2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.1 圆的有关性质（解析版）

2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.1
圆的有关性质
一、选择题（共9小题）
1．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
2．（绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（　　）
A．4m
B．5m
C．6m
D．8m
3．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（　　）
A．（π﹣4）cm2
B．（π﹣8）cm2
C．（π﹣4）cm2
D．（π﹣2）cm2
4．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=米，则这段弯路的长度为（　　）
A．200π米
B．100π米
C．400π米
D．300π米
5．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（　　）
A．40cm
B．60cm
C．80cm
D．100cm
6．在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（　　）
A．10
B．4
C．10或4
D．10或2
7．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（　　）
A．∠A=∠D
B．CE=DE
C．∠ACB=90°
D．CE=BD
8．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（　　）
A．4
B．8
C．2
D．4
9．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（　　）
A．2
B．
C．2
D．
　
二、填空题（共15小题）
10．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为　　　　　　m．
11．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=　　　　　　米．
12．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是　　　　　　．
13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于　　　　　　m．
14．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为　　　　　　米．
15．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为　　　　　　
m．
16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为　　　　　　．
17．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB=　　　　　　．
18．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为　　　　　　cm．
19．如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=13，水面宽AB=24，则水的深度CD是　　　　　　．
20．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　　　　　　．
21．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是　　　　　　cm（写出一个符合条件的数值即可）
22．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　　　　　　cm．
23．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　　　　　　．
24．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=　　　　　　．
　
三、解答题（共6小题）
25．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
26．如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．
27．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
28．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=AP；
（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．
29．）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，
（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）
　
2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.1
圆的有关性质
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共9小题）
1．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．
【解答】解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD=AB=×8=4cm，
设OA=r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=5cm．
故选C．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
2．绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（　　）
A．4m
B．5m
C．6m
D．8m
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵桥拱半径OC为5m，
∴OA=5m，
∵CD=8m，
∴OD=8﹣5=3m，
∴AD===4m，
∴AB=2AD=2×4=8（m）；
故选；D．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
　
3．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水部分的面积是（　　）
A．（π﹣4）cm2
B．（π﹣8）cm2
C．（π﹣4）cm2
D．（π﹣2）cm2
【考点】垂径定理的应用；扇形面积的计算．
【分析】作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，由垂径定理可知AC=CB，利用正弦函数求得∠OAC=30°，进而求得∠AOC=120°，利用勾股定理即可求出AB的值，从而利用S扇形﹣S△AOB求得杯底有水部分的面积．
【解答】解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
在RT△AOC中，sin∠OAC==，
∴∠OAC=30°，
∴∠AOB=120°，
AC==2，
∴AB=4，
∴杯底有水部分的面积=S扇形﹣S△AOB=﹣××2=（π﹣4）cm2
故选A．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
4．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF=米，则这段弯路的长度为（　　）
A．200π米
B．100π米
C．400π米
D．300π米
【考点】垂径定理的应用；勾股定理；弧长的计算．
【分析】设这段弯路的半径为R米，OF=米，由垂径定理得CF=CD=×600=300．由勾股定理可得OC2=CF2+OF2，解得R的值，进而得出这段弧所对圆心角，求出弧长即可．
【解答】解：设这段弯路的半径为R米
OF=米，
∵OE⊥CD
∴CF=CD=×600=300
根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2
即R2=3002+（300）2
解之，得R=600，
∴sin∠COF==，
∴∠COF=30°，
∴这段弯路的长度为：
=200π（m）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，根据已知得出圆的半径以及圆心角是解题关键．
　
5．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（　　）
A．40cm
B．60cm
C．80cm
D．100cm
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长．
【解答】解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，
∵直径为200cm，AB=160cm，
∴OA=OE=100cm，AM=80cm，
∴OM===60cm，
∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．
故选：A．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
6．在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（　　）
A．10
B．4
C．10或4
D．10或2
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，由于AB和CD的位置不能确定，故应分AB与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论．
【解答】解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示：
过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，OF⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴AE=AB=×24=12，
在Rt△AOE中，
OE===5，
∴OF=OE+EF=5+7=12，
在Rt△OCF中，CF===5，
∴CD=2CF=2×5=10；
当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示：
过点O作OF⊥CD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，OF⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴AE=AB=×24=12，
在Rt△AOE中，
OE===5，
∴OF=EF﹣OE=7﹣5=2，
在Rt△OCF中，CF===，
∴CD=2CF=2×=2．
故CD的长为10或2．
故选D．
【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解．
　
7．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（　　）
A．∠A=∠D
B．CE=DE
C．∠ACB=90°
D．CE=BD
【考点】垂径定理．
【专题】压轴题．
【分析】根据垂径定理，直径所对的角是直角，以及同弧所对的圆周角相等，即可判断．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E．∴CE=DE．故B成立；
A、根据同弧所对的圆周角相等，得到∠A=∠D，故该选项正确；
C、根据直径所对的圆周角是直角即可得到，故该选项正确；
D、CE=DE，而△BED是直角三角形，则DE＜BD，则该项不成立．
故选D．
【点评】本题主要考查了垂径定理的基本内容，以及直径所对的圆周角是直角．
　
8．如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（　　）
A．4
B．8
C．2
D．4
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】探究型．
【分析】先根据⊙O的直径AB=12求出OB的长，再由BP：AP=1：5求出BP的长，故可得出OP的长，连接OC，在Rt△OPC中利用勾股定理可求出PC的长，再根据垂径定理即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB=12，
∴OB=AB=6，
∵BP：AP=1：5，
∴BP=AB=×12=2，
∴OP=OB﹣BP=6﹣2=4，
∵CD⊥AB，
∴CD=2PC．
如图，连接OC，在Rt△OPC中，
∵OC=6，OP=4，
∴PC===2，
∴CD=2PC=2×2=4．
故选D．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
9．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（　　）
A．2
B．
C．2
D．
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】先过O作OC⊥AP，连结OB，根据OP=4，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．
【解答】解：过O作OC⊥AP于点C，连结OB，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=sin30°×4=2，
∵OB=3，
∴BC===，
∴AB=2；
故选A．
【点评】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
　
二、填空题（共15小题）
10．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为　0.8　m．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=0.5m，再在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出OC，即可得到CD的值，即水的深度．
【解答】解：如图，过O点作OC⊥AB，C为垂足，交⊙O于D、E，连OA，
OA=0.5m，AB=0.8m，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=0.4m，
在Rt△AOC中，OA2=AC2+OC2，
∴OC=0.3m，
则CE=0.3+0.5=0.8m，
故答案为：0.8．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题的关键，注意勾股定理的运用．
　
11．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R=　25　米．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．
【解答】解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．
设圆的半径是r，根据勾股定理，
得R2=202+（R﹣10）2，
解得R=25（米）．
故答案为25．
【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．
　
12．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是　50cm　．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质．
【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径．
【解答】解：如图，连接OA，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD=AB=30cm，
∴设半径为r，则OD=r﹣10，
根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，
解得：r=50．
∴这个车轮的外圆半径长为50cm．
故答案为：50cm．
【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
　
13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于　1.6　m．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
【解答】解：如图：
∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m，
∴OE=0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF=0.8﹣0.2=0.6m，
∴CF=m，
∴CD=1.6m．
故答案为：1.6．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
　
14．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为　0.5　米．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】由题意知，秋千摆至最低点时，点C为弧AB的中点，由垂径定理知AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米．再根据勾股定理求得OD即可．
【解答】解：∵点C为弧AB的中点，O为圆心
由垂径定理知：AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米，
在Rt△OAD中，根据勾股定理，OD==2（米），
∴CD=OC﹣OD=2.5﹣2=0.5（米）；
故答案为0.5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，将实际问题抽象为几何问题是解题的关键．
　
15．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为　0.2　
m．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】过O作OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB的中点，在直角三角形AOC中，由水面高度与半径求出OC的长，即可得出排水管内水的深度．
【解答】解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，可得出AC=BC=AB=0.4m，
由直径是1m，可知半径为0.5m，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC===0.3（m），
则排水管内水的深度为：0.5﹣0.3=0.2（m）．
故答案为：0.2．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
　
16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为　5　．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，易求得FH的长，然后设求半径为r，则OH=8﹣r，然后在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2=82，解此方程即可求得答案．
【解答】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴在⊙O中，FH=EF=4，
设求半径为r，则OH=8﹣r，
在Rt△OFH中，r2﹣（8﹣r）2=42，
解得r=5，
故答案为：5．
【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
　
17．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB=　4　．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】根据AE与BE比值，设出AE为x与BE为3x，由AE+BE表示出AB，进而表示出OA与OB，由OA﹣AE表示出OE，连接OC，根据AB与CD垂直，利用垂径定理得到E为CD中点，求出CE的长，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．
【解答】解：连接OC，
根据题意设AE=x，则BE=3x，AB=AE+EB=4x，
∴OC=OA=OB=2x，OE=OA﹣AE=x，
∵AB⊥CD，∴E为CD中点，即CE=DE=CD=3，
在Rt△CEO中，利用勾股定理得：（2x）2=32+x2，
解得：x=，
则AB=4x=4．
故答案为：4
【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
　
18．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为　50　cm．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，根据CD=10cm，AB=60cm，设半径为r，则OD=r﹣10，根据垂径定理得：r2=（r﹣10）2+302，求得r的值即可．
【解答】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∴设半径为r，则OD=r﹣10，
根据题意得：r2=（r﹣10）2+302，
解得：r=50，
故答案为：50．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是正确构造直角三角形．
　
19．如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=13，水面宽AB=24，则水的深度CD是　8　．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，根据CD=OD﹣OC即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径OA=13，水面宽AB=24，OD⊥AB，
∴OD=OA=13，AC=AB=12，
在Rt△AOC中，OC===5，
∴CD=OD﹣OC=13﹣5=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题时往往是找出直角三角形，利用勾股定理求解．
　
20．平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是　2，3，4　．
【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上；
如图2，根据已知条件可知对角∠AOB+∠ACB=180°，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边△MAO的性质来求OC的长度．
【解答】解：如图1，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=60°，
∴点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．
∴OC=AO=BO=2；
如图2，∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
∴∠AOB+∠ACB=180°，
∴四个点A、O、B、C共圆．
设这四点都在⊙M上．点C在优弧AB上运动．
连接OM、AM、AB、MB．
∵∠ACB=60°，
∴∠AMB=2∠ACB=120°．
∵AO=BO=2，
∴∠AMO=∠BMO=60°．
又∵MA=MO，
∴△AMO是等边三角形，
∴MA=AO=2，
∴MA＜OC≤2MA，即2＜OC≤4，
∴OC可以取整数3和4．
综上所述，OC可以取整数2，3，4．
故答案是：2，3，4．
【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系．
　
21．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是　6　cm（写出一个符合条件的数值即可）
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】开放型．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AB，即可得出AP的范围是大于等于5cm且小于等于8cm，举出即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠ACO=90°，
∵OA=5cm，OC=3cm，
∴由勾股定理得：AC==4cm，
∴由垂径定理得：AB=2AC=8cm，
只要举出的数大于等于5且小于等于8cm即可，如6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是求出AP的范围．
　
22．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　2　cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA=2OD=2cm，
∴AD===cm，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=cm．
故答案为：2．
【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用．
　
23．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　（3，2）　．
【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
【解答】解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴OD=OA=3，
在Rt△OPD中，
∵OP=，OD=3，
∴PD===2，
∴P（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
24．如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=　　．
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．
【解答】解：如图，延长ME交⊙O于G，
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG，
过点O作OH⊥MG于H，连接MO，
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1，
OM=×6=3，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE sin60°=1×=，
在Rt△MOH中，MH===，
根据垂径定理，MG=2MH=2×=，
即EM+FN=．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．
　
三、解答题（共6小题）
25．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理；相似三角形的应用．
【分析】根据已知得出旗杆高度，进而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可．
【解答】解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，
∴8米高旗杆DE的影子为：12m，
∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，
∴GH=12﹣3﹣1=8（m），
∴GM=MH=4m．
如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．
设小桥所在圆的半径为r，
∵MN=2m，
∴OM=（r﹣2）m．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
∴OG2=OM2+42，
∴r2=（r﹣2）2+16，
解得：r=5，
答：小桥所在圆的半径为5m．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．
　
26．如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】根据垂径定理可得AF=AB，再表示出AO、OF，然后利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵弓形的跨度AB=3m，EF为弓形的高，
∴OE⊥AB于F，
∴AF=AB=m，
∵所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1m，
∴AO=r，OF=r﹣1，
在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，
即r2=（）2+（r﹣1）2，
解得r=（m）．
答：所在圆O的半径为m．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，此类题目通常采用把半弦，弦心距，半径三者放到同一个直角三角形中，利用勾股定理解答．
　
27．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．
【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=AC，再根据翻折的性质可得OE=r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．
【解答】解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，
则AE=AC=×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE=r，
在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，
即r2=12+（r）2，
解得r=；
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB﹣∠A=65°﹣25°=40°．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．
　
28．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=AP；
（2）如图②，若sin∠BPC=，求tan∠PAB的值．
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．
【专题】探究型．
【分析】（1）根据圆周角定理得∠BPC=∠BAC=60°，可判断△ABC为等边三角形，∠ACB=∠ABC=60°，再利用圆周角定理得到∠APC=∠ABC=60°，而点P是的中点，则∠ACP=∠ACB=30°，于是∠PAC=90°，然后根据30度的正切可计算出AC=AP；
（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，根据垂径定理的推论得到点O在AD上，连结OB，根据圆周角定理得∠BOD=∠BAC，∠BPC=∠BAC，所以sin∠BOD=sin∠BPC==，设OB=25x，则BD=24x，在Rt△OBD中可计算出OD=7x，再在Rt△ABD计算出AB=40x，由于点P是的中点，根据垂径定理的推论OP垂直平分AB，则AE=AB=20x，
在Rt△AEO中，根据勾股定理计算出OE=15x，所以PE=OP﹣OE=25x﹣15x=10x，最后在Rt△APE中，利用正切的定义求解．
【解答】解：（1）∵∠BPC=60°
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而点P是的中点，
∴∠ACP=∠ACB=30°，
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA==tan30°=，
∴AC=PA；
（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC==，
设OB=25x，则BD=24x，
∴OD==7x，
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB==40x，
∵点P是的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE=AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，OE==15x，
∴PE=OP﹣OE=25x﹣15x=10x，
在Rt△APE中，tan∠PAE===，
即tan∠PAB的值为．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和解直角三角形．
　
29．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求阴影部分的面积．
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算．
【分析】（1）根据垂径定理可得=，∠C=∠AOD，然后在Rt△COE中可求出∠C的度数．
（2）连接OB，根据（1）可求出∠AOB=120°，在Rt△AOF中，求出AF，OF，然后根据S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，
∴=，
∴∠C=∠AOD，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠C=∠COE，
∵AO⊥BC，
∴∠C=30°．
（2）连接OB，
由（1）知，∠C=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠AOB=120°，
在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，
∴AF=，OF=，
∴AB=，
∴S阴影=S扇形OADB﹣S△OAB=﹣××=π﹣．
【点评】本题考查了垂径定理及扇形的面积计算，解答本题的关键是利用解直角三角形的知识求出∠C、∠AOB的度数，难度一般．
　
30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，
（1）请探索OF和BC的关系并说明理由；
（2）若∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．（结果保留π）
【考点】垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理；扇形面积的计算．
【分析】（1）先根据垂径定理得出AF=CF，再根据AO=BO得出OF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论；
（2）连接OC，由（1）知OF=，再根据直角三角形的性质得出AB及AC的长，根据扇形的面积公式求出扇形AOC的度数，根据S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC即可得出结论．
【解答】解：（1）OF∥BC，OF=BC．
理由：由垂径定理得AF=CF．
∵AO=BO，
∴OF是△ABC的中位线．
∴OF∥BC，OF=BC．
（2）连接OC．由（1）知OF=．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵∠D=30°，
∴∠A=30°．
∴AB=2BC=2．
∴AC=．
∴S△AOC=×AC×OF=．
∵∠AOC=120°，OA=1，
∴S扇形AOC==．
∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC=﹣．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．