2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（解析版）

2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
一、选择题（共14小题）
1．（如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（　　）
A．150°
B．130°
C．155°
D．135°
2．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（　　）
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
3．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　）
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（　　）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
5．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（　　）
A．2.5
B．3
C．5
D．10
6．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．20°
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A．
B．
C．
D．2
8．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和点B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（　　）
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
9．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（　　）
A．4
B．2
C．8
D．4
10．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（　　）
A．圆形铁片的半径是4cm
B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm
D．扇形OAB的面积是4πcm2
11．在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点
C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
12．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
13．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）
A．r＜6
B．r=6
C．r＞6
D．r≥6
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相切或相交
　
二、填空题（共6小题）
15．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则⊙O的周长为　　　　　　（结果保留π）．
16．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=　　　　　　．
17．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD=，则劣弧AD的长为　　　　　　．
18．如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA=2，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．（结果保留π）
19．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=　　　　　　°．
20．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=　　　　　　．
　
三、解答题（共10小题）
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
23．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）求证：AD2=AM AB；
（3）若AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．
24．如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若OC=CE，BF=，求DE的长．
25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=∠BAN
（2）求证：
=．
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
27．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的长．
28．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．
29．五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．
（1）如图1，求∠EBD的度数；
（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG HC的值．
30．在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．
　
2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共14小题）
1．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（　　）
A．150°
B．130°
C．155°
D．135°
【考点】切线的性质．
【分析】由PA与PB为圆的两条切线，利用切线性质得到PA与OA垂直，PB与OB垂直，在四边形APBO中，利用四边形的内角和定理即可求出∠AOB的度数．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=50°，
∴∠AOB=130°．
故选B．
【点评】此题考查了切线的性质，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
　
2．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（　　）
A．2.3
B．2.4
C．2.5
D．2.6
【考点】切线的性质；勾股定理的逆定理．
【分析】首先根据题意作图，由AB是⊙C的切线，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由S△ABC=AC BC=AB CD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长．
【解答】解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如图：设切点为D，连接CD，
∵AB是⊙C的切线，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC=AC BC=AB CD，
∴AC BC=AB CD，
即CD===，
∴⊙C的半径为，
故选B．
【点评】此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．
　
3．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（　　）
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
【考点】切线的性质．
【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．
　
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（　　）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
【考点】切线的性质；正多边形和圆．
【分析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．
【解答】解：连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴AD为外接圆的直径，
∠AOB==60°，
∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB=30°，
故选A．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，切线的性质，作出适当的辅助线，利用弦切角定理是解答此题的关键．
　
5．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（　　）
A．2.5
B．3
C．5
D．10
【考点】切线的性质．
【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．
【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，
∴点O到直线l的距离等于圆的半径，
即点O到直线l的距离为5．
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；当直线l和⊙O相离 d＞r．
　
6．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC=80°，则∠ADB的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．20°
【考点】切线的性质．
【分析】由AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，推出AD⊥AB，∠DAC=∠B=∠AOC=40°，推出∠AOD=50°．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，AE是⊙O的切线，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=∠AOC=40°，
∴∠ADB=90°﹣∠B=50°，
故选B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接AC，构建直角三角形，求∠B的度数．
　
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A．
B．
C．
D．2
【考点】切线的性质；矩形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3=，
故选A．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
8．如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和点B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（　　）
A．40°
B．60°
C．70°
D．80°
【考点】切线的性质．
【分析】由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．
【解答】解：连接OB，
∵AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，
由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=70°，
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是连接OB，利用直径对的圆周角是直角来解答．
　
9．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（　　）
A．4
B．2
C．8
D．4
【考点】切线的性质．
【分析】连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB=2AC，因为tan∠OAB=，易得=，代入得结果．
【解答】解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴AB=2AC，
∵OD=2，
∴OC=2，
∵tan∠OAB=，
∴AC=4，
∴AB=8，
故选C．
【点评】本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键．
　
10．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（　　）
A．圆形铁片的半径是4cm
B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm
D．扇形OAB的面积是4πcm2
【考点】切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
【专题】应用题．
【分析】由BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四边形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断．
【解答】解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA=AC=4，故A，B正确；
∴的长度为：
=2π，故C错误；
S扇形OAB==4π，故D正确．
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键．
　
11．在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）
A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直
B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点
C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点
D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径
【考点】直线与圆的位置关系；命题与定理．
【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：A、圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误；
B、当圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；
C、两条不平行弦所在直线可能有一个交点，故本选项正确；
D、两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误，
故选C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系．
　
12．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】压轴题．
【分析】首先根据三角形面积求出AM的长，进而得出直线BC与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，
∴AM×BC=AC×AB，
∴AM==4.8，
∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE∥BC，DE=BC=5，
∴AN=MN=AM，
∴MN=2.4，
∵以DE为直径的圆半径为2.5，
∴r=2.5＞2.4，
∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．
故选：A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出BC到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．
　
13．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）
A．r＜6
B．r=6
C．r＞6
D．r≥6
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】探究型．
【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，
∴r＞6．
故选C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交 d＜r
　
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相切或相交
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】压轴题．
【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B=30°，BC=4cm，
∴CD=BC=2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：
当R＞d时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当R＜d时，直线与圆相离．
　
二、填空题（共6小题）
15．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则⊙O的周长为　6π　（结果保留π）．
【考点】切线的性质；勾股定理．
【分析】连接OA，根据切线的性质求出∠OAP=90°，根据勾股定理求出OA即可．
【解答】解：
连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，PA=4，OP=5，由勾股定理得：OA=3，
则⊙O的周长为2π×3=6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并求出∠OAP=90°，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
　
16．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=　50°　．
【考点】切线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果．
【解答】解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，
故答案为：50°．
方法二：
连接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，故E，F，O，H四点共圆，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°﹣130°=50°
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
17．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD=，则劣弧AD的长为　π　．
【考点】切线的性质；弧长的计算．
【分析】如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到∠C=30°，接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，连接DO，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
而AB是⊙O的一条直径，AC=3BC，
∴AB=2BC=OC=2OD，
∴∠C=30°，
∴∠AOD=120°
∴OD=CD，
∵CD=，
∴OD=BC=1，
∴的长度==，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
　
18．如图，将一块含30°角的直角三角板和半圆量角器按如图的方式摆放，使斜边与半圆相切．若半径OA=2，则图中阴影部分的面积为　+　．（结果保留π）
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】图中阴影部分的面积=扇形BOD的面积+△BOC的面积．
【解答】解：∵斜边与半圆相切，点B是切点，
∴∠EBO=90°．
又∵∠E=30°，
∴∠EBC=60°．
∴∠BOD=120°，
∵OA=OB=2，
∴OC=OB=1，BC=．
∴S阴影=S扇形BOD+S△BOC=+×1×=+．
故答案是：
+．
【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算．此题利用了“分割法”求得阴影部分的面积．
　
19．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA=　125　°．
【考点】切线的性质．
【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，可求得∠ODA=36°，从而根据∠CDA=∠CDO+∠ODA计算求解．
【解答】解：连接OD，则∠ODC=90°，∠COD=70°；
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=∠COD=35°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=125°，
故答案为：125．
【点评】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．
　
20．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k=　﹣5　．
【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=，然后证明△BEP∽△BHC，利用相似比得到即=，解得r=1，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值．
【解答】解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，
∵⊙P与边AB，AO都相切，
∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，
∴OB==6，
∵AC=2，
∴OC=6，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，
∴AE=AD=2+r，
∵∠CAH=∠BAO，
∴△ACH∽△ABO，
∴=，即=，解得CH=，
∴AH===，
∴BH=10﹣=，
∵PE∥CH，
∴△BEP∽△BHC，
∴=，即=，解得r=1，
∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5，
∴P（5，﹣1），
∴k=5×（﹣1）=﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
　
三、解答题（共10小题）
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的长．
【考点】切线的性质；平行四边形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形；
（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据切割线定理求得EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．
【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，
∵AE是⊙O的切线，
由切割线定理得，AE2=EC DE，
∵AE=6，CD=5，
∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数），
由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，
设OF=x，OH=Y，FH=z，
∵AB=4，BC=6，CD=5，
∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z，
易得△OFH∽△DFM∽△BFN，
∴，，
即，①
②，
①+②得：，
①÷②得：，
解得，
∵x2=y2+z2，
∴，
∴x=，
∴OF=．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相似判定和性质，勾股定理，正确得作出辅助线是解题的关键．
　
22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8，
∴S阴影=4π﹣8．
【点评】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．
　
23．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．
（1）求证：∠ADC=∠ABD；
（2）求证：AD2=AM AB；
（3）若AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果；
（2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论；
（3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵直线CD切⊙O于点D，
∴∠CDO=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵OB=OD，
∴∠3=∠4，
∴∠ADC=∠ABD；
（2）证明：∵AM⊥CD，
∴∠AMD=∠ADB=90°，
∵∠1=∠4，
∴△ADM∽△ABD，
∴，
∴AD2=AM AB；
（3）解：∵sin∠ABD=，
∴sin∠1=，
∵AM=，
∴AD=6，
∴AB=10，
∴BD==8，
∵BN⊥CD，
∴∠BND=90°，
∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，
∴∠DBN=∠1，
∴sin∠NBD=，
∴DN=，
∴BN==．
【点评】本题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
　
24．如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F．已知∠AEF=135°．
（1）求证：DF∥AB；
（2）若OC=CE，BF=，求DE的长．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）证明：连接OF，根据圆内接四边形的性质得到∠AEF+∠B=180°，由于∠AEF=135°，得出∠B=45°，于是得到∠AOF=2∠B=90°，由DF切⊙O于F，得到∠DFO=90°，由于DC⊥AB，得到∠DCO=90°，于是结论可得；
（2）过E作EM⊥BF于M，由四边形DCOF是矩形，得到OF=DC=OA，由于OC=CE，推出AC=DE，设DE=x，则AC=x，在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2，由勾股定理得：OF=OB=2，则AB=4，BC=4﹣x，由于AC=DE，OCDF=CE，由勾股定理得：AE=EF，通过Rt△ECA≌Rt△EMF，得出AC=MF=DE=x，在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，问题可得．
【解答】（1）证明：连接OF，
∵A、E、F、B四点共圆，
∴∠AEF+∠B=180°，
∵∠AEF=135°，
∴∠B=45°，
∴∠AOF=2∠B=90°，
∵DF切⊙O于F，
∴∠DFO=90°，
∵DC⊥AB，
∴∠DCO=90°，
即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°，
∴四边形DCOF是矩形，
∴DF∥AB；
（2）解：过E作EM⊥BF于M，
∵四边形DCOF是矩形，
∴OF=DC=OA，
∵OC=CE，
∴AC=DE，
设DE=x，则AC=x，
∵在Rt△FOB中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2，由勾股定理得：OF=OB=2，
则AB=4，BC=4﹣x，
∵AC=DE，OCDF=CE，
∴由勾股定理得：AE=EF，
∴∠ABE=∠FBE，
∵EC⊥AB，EM⊥BF
∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°，
在Rt△ECA和Rt△EMF中
∴Rt△ECA≌Rt△EMF，
∴AC=MF=DE=x，
在Rt△ECB和Rt△EMB中，由勾股定理得：BC=BM，
∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2，
解得：x=2﹣，
即DE=2﹣．
【点评】本题考查了圆周角性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线性质，矩形的性质和判定的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
　
25．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP=∠BAN
（2）求证：
=．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．
（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC为⊙O直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+∠PCB=90°，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠BCP=∠BAN；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，
∴∠PBC=∠AMN，
由（1）知∠BCP=∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．
　
26．如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
【考点】切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；
（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC AF，进而求出AD．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．
∵BC与⊙O相切于一点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°=∠C，
∴OD∥AC，
∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=AO=0D，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形AODE是菱形．
（2）解：设⊙O的半径为r．
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴，即10r=6（10﹣r）．
解得r=，
∴⊙O的半径为．
如图2，连接OD、DF．
∵OD∥AC，
∴∠DAC=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DAC=∠DAO，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ADF=90°=∠C，
∴△ADC∽△AFD，
∴，
∴AD2=AC AF，
∵AC=6，AF=，
∴AD2=×6=45，
∴AD==3．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．
　
27．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；解直角三角形．
【分析】（1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答案；
（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠E=90°，
∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，
故∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，
在Rt△EAD中，
∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），
由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，
OC2+CD2=DO2，
则1.52+[（3+x）]2=（1.5+x）2，
解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，
故BD=1．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线的性质得出∠OCD=90°是解题关键．
　
28．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．
【考点】切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据切线的性质，和等角的余角相等证明即可；
（2）根据勾股定理和相似三角形进行解答即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠E=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠BAD+∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠E；
（2）解：连接BC，如图：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=8，AB=2×5=10，
∴BC=，
∵∠BCA=∠ABE=90°，∠BAD=∠E，
∴△ABC∽△EAB，
∴，
∴，
∴BE=．
【点评】本题考查了切线的性质、相似三角形等知识点，关键是根据切线的性质和相似三角形的性质分析．
　
29．五边形ABCDE中，∠EAB=∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，且满足以点B为圆心，AB长为半径的圆弧AC与边DE相切于点F，连接BE，BD．
（1）如图1，求∠EBD的度数；
（2）如图2，连接AC，分别与BE，BD相交于点G，H，若AB=1，∠DBC=15°，求AG HC的值．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）如图1，连接BF，由DE与⊙B相切于点F，得到BF⊥DE，通过Rt△BAE≌Rt△BFE，得到∠1=∠2，同理∠3=∠4，于是结论可得；
（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，由△ABE≌△CBP，得到PB=BE=，求出PF=，通过△AEG∽△CHD，列比例式即可得到结果．
【解答】解：（1）如图1，连接BF，
∵DE与⊙B相切于点F，
∴BF⊥DE，
在Rt△BAE与Rt△BFE中，，
∴Rt△BAE≌Rt△BFE，
∴∠1=∠2，
同理∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EBD=45°；
（2）如图2，连接BF并延长交CD的延长线于P，
∵∠4=15°，
由（1）知，∠3=∠4=15°，
∴∠1=∠2=30°，∠CBP=30°，
∵∠EAB=∠PCB=90°，AB=1，
∴AE=，BE=，
在△ABE与△CBP中，，
∴△ABE≌△CBP，
∴PB=BE=，
∴PF=，
∵∠P=60°，
∴DF=2﹣，
∴CD=DF=2﹣，
∵∠EAG=∠DCH=45°，
∠AGE=∠BDC=75°，
∴△AEG∽△CHD，
∴，
∴AG CH=CD AE，
∴AG CH=CD AE=（2﹣） =．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
　
30．在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．
（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；
（2）若直线l经过点D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），判断直线l与⊙P的位置关系．
【考点】直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系；作图—复杂作图．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D与⊙P的位置关系即可；
（2）连接PE，用待定系数法求出直线PD与PE的位置关系即可．
【解答】解：（1）如图所示：
△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；
（2）方法一：连接PD，
设过点P、D的直线解析式为y=kx+b，
∵P（﹣1，0）、D（﹣2，﹣2），
∴，
解得，
∴此直线的解析式为y=2x+2；
设过点D、E的直线解析式为y=ax+c，
∵D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3），
∴，
解得，
∴此直线的解析式为y=﹣x﹣3，
∵2×（﹣）=﹣1，
∴PD⊥DE，
∵点D在⊙P上，
∴直线l与⊙P相切．
方法二：连接PE，PD，
∵直线
l过点
D（﹣2，﹣2
），E
（0，﹣3
），
∴PE2=12+32=10，PD2=5，DE2=5，．．
∴PE2=PD2+DE2．
∴△PDE是直角三角形，且∠PDE=90°．
∴PD⊥DE．
∵点D在⊙P上，
∴直线l与⊙P相切．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．