2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.3 正多边形和圆（解析版）

2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.3
正多边形和圆
一、选择题（共15小题）
1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3
B．9
C．18
D．36
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．2，
B．2，π
C．，
D．2，
3．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
5．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　）
A．R2﹣r2=a2
B．a=2Rsin36°
C．a=2rtan36°
D．r=Rcos36°
7．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）
A．
B．2
C．3
D．2
8．如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
9．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（　　）
A．△CDF的周长等于AD+CD
B．FC平分∠BFD
C．AC2+BF2=4CD2
D．DE2=EF CE
11．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（　　）
A．12mm
B．12mm
C．6mm
D．6mm
12．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（　　）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
13．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　）
A．5：4
B．5：2
C．：2
D．：
14．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．2
15．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（　　）
A．（60°，4）
B．（45°，4）
C．（60°，2）
D．（50°，2）
　
二、填空题（共14小题）
16．已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为　　　　　　cm．
17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有　　　　　　个．
18．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是　　　　　　cm．
19．圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为　　　　　　cm2．
20．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=　　　　　　．
21．半径为1的圆内接正三角形的边心距为　　　　　　．
22．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　　　　　　．
23．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　　　　　　cm2．（结果保留π）
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于　　　　　　．
25．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为　　　　　　．
26．如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为　　　　　　．
27．正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为　　　　　　．
28．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　　　　　　．
29．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（　　　　　　，　　　　　　）．
　
三、解答题（共1小题）
30．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于　　　　　　．
　
2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.3
正多边形和圆　
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共15小题）
1．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3
B．9
C．18
D．36
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．
　
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．2，
B．2，π
C．，
D．2，
【考点】正多边形和圆；弧长的计算．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，
故选D．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
　
3．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正多边形和圆；勾股定理；概率公式．21世纪教育网
【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长，进而利用概率公式求出即可．
【解答】解：连接AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N，
∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，
∴AF=EF=1，∠AFE=120°，
∴∠FAE=30°，
∴AN=，
∴AE=，同理可得：AC=，
故从任意一点，连接两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，
则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，正确利用正六边形的性质得出AE的长是解题关键．
　
4．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BC AD，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=，
∴BC=2，
∴△ABC的面积=BC AD=×2×3=3；
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握圆内接正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
5．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【专题】压轴题；规律型．
【分析】连结OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2，然后化简即可．
【解答】解：连结OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，
则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．
故选D．
【点评】本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．
　
6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（　　）
A．R2﹣r2=a2
B．a=2Rsin36°
C．a=2rtan36°
D．r=Rcos36°
【考点】正多边形和圆；解直角三角形．21世纪教育网
【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC=×360°=72°，
∴∠1=∠BOC=×72°=36°，
R2﹣r2=（a）2=a2，
a=Rsin36°，
a=2Rsin36°；
a=rtan36°，
a=2rtan36°，
cos36°=，
r=Rcos36°，
所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．
故选A．
【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．
　
7．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）
A．
B．2
C．3
D．2
【考点】正多边形和圆；勾股定理．21世纪教育网
【专题】几何图形问题．
【分析】运用正六边形的性质，正六边形边长等于外接圆的半径，再利用勾股定理解决．
【解答】解：∵正六边形的边心距为，
∴OB=，AB=OA，
∵OA2=AB2+OB2，
∴OA2=（OA）2+（）2，
解得OA=2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．
　
8．如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则=（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】根据边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍即可得出结论．
【解答】解：∵边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，
∴设S空白=x，则S阴影=6x﹣x=5x，
∴=5．
故选C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知边长为a的正六边形的面积是边长为a的等边三角形的面积的6倍是解答此题的关键．
　
9．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则=（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．
【解答】解：如图，
∵三角形的斜边长为a，
∴两条直角边长为a，
a，
∴S空白=a a=a2，
∵AB=a，
∴OC=a，
∴S正六边形=6×a a=a2，
∴S阴影=S正六边形﹣S空白=a2﹣a2=a2，
∴==5，
法二：因为是正六边形，所以△OAB是边长为a的等边三角形，即两个空白三角形面积为S△OAB，即=5
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．
　
10．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（　　）
A．△CDF的周长等于AD+CD
B．FC平分∠BFD
C．AC2+BF2=4CD2
D．DE2=EF CE
【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网
【分析】首先由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形ABCF为菱形，得CF=AF，即△CDF的周长等于AD+CD，由菱形的性质和勾股定理得出AC2+BF2=4CD2，可证明△CDE∽△DFE，即可得出DE2=EF CE．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，
∴四边形ABCF是菱形，
∴CF=AF，
∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，
即△CDF的周长等于AD+CD，
故A选项正确；
∵四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
设AC与BF交于点O，
由勾股定理得OB2+OC2=BC2，
∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，
∴AC2+BF2=4CD2．
故C选项正确；
由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，
∴∠DCE=∠EDF，
∴△CDE∽△DFE，
∴=，
∴DE2=EF CE，
故D选项正确；
故选：B．
【点评】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定，综合考察的知识点较多，解答本题注意已经证明的结论，可以直接拿来使用．
　
11．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（　　）
A．12mm
B．12mm
C．6mm
D．6mm
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【专题】计算题．
【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．
【解答】解：已知圆内接半径r为12mm，
则OB=12，
∴BD=OB sin30°=12×=6，
则BC=2×6=12，
可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．
故选A．
【点评】此题所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边形的边长．
　
12．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（　　）
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】根据正六边形的性质，分AB是直角边和斜边两种情况确定出点C的位置即可得解．
【解答】解：如图，AB是直角边时，点C共有6个位置，
即，有6个直角三角形，
AB是斜边时，点C共有4个位置，
即有4个直角三角形，
综上所述，△ABC是直角三角形的个数有6+4=10个．
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆，难点在于分AB是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
　
13．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　）
A．5：4
B．5：2
C．：2
D．：
【考点】正多边形和圆；勾股定理．21世纪教育网
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．
【解答】解：如图1，连接OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，
∵∠AOB=45°，
∴OB=AB=1，
由勾股定理得：OD==，
∴扇形的面积是=π；
如图2，连接MB、MC，
∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，
∴∠BMC=90°，MB=MC，
∴∠MCB=∠MBC=45°，
∵BC=1，
∴MC=MB=，
∴⊙M的面积是π×（）2=π，
∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．
　
14．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．2
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r sin60°=，
∴EF=，
∵AO=2OI，
∴OI=，CI=r﹣=，
∴，
∴，
∴=，
即则的值是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
　
15．阅读理解：如图1，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对（θ，m）称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．
应用：在图2的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为（　　）
A．（60°，4）
B．（45°，4）
C．（60°，2）
D．（50°，2）
【考点】正多边形和圆；坐标确定位置．21世纪教育网
【专题】新定义．
【分析】设正六边形的中心为D，连接AD，判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根据“极坐标”的定义写出即可．
【解答】解：如图，设正六边形的中心为D，连接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OD=OA=2，∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×2=4，
∴正六边形的顶点C的极坐标应记为（60°，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了正多边形和圆，坐标确定位置，主要利用了正六边形的性质，读懂题目信息，理解“极坐标”的定义是解题的关键．
　
二、填空题（共14小题）
16．（2015 达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为　2　cm．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：如图所示，
连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD=60°，
∴OD=OA sin∠OAB=AO=，
解得：AO=2．．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是正六边形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
　
17．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有　8　个．
【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定．21世纪教育网
【分析】在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．
【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．
故答案是：8．
【点评】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．
　
18．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半径是　2　cm．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】首先求出∠AOB=×360°，进而证明△OAB为等边三角形，问题即可解决．
【解答】解：如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长长为12cm，
∴边长为2cm，
∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=2，
即该圆的半径为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了正多边形和圆，以正多边形外接圆、正多边形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是关键．
　
19．（2015 营口）圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为　24　cm2．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
【解答】解：如图，
连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG=2，∠AOG=30°，
∵OG=OA cos
30°，
∴OA===4，
∴这个正六边形的面积为6××4×2=24cm2．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质及锐角三角函数的定义解答即可．
　
20．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=　72°　．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】利用多边形内角和公式求得∠E的度数，在等腰三角形AED中可求得∠EAD的读数，进而求得∠BAD的度数．
【解答】解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠E=×540°=108°，∠BAE=108°
又∵EA=ED，
∴∠EAD=×（180°﹣108°）=36°，
∴∠BAD=∠BAE﹣∠EAD=72°，
故答案是：72°．
【点评】本题考查了正多边形的计算，重点掌握正多边形内角和公式是关键．
　
21．半径为1的圆内接正三角形的边心距为　　．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【专题】几何图形问题．
【分析】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．
【解答】解：如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，OB=1，OD⊥BC．
∵等边三角形的内心和外心重合，
∴OB平分∠ABC，则∠OBD=30°；
∵OD⊥BC，OB=1，
∴OD=．
故答案为：．
【点评】考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．
　
22．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　（，﹣）　．
【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质．21世纪教育网
【专题】计算题．
【分析】先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交Y轴于G，那么∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．即可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似可求出．
【解答】解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．
∴GE=，OG=．
∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F（﹣，）．
故答案为：（，﹣）
【点评】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识．
　
23．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　　cm2．（结果保留π）
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【专题】计算题．
【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
【解答】解：如图所示：连接BO，CO，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，
∴CO∥AB，
在△COW和△ABW中
，
∴△COW≌△ABW（AAS），
∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC==．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．
　
24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于　2π　．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】根据正方形的面积公式求得半径，然后根据圆的面积公式求解．
【解答】解：正方形的边长AB=2，
则半径是2×=，
则面积是（）2π=2π．
故答案是：2π．
【点评】本题考查了正多边形的计算，根据正方形的面积求得半径是关键．
　
25．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为　54°　．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】连接OB，则OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数，由等腰三角形的性质和内角和定理即可得出结果．
【解答】解：连接OB，
则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB==72°，
∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；
故答案为：54°．
【点评】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、正五边形中心角的求法；熟练掌握正五边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
　
26．如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为　（﹣1）/2　．
【考点】轨迹．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】当正六边形EFGHIJ的边长最大时，要使AE最小，六边形对角线EH与正方形对角线AC重合就可解决问题．
【解答】解：如图所示，当EH=AB时，正六边形自由旋转且始终在正方形里，此时正六边形的边长最大，再当EH与正方形对角线AC重合时，AE最小
∵正方形ABCD的边长为1；
∴AC=
∴而EH=1
∴AE=，
则AE的最小值为AE=．
故答案为
【点评】本题考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使得AE最小．
　
27．正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为　2　．
【考点】正多边形和圆．21世纪教育网
【分析】根据题意画出图形，过点F作FG⊥AE于点G，先根据正六边形的性质得出∠AFE的度数，再由AF=EF可知FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，根据锐角三角函数的定义即可得出AG的长，进而得出结论．
【解答】解：如图所示，
过点F作FG⊥AE于点G，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=120°，AF=EF，
∴FG是AE的垂直平分线，∠GAF=30°，
∴AG=AF cos30°=2×=，
∴AE=2AG=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
　
28．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为4，则阴影部分的面积等于　π　．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB cos60°=2，
∴BD=2BM=4，
∴△BDO的面积是×BD×OM=×4×2=4，
同理△FDO的面积是4；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，
∴S扇形OCD﹣S△COD=﹣×4×2=π﹣4，
∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，
故答案为：π．
【点评】本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．
　
29．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（　2　，　4　）．
【考点】正多边形和圆；两条直线相交或平行问题．21世纪教育网
【专题】压轴题．
【分析】首先得出△AOF是等边三角形，利用建立的坐标系，得出D，F点坐标，进而求出直线DF的解析式，进而求出横坐标为2时，其纵坐标即可得出答案．
【解答】解：连接AE，DF，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，
∴可得：△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=2，
∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，EO=FO+EF=4，
∴∠EAO=90°，∠OEA=30°，故AE=4cos30°=6，
∴F（，3），D（4，6），
设直线DF的解析式为：y=kx+b，
则，
解得：，
故直线DF的解析式为：y=x+2，
当x=2时，y=2×+2=4，
∴直线DF与直线AE的交点坐标是：（2，4）．
故答案为：2，4．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及待定系数法求一次函数解析式等知识，得出F，D点坐标是解题关键．
　
三、解答题（共1小题）
30．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于　　．
【考点】正多边形和圆；圆锥的计算；作图—复杂作图．21世纪教育网
【专题】作图题．
【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长
FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．
【解答】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，
（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOD=3=135°，
∵OA=5，
∴的长=，
设这个圆锥底面圆的半径为R，
∴2πR=，
∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．