCD=底×高=2×2=4,
故选D.
【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征,熟记菱形的面积公式是解题的关键.
 
4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列结论:①AC⊥BD;②OA=OB;③∠ADB=∠CDB;④△ABC是等边三角形,其中一定成立的是(  )
A.①②
B.③④
C.②③
D.①③
【考点】菱形的性质.
【分析】根据菱形的性质即可直接作出判断.
【解答】解:根据菱形的对角线互相垂直平分可得:①正确;②错误;
根据菱形的对角线平分一组内角可得③正确.
④错误.
故选D.
【点评】本题考查了菱形的性质,正确记忆性质的基本内容是关键.
 
5.如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于(  )
A.6米
B.6米
C.3米
D.3米
【考点】菱形的性质.
【专题】应用题.
【分析】由四边形ABCD为菱形,得到四条边相等,对角线垂直且互相平分,根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形,在直角三角形ABO中,利用勾股定理求出OA的长,即可确定出AC的长.
【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6(米),
∵∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴BD=AB=6(米),OD=OB=3(米),
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:OA==3(米),
则AC=2OA=6米,
故选A.
【点评】此题考查了勾股定理,菱形的性质,以及等边三角形的判定与性质,熟练掌握菱形的性质是解本题的关键.
 
6.(2015 龙岩)如图,菱形ABCD的周长为16,∠ABC=120°,则AC的长为(  )
A.4
B.4
C.2
D.2
【考点】菱形的性质.
【专题】压轴题.
【分析】连接AC交BD于点E,则∠ABE=60°,根据菱形的周长求出AB的长度,在RT△ABE中,求出BE,继而可得出BD的长.
【解答】解:在菱形ABCD中,
∵∠ABC=120°,
∴∠ABE=60°,AC⊥BD,
∵菱形ABCD的周长为16,
∴AB=4,
在RT△ABE中,AE=ABsin∠ABE=4×=2,
故可得AC=2AE=4.
故选A.
【点评】此题考查了菱形的性质,属于基础题,解答本题的关键是掌握菱形的基本性质:菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
 
7.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8,DB=6,DE⊥BC于点E,则DE的长为(  )
A.2.4
B.3.6
C.4.8
D.6
【考点】菱形的性质.
【分析】首先根据已知可求得OA,OD的长,再根据勾股定理即可求得BC的长,再由菱形的面积等于底乘以高也等于两对角线的乘积,根据此不难求得DE的长.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC=8,DB=6,
∴BC==5,
∵S菱形ABCD=AC×BD=BC×DE,
∴×8×6=5×DE,
∴DE==4.8,
故选C.
【点评】此题考查了菱形的性质,也涉及了勾股定理,要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法,及菱形的对角线互相垂直且平分.
 
8.如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F,垂足为点E,连接DF,若∠CDF=24°,则∠DAB等于(  )
A.100°
B.104°
C.105°
D.110°
【考点】菱形的性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC,AD=CD;再根据垂直平分线的性质得出AF=DF,利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°,从而得到∠DAB的度数.
【解答】解:连接BD,BF,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA.
∵EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,
∴AF=BF,BF=DF,
∴AF=DF,
∴∠FAD=∠FDA,
∴∠DAC+∠FAD+∠DCA+∠CDF=180°,即3∠DAC+∠CDF=180°,
∵∠CDF=24°,
∴3∠DAC+24°=180°,则∠DAC=52°,
∴∠DAB=2∠DAC=104°.
故选:B.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质,有一定的难度,解答本题时注意先先连接BD,BF,这是解答本题的突破口.
 
9.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是(  )
A.10
B.8
C.6
D.5
【考点】菱形的性质;勾股定理.
【专题】计算题.
【分析】根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴OB=OD=3,OA=OC=4,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,
由勾股定理得:AB===5,
即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5.
故选:D.
【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理,关键是求出OA、OB的长,注意:菱形的对角线互相平分且垂直.
 
10.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于(  )
A.3.5
B.4
C.7
D.14
【考点】菱形的性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理.
【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB,菱形的对角线互相平分可得OB=OD,然后判断出OH是△ABD的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB.
【解答】解:∵菱形ABCD的周长为28,
∴AB=28÷4=7,OB=OD,
∵H为AD边中点,
∴OH是△ABD的中位线,
∴OH=AB=×7=3.5.
故选:A.
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,熟记性质与定理是解题的关键.
 
11.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为(  )
A.28°
B.52°
C.62°
D.72°
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质.
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN,利用ASA可得△AMO≌△CNO,可得AO=CO,然后可得BO⊥AC,继而可求得∠OBC的度数.
【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,
∴AB∥CD,AB=BC,
∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO,
在△AMO和△CNO中,
∵,
∴△AMO≌△CNO(ASA),
∴AO=CO,
∵AB=BC,
∴BO⊥AC,
∴∠BOC=90°,
∵∠DAC=28°,
∴∠BCA=∠DAC=28°,
∴∠OBC=90°﹣28°=62°.
故选:C.
【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质,注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质.
 
12.如图,在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,分别交OA,OB于点D,E,以FM为对角线作菱形FGMH.已知∠DFE=∠GFH=120°,FG=FE,设OC=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是(  )
A.y=
B.y=
C.y=2
D.y=3
【考点】菱形的性质;等边三角形的判定与性质;解直角三角形.
【分析】由在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C,F,M,过点C作DE⊥OC,可得△OCD与△OCE是等腰直角三角形,即可得OC垂直平分DE,求得DE=2x,再由∠DFE=∠GFH=120°,可求得C与DF,EF的长,继而求得△DF的面积,再由菱形FGMH中,FG=FE,得到△FGM是等边三角形,即可求得其面积,继而求得答案.
【解答】解:∵ON是Rt∠AOB的平分线,
∴∠DOC=∠EOC=45°,
∵DE⊥OC,
∴∠ODC=∠OEC=45°,
∴CD=CE=OC=x,
∴DF=EF,DE=CD+CE=2x,
∵∠DFE=∠GFH=120°,
∴∠CEF=30°,
∴CF=CE tan30°=x,
∴EF=2CF=x,
∴S△DEF=DE CF=x2,
∵四边形FGMH是菱形,
∴FG=MG=FE=x,
∵∠G=180°﹣∠GFH=60°,
∴△FMG是等边三角形,
∴S△FGH=x2,
∴S菱形FGMH=x2,
∴S阴影=S△DEF+S菱形FGMH=x2.
故选B.
【点评】此题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意证得△OCD与△OCE是等腰直角三角形,△FGM是等边三角形是关键.
 
13.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=1,延长AD到点E,使DE=AD,延长CD到点F,使DF=CD,连接AC、CE、EF、AF,则下列描述正确的是(  )
A.四边形ACEF是平行四边形,它的周长是4
B.四边形ACEF是矩形,它的周长是2+2
C.四边形ACEF是平行四边形,它的周长是4
D.四边形ACEF是矩形,它的周长是4+4
【考点】菱形的性质;平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质.
【分析】首先判断其是平行四边形,然后判定其是矩形,然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可.
【解答】解:∵DE=AD,DF=CD,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AD=CD,
∴AE=CF,
∴四边形ACEF是矩形,
∵△ACD是等边三角形,
∴AC=1,
∴EF=AC=1,
过点D作DG⊥AF于点G,则AG=FG=AD×cos30°=,
∴AF=CE=2AG=,
∴四边形ACEF的周长为:AC+CE+EF+AF=1++1+=2+2,
故选B.
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识,解题的关键是了解有关的判定定理,难度不大.
 
二、填空题(共11小题)
14.若菱形的周长为20cm,则它的边长是 5 cm.
【考点】菱形的性质.
【分析】由菱形ABCD的周长为20cm,根据菱形的四条边都相等,即可求得其边长.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,
∵菱形ABCD的周长为20cm,
∴边长为:20÷4=5(cm).
故答案为:5.
【点评】此题考查了菱形的性质,注意掌握菱形四条边都相等定理的应用是解此题的关键,比较容易解答.
 
15.菱形ABCD中,若对角线长AC=8cm,BD=6cm,则边长AB= 5 cm.
【考点】菱形的性质;勾股定理.
【专题】数形结合.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出对角线一半的长度,然后利用勾股定理列式计算即可得解.
【解答】解:如图,∵菱形ABCD中,对角线长AC=8cm,BD=6cm,
∴AO=AC=4cm,BO=BD=3cm,
∵菱形的对角线互相垂直,
∴在Rt△AOB中,AB===5cm.
故答案为:5.
【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质,作出图形更形象直观且有助于理解.
 
16.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,BD=7,则菱形ABCD的周长为 28 .
【考点】菱形的性质.
【专题】计算题.
【分析】根据菱形的性质可得:AB=AD,然后根据∠A=60°,可得三角形ABD为等边三角形,继而可得出边长以及周长.
【解答】解:∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD,
∵∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∵BD=7,
∴AB=BD=7,
∴菱形ABCD的周长=4×7=28.
故答案为:28.
【点评】本题考查了菱形的性质,解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质,比较简单.
 
17.菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48=0的两实根,则菱形的面积为 24 .
【考点】菱形的性质;根与系数的关系.
【分析】先解出方程的解,根据菱形面积为对角线乘积的一半,可求出结果.
【解答】解:x2﹣14x+48=0
x=6或x=8.
所以菱形的面积为:(6×8)÷2=24.
菱形的面积为:24.
故答案为:24.
【点评】本题考查菱形的性质,菱形的对角线互相垂直,以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系.
 
18.如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是 (5,4) .
【考点】菱形的性质;坐标与图形性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.
【解答】解:∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(2,0),点D在y轴上,
∴AB=5,
∴DO=4,
∴点C的坐标是:(5,4).
故答案为:(5,4).
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,得出DO的长是解题关键.
 
19.如图,菱形ABCD中,AC、BD相交于点O,若∠BCO=55°,则∠ADO= 35° .
【考点】菱形的性质;平行四边形的性质.
【专题】计算题.
【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD,AD∥BC,求出∠CBO,根据平行线的性质求出∠ADO即可.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,
∵∠BCO=55°,
∴∠CBO=90°﹣55°=35°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∴∠ADO=∠CBO=35°,
故答案为:35°.
【点评】本题考查了菱形的性质,平行线的性质的应用,注意:菱形的对角线互相垂直,菱形的对边平行.
 
20.已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,则这个菱形的面积为 24 cm2.
【考点】菱形的性质.
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可.
【解答】解:∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm,
∴这个菱形的面积=×6×8=24(cm2).
故答案为:24.
【点评】本题考查的是菱形的性质,熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键.
 
21.(2015 营口)定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径,即损矩形外接圆的直径.如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向形外作菱形ACEF,点D是菱形ACEF对角线的交点,连接BD.若∠DBC=60°,∠ACB=15°,BD=2,则菱形ACEF的面积为 12 .
【考点】菱形的性质;圆周角定理;解直角三角形.
【专题】新定义.
【分析】首先取AC的中点G,连接BG、DG,再根据∠ADC=90°,∠ABC=90°,判断出A、B、C、D四点共圆,点G是圆心;然后求出∠BGD=90°,即可判断出△BGD是等腰直角三角形;最后解直角三角形,分别求出AD、CD的值,再根据三角形的面积的求法,求出菱形ACEF的面积为多少即可.
【解答】解:如图1,取AC的中点G,连接BG、DG,,
∵四边形ACEF是菱形,
∴AE⊥CF,
∴∠ADC=90°,
又∵∠ABC=90°,
∴A、B、C、D四点共圆,点G是圆心,
∴∠ACD=∠ABD=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°,
∵∠AGB=15°×2=30°,∠AGD=30°×2=60°,
∴∠BGD=30°+60°=90°,
∴△BGD是等腰直角三角形,
∴BG=DG=,
∴AC=2,
∴AD=2,
∴,
∴菱形ACEF的面积为:
3
=
=
故答案为:12.
【点评】(1)此题主要考查了菱形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
(2)此题还考查了圆周角定理的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
(3)此题还考查了解直角三角形问题,以及勾股定理的应用,要熟练掌握.
 
22.如图,在平面直角坐标系中,菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过该菱形对角线的交点A,且与边BC交于点F.若点D的坐标为(6,8),则点F的坐标是 (12,) .
【考点】菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】首先过点D作DM⊥x轴于点M,过点F作FE⊥x于点E,由点D的坐标为(6,8),可求得菱形OBCD的边长,又由点A是BD的中点,求得点A的坐标,利用待定系数法即可求得反比例函数y=(x>0)的解析式,然后由tan∠FBE=tan∠DOM===,可设EF=4a,BE=3a,则点F的坐标为:(10+3a,4a),即可得方程4a(10+3a)=32,继而求得a的值,则可求得答案.
【解答】解:过点D作DM⊥x轴于点M,过点F作FE⊥x于点E,
∵点D的坐标为(6,8),
∴OD==10,
∵四边形OBCD是菱形,
∴OB=OD=10,
∴点B的坐标为:(10,0),
∵AB=AD,即A是BD的中点,
∴点A的坐标为:(8,4),
∵点A在反比例函数y=上,
∴k=xy=8×4=32,
∵OD∥BC,
∴∠DOM=∠FBE,
∴tan∠FBE=tan∠DOM===,
设EF=4a,BE=3a,
则点F的坐标为:(10+3a,4a),
∵点F在反比例函数y=上,
∴4a(10+3a)=32,
即3a2+10a﹣8=0,
解得:a1=,a2=﹣4(舍去),
∴点F的坐标为:(12,).
故答案为:(12,).
【点评】此题考查了菱形的性质、反比例函数的性质以及三角函数等知识.注意准确作出辅助线,求得反比例函数的解析式,得到tan∠FBE=tan∠DOM===,从而得到方程4a(10+3a)=32是关键.
 
23.如图,在菱形ABCD中,AB=10,AC=12,则它的面积是 96 .
【考点】菱形的性质.
【分析】首先根据勾股定理可求出BO的长,进而求出BD的长,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵AC=12,
∴AO=6,
∵AB=10,
∴BO==8,
∴BD=16,
∴菱形的面积S=AC BD=×16×12=96.
故答案为:96.
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用,熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键.
 
24.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙).图乙中,EF=4cm,上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到,则该菱形的周长为  cm.
【考点】菱形的性质;矩形的性质.
【专题】计算题;压轴题;推理填空题.
【分析】首先取CD的中点G,连接HG,设AB=6acm,则BC=7acm,中间菱形的对角线HI的长度为xcm;然后根据GH∥BC,可得x=3.5a﹣2;再根据上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,可得a(7a﹣x)=18,据此求出a、x的值各是多少;最后根据AM∥FC,求出HK的长度,再用HK的长度乘以4,求出该菱形的周长为多少即可.
【解答】解:如图乙,H是CF与DN的交点,取CD的中点G,连接HG,,
设AB=6acm,则BC=7acm,中间菱形的对角线HI的长度为xcm,
∵BC=7acm,MN=EF=4cm,
∴CN=,
∵GH∥BC,
∴,
∴,
∴x=3.5a﹣2…(1);
∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm2,
∴6a (7a﹣x)÷2=54,
∴a(7a﹣x)=18…(2);
由(1)(2),可得
a=2,x=5,
∴CD=6×2=12(cm),CN=,
∴DN==15(cm),
又∵DH===7.5(cm),
∴HN=15﹣7.5=7.5(cm),
∵AM∥FC,
∴=,
∴HK=,
∴该菱形的周长为:
=(cm).
故答案为:.
【点评】(1)此题主要考查了菱形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①菱形具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.
(2)此题还考查了矩形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①平行四边形的性质矩形都具有;②角:矩形的四个角都是直角;③边:邻边垂直;
④对角线:矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.
 
三、解答题(共6小题)
25.如图,△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是BC、BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.
(1)求证:四边形ACEF是平行四边形;
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
【考点】菱形的性质;平行四边形的判定.
【专题】证明题.
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE,从而得到AF=CE,再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1=∠2,根据等边对等角可得然后∠F=∠3,然后求出∠2=∠F,再根据同位角相等,两直线平行求出CE∥AF,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明;
(2)根据菱形的四条边都相等可得AC=CE,然后求出AC=CE=AE,从而得到△AEC是等边三角形,再根据等边三角形的每一个角都是60°求出∠CAE=60°,然后根据直角三角形两锐角互余解答.
【解答】(1)证明:∵∠ACB=90°,E是BA的中点,
∴CE=AE=BE,
∵AF=AE,
∴AF=CE,
在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,
∴ED是等腰△BEC底边上的中线,
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线,
∴∠1=∠2,
∵AF=AE,
∴∠F=∠3,
∵∠1=∠3,
∴∠2=∠F,
∴CE∥AF,
又∵CE=AF,
∴四边形ACEF是平行四边形;
(2)解:∵四边形ACEF是菱形,
∴AC=CE,
由(1)知,AE=CE,
∴AC=CE=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴∠CAE=60°,
在Rt△ABC中,∠B=90°﹣∠CAE=90°﹣60°=30°.
【点评】本题考查了菱形的性质,平行四边形的判定,等边三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及直角三角形两锐角互余的性质,熟记各性质与判定方法是解题的关键.
 
26.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别延长OA,OC到点E,F,使AE=CF,依次连接B,F,D,E各点.
(1)求证:△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=50°,则当∠EBA= 20 °时,四边形BFDE是正方形.
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的判定.
【专题】证明题.
【分析】(1)由题意易证∠BAE=∠BCF,又因为BA=BC,AE=CF,于是可证△BAE≌△BCF;
(2)由已知可得四边形BFDE对角线互相垂直平分,只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形,由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC,又由∠ABC=50°,可得∠EBA+∠FBC=40°,于是∠EBA=×40°=20°.
【解答】(1)证明:∵菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴AB=BC,∠BAC=∠BCA,
∴∠BAE=∠BCF,
在△BAE与△BCF中,
∴△BAE≌△BCF(SAS);
(2)∵四边形BFDE对角线互相垂直平分,
∴只要∠EBF=90°即得四边形BFDE是正方形,
∵△BAE≌△BCF,
∴∠EBA=∠FBC,
又∵∠ABC=50°,
∴∠EBA+∠FBC=40°,
∴∠EBA=×40°=20°.
故答案为:20.
【点评】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质以及正方形的判定.本题关键是根据SAS证明△BAE≌△BCF.
 
27.如图,菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0),∠COA=60°,将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF.
(1)直接写出点F的坐标;
(2)求线段OB的长及图中阴影部分的面积.
【考点】菱形的性质;扇形面积的计算;坐标与图形变化-旋转.
【分析】(1)由菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0),可求得OA=2,又由将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF,∠COA=60°,可得点F在x轴的负半轴上,且OF=2,继而求得点F的坐标;
(2)首先过点B作BG⊥x轴于点G,连接OE,OB,可求得∠AOB=∠EOF=30°,AB=OA=2,继而求得线段BG的长,则可求得扇形EOB与菱形OABC的面积,继而求得答案.
【解答】解:(1)∵菱形OABC的顶点A的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∵将菱形OABC绕坐标原点O逆时针旋转120°得到菱形ODEF,∠COA=60°,
∴∠AOF=180°,OF=2,
即点F在x轴的负半轴上,
∴点F(﹣2,0);
(2)过点B作BG⊥x轴于点G,连接OE,OB,
则∠AOB=∠EOF=30°,AB=OA=2,
∴∠BAG=60°,
∴∠ABG=30°,
∴AG=AB=1,BG==,
∴OB=2BG=2,
∵∠BOE=120°,
∴S扇形==4π,S菱形OABC=OA BG=2,
∴S阴影=S扇形﹣S菱形OABC=4π﹣2.
【点评】此题考查了菱形的性质、旋转的性质以及扇形的面积.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
 
28.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.
(1)请你判断OM和ON的数量关系,并说明理由;
(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E,当AB=6,AC=8时,求△BDE的周长.
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
【专题】计算题;矩形
菱形
正方形.
【分析】(1)根据四边形ABCD是菱形,判断出AD∥BC,AO=OC,即可推得OM=ON.
(2)首先根据四边形ABCD是菱形,判断出AC⊥BD,AD=BC=AB=6,进而求出BO、BD的值是多少;然后根据DE∥AC,AD∥CE,判断出四边形ACED是平行四边形,求出DE=AC=6,即可求出△BDE的周长是多少.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AO=OC,
∴,
∴OM=ON.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AD=BC=AB=6,
∴BO==2,
∴,
∵DE∥AC,AD∥CE,
∴四边形ACED是平行四边形,
∴DE=AC=8,
∴△BDE的周长是:
BD+DE+BE
=BD+AC+(BC+CE)
=4+8+(6+6)
=20
即△BDE的周长是20.
【点评】(1)此题主要考查了菱形的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.
(2)此题还考查了三角形的周长的含义以及求法,以及勾股定理的应用,要熟练掌握.
 
29.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°,对角线AC、BD相交于点O,将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<90°)后得直线l,直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)当α=30°时,求线段EF的长度.
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.
【分析】(1)首先证明AE=CF,OE=OF,结合AO=CO,利用SSS证明△AOE≌△COF;
(2)首先画出α=30°时的图形,根据菱形的性质得到EF⊥AD,解三角形即可求出OE的长,进而得到EF的长.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AO=OC,
∴,
∴AE=CF,OE=OF,
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF.
(2)当α=30°时,即∠AOE=30°,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴∠OAD=60°,
∴∠AEO=90°,
在Rt△AOB中,
sin∠ABO===,
∴AO=1,
在Rt△AEO中,
cos∠AOE=cos30°==,
∴OE=,
∴EF=2OE=.
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及解三角形的知识,解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质,解答(2)问时需要正确作出图形,此题难度不大.
 
30.如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求证:AG=BG;
(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积.
【考点】菱形的性质.
【分析】(1)根据菱形的对角线平分一组对角,得出∠ABD=∠CBD,再根据∠ABM=2∠BAM,得出∠ABD=∠BAM,然后根据等角对等边证明即可.
(2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠ABM=2∠BAM,
∴∠ABD=∠BAM,
∴AG=BG;
(2)解:∵AD∥BC,
∴△ADG∽△MBG,
∴=,
∵点M为BC的中点,
∴=2,
∴=()2=4
∵S△BMG=1,
∴S△ADG=4.
【点评】本题考查了菱形的性质,等腰三角形的判定,三角形相似的判定和性质,熟练掌握性质定理是解题的关键.