2016年北师大版九年级数学上册同步测试：1.2 矩形的性质与判定（解析版）

2016年北师大版九年级数学上册同步测试：1.2
矩形的性质与判定
一、选择题（共6小题）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（　　）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
2．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（　　）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A．∠ABC=90°
B．AC=BD
C．OA=OB
D．OA=AD
4．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（　　）
A．2
B．3
C．6
D．
5．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（　　）
A．14
B．16
C．17
D．18
6．已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（　　）
A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等
B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cm
C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cm
D．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定
　
二、填空题（共11小题）
7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为　　　　　　．
8．在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为　　　　　　．
9．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为　　　　　　．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点．若AC=10，DC=2，则BO=　　　　　　，∠EBD的大小约为　　　　　　度　　　　　　分．（参考数据：tan26°34′≈）
11．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　　　　　　．
12．如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的最小值是　　　　　　．
13．如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为　　　　　　．
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，则OD=　　　　　　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是　　　　　　．
16．（2014 哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为　　　　　　．
17．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为　　　　　　度．
　
三、解答题（共13小题）
18．（1）如图，在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF；
（2）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
20．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
22．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的长．
23．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE=CF．
24．已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．
25．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）填空：当AB：AD=　　　　　　时，四边形MENF是正方形．
26．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
27．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
28．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
29．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．
30．如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．
　
2016年北师大版九年级数学上册同步测试：1.2
矩形的性质与判定
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共6小题）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（　　）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【考点】矩形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
　
2．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（　　）
A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．BD的长度增大
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．
【分析】由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了．
【解答】解：∵矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，
∴AD=BC，AB=DC，
∴四边形变成平行四边形，
故A正确；
BD的长度增加，
故B正确；
∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，
∴面积变小了，故C错误；
∵四边形的每条边的长度没变，
∴周长没变，
故D正确，
故选C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键．
　
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A．∠ABC=90°
B．AC=BD
C．OA=OB
D．OA=AD
【考点】矩形的性质．
【分析】矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，
∴OA=OB，
∴A、B、C正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
　
4．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为（　　）
A．2
B．3
C．6
D．
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出进而可求出BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴AE=EO=CF=FO，
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，
∴BE==2，
∴BF=BE=2，
∴CF=AE=，
∴BC=BF+CF=3，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°．
　
5．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为（　　）
A．14
B．16
C．17
D．18
【考点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE=CD=3，四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，
∴AC===10，
∴BP=AC=5，
∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，
∴AE=AD=4，PE是△ACD的中位线，
∴PE=CD=3，
∴四边形ABPE的周长=AB+BP+PE+AE=6+5+3+4=18；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
　
6．已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（　　）
A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等
B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cm
C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cm
D．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】数形结合．
【分析】根据矩形的性质，AO=CO，由EF⊥AC，得EA=EC，则△CDE的周长是矩形周长的一半，再根据全等三角形的判定方法可求出△CDE与△ABF全等，进而得到问题答案．
【解答】解：∵AO=CO，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AD=矩形ABCD的周长=10cm，
同理可求出△OBF的周长为10cm，
根据全等三角形的判定方法可知：△CDE与△ABF全等，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分的性质，还考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定方法，题目的难度不大．
　
二、填空题（共11小题）
7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为　（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）　．
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D为OA的中点，
∴OD=AD=5，
①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，
∴点P的坐标为：（2.5，4）；
②当OP=OD时，如图1所示：
则OP=OD=5，PC==3，
∴点P的坐标为：（3，4）；
③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，
则∠PED=90°，DE==3；
分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：
OE=5﹣3=2，
∴点P的坐标为：（2，4）；
当E在D的右侧时，如图3所示：
OE=5+3=8，
∴点P的坐标为：（8，4）；
综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．
　
8．在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为　5.5，或0.5　．
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】两种情况：①由矩形的性质得出CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE=3，求出ME，即可得出AM的长．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADC=∠CDF=90°，
∵四边形BCFE为菱形，
∴CF=EF=BE=BC=5，
∴DF===3，
∴AF=AD+DF=8，
∵M是EF的中点，
∴MF=EF=2.5，
∴AM=AF﹣DF=8﹣2.5=5.5；
②如图2所示：同①得：AE=3，
∵M是EF的中点，
∴ME=2.5，
∴AM=AE﹣ME=0.5；
综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5；
故答案为：5.5，或0.5．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形和菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
9．若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为　5　．
【考点】矩形的性质；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长．
【解答】解：方程x2﹣7x+12=0，即（x﹣3）（x﹣4）=0，
则x﹣3=0，x﹣4=0，
解得：x1=3，x2=4．
则矩形ABCD的对角线长是：
=5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质，正确解方程求得矩形的边长是关键．解一元二次方程的基本思想是降次．
　
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点．若AC=10，DC=2，则BO=　5　，∠EBD的大小约为　18　度　26　分．（参考数据：tan26°34′≈）
【考点】矩形的性质；解直角三角形．
【分析】由在矩形ABCD中，AC=10，DC=2，根据矩形的对角线相等且互相平分，可求得BO的长，利用勾股定理即可求得AD的长，继而求得∠DAC的度数，又由E是边AD的中点，可得△ABE是等腰直角三角形，继而求得答案．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AC=10，
∴BD=AC=10，
∴BO=BD=5，
∵DC=2，
∴AD==4，
∴tan∠DAC==，
∵tan26°34′≈，
∴∠DAC≈26°34′，
∴∠OAB=∠OBA=90°﹣∠DAC=63°26′，
∵E是AD的中点，
∴AE=AB=2，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠EBD=∠OBA﹣∠ABE=18°26′．
故答案为：5，18，26．
【点评】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意求得∠DAC=26°34′是关键．
　
11．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　14　．
【考点】矩形的性质．
【分析】运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于DC，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．
【解答】解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了平移的性质，矩形性质，勾股定理的运用．关键是运用平移的观点，将小矩形的四边平移，与大矩形的周长进行比较．
　
12．（2014 葫芦岛）如图，矩形ABCD中，点M是CD的中点，点P是AB上的一动点，若AD=1，AB=2，则PA+PB+PM的最小值是　3　．
【考点】矩形的性质；垂线段最短．
【分析】根据AP+PB=AB，然后判断出PM最小时，PA+PB+PM的值最小值，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵AP+PB=AB，
∴PM最小时，PA+PB+PM的值最小值，
由垂线段最短可知PM⊥CD时，PA+PB+PM的值最小值，
最小值为1+2=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段最短的性质，熟记各性质并判断出最小值的情况是解题的关键．
　
13．如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为　10　．
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形性质求出BD=2BO，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出等边三角形AOB，求出BO=AB，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形性质的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分．
　
14．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，则OD=　3　．
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的对角线相等，且互相平分即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=6，
OD=BD=3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，理解性质定理是关键．
　
15．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是　4　．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定．
【分析】根据矩形的性质得出AC=BD，OA=OC=AC，BO=DO=BD，推出OA=OC=OB=OD，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，BO=DO=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴等腰三角形有△OAB，△OAD，△OBC，△OCD，共4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，有两边相等的三角形是等腰三角形．
　
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为　5或6　．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】需要分类讨论：PB=PC和PB=BC两种情况．
【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=6．
如图1，当PB=PC时，点P是BC的中垂线与AD的交点，则AP=DP=AD=3．
在Rt△ABP中，由勾股定理得
PB===5；
如图2，当BP=BC=6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形．
综上所述，PB的长度是5或6．
故答案为：5或6．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和勾股定理．解题时，要分类讨论，以防漏解．
　
17．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为　30　度．
【考点】矩形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质．
【分析】根据矩形以及平行四边形的面积求法得出当AE=AB，则符合要求，进而得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），
∴当AE=AB，则符合要求，此时∠B=30°，
即这个平行四边形的最小内角为：30度．
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了矩形的性质和平行四边形面积求法等知识，得出AE=AB是解题关键．
　
三、解答题（共13小题）
18．（1）如图，在矩形ABCD中，BF=CE，求证：AE=DF；
（2）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD的度数．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AB=CD，∠B=∠C=90°，求出BE=CF，根据SAS推出△ABE≌△DCF即可；
（2）根据圆周角定理求出∠BAD，根据圆内接四边形性质得出∠BCD+∠BAD=180°，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°，
∵BF=CE，
∴BE=CF，
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF；
（2）解：∵∠BOD=160°，
∴∠BAD=∠BOD=80°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=100°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质，圆周角定理，圆内接四边形性质的应用，解（1）小题的关键是求出△ABE≌△DCF，解（2）小题的关键是求出∠BAD的度数和得出∠BCD+∠BAD=180°．
　
19．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得出结论；
（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列方程求出AP．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
（2）连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由（1）知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴（6﹣x）2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，难度不大，根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN是解决问题的关键．
　
20．如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】首先根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，AD=BC，利用角角之间的数量关系得到∠AOD=∠BOC，利用AAS证明△AOD≌△BOC，即可得到AO=OB．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
【点评】本题主要考查了矩形的性质的知识，解答本题的关键是证明△AOD≌△BOC，此题难度不大．
　
21．如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．
（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；
（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据全等三角形的性质求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股定理即可求得；
（2）过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，先证得△MDF≌△PME，求得ME=DF=，然后根据梯形的中位线的性质定理即可求得．
【解答】解：（1）∵△CDQ≌△CPQ，
∴DQ=PQ，PC=DC，
∵AB=DC=5，AD=BC=3，
∴PC=5，
在Rt△PBC中，PB==4，
∴PA=AB﹣PB=5﹣4=1，
设AQ=x，则DQ=PQ=3﹣x，
在Rt△PAQ中，（3﹣x）2=x2+12，
解得x=，
∴AQ=．
（2）如图2，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，
∵MD⊥MP，
∴∠PMD=90°，
∴∠PME+∠DMF=90°，
∵∠FDM+∠DMF=90°，
∴∠MDF=∠PME，
∵M是QC的中点，
根据直角三角形直线的性质求得DM=PM=QC，
在△MDF和△PME中，
，
∴△MDF≌△PME（AAS），
∴ME=DF，PE=MF，
∵EF⊥CD，AD⊥CD，
∴EF∥AD，
∵QM=MC，
∴DF=CF=DC=，
∴ME=，
∵ME是梯形ABCQ的中位线，
∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，
∴AQ=2．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，梯形的中位线的性质等，（2）求得△MDF≌△PME是本题的关键．
　
22．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE=DC；
（2）已知DC=，求BE的长．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE，可证得AE=DC；
（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE=DC；
（2）解：由（1）得AE=DC，
∴AE=DC=，
在矩形ABCD中，AB=CD=，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，
∴BE=2．
【点评】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定和性质，在（1）中证得三角形全等是解题的关键，在（2）中注意勾股定理的应用．
　
23．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE=CF．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE=CF．
【点评】本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．
　
24．已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据矩形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出CF=AE，CF∥AE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等．
　
25．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）填空：当AB：AD=　1：2　时，四边形MENF是正方形．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；正方形的判定．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）根据矩形性质得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出四边形MENF是平行四边形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．
　
26．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．
（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）首先根据矩形的性质可得AB平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）根据四边形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．
【解答】解；（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DE=BF，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AE=CE，
设DE=x，
则AE=，CE=8﹣x，
则=8﹣x，
解得：x=，
则菱形的边长为：8﹣=，
周长为：4×=25，
故菱形AFCE的周长为25．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质．
　
27．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据矩形的性质和已知证明DF=BE，AB∥CD，得到四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF．
【点评】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
　
28．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；
（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．
　
29．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形DOCE是平行四边形，进而利用矩形的性质得出DO=CO，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质以及矩形的性质得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，进而利用全等三角形的判定得出．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OC=AC=BD=OD，
∴四边形OCED为菱形；
（2）解：AE=BE．
理由：∵四边形OCED为菱形，
∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，
∴∠ADE=∠BCE，
在△ADE和△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质进而得出对应线段关系是解题关键．
　
30．如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．
【考点】矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】代数综合题；数形结合．
【分析】（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；
（2）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．
【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，
∴点E的坐标为（2，1），
代入反比例函数解析式得，
=1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y=2时，
=2，
解得x=1，
∴点D的坐标为（1，2）；
（2）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积=4×2=8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为×8=3，
或×8=5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若（1+OF）×2=3，
解得OF=2，
此时点F的坐标为（2，0），
若（1+OF）×2=5，
解得OF=4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y=﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y=﹣x+，
综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．
【点评】本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（2）难点在于要分情况讨论．