4.2.2 指数函数的图像及性质 教学设计

《4.2.2指数函数的图象和性质》教学设计
教材分析
本节课是人教A版普通高中教科书数学必修1第四章第二节《指数函数的图象和性质》第1课时，同时，指数函数模型也是基本初等函数的一种重要的数学模型，是从实际问题中抽象出来的一种描述增长或衰减方式的一种函数模型。在新教材中编者特别将指数函数放在了幂函数的后面学习，旨在通过对学生初中熟知的幂函数入手，让学生先学会如何研究函数，从哪些角度去研究函数，研究函数的过程和方法是怎样的，再利用这些方法来类比研究一种新的函数---指数函数。同时，指数函数的图象与性质的研究也是为后面研究对数函数的图象和性质奠定基础。通过对本节课指数函数的图象与性质的学习，不仅可以帮助学生更透彻地理解指数函数，而且更加促使学生形成解决实际问题的函数模型化思想，增强学生用函数的观点来解决实际问题的意识。因而，本节课是连接幂函数与对数函数的桥梁，在教材中起着承上启下的作用，具有非常重要的地位。
学情分析
一方面，学生在前一课时中已从实际问题中抽象出了指数函数，了解了指数函数是描述变化率相等的增长或衰减的一种函数模型，过渡到本节课进一步研究指数函数的图象和性质；同时，对于幂（），我们也已经把指数的范围拓展到了实数，前一章也学习了幂函数，熟练掌握了幂函数的图象、性质以及研究函数的过程与方法，这都更有利于学生对指数函数图象与性质的理解和掌握，也更利于学生实现从“旧知”向“新知”的迁移。
另一方面，由于对于一个全新的函数不了解，故而先通过学生自己动手描点作图，再通过信息技术手段作出大量的具体指数函数的图象，由特殊到一般地归纳出指数函数图象，再概括并分析研究指数函数的性质；得到性质后，再利用性质返回来进一步去研究函数的图象，从“以形助数”和“以数助形”两个方面体会数形结合的思想方法。同时，在“形”的教学中，不同底数的指数函数图象之间的关系对学生来说是一个难点，需要借助信息技术手段加以突破；在“数”的方面，指数函数单调性应用于比较两个数的大小时，根据问题的特点来构造适当的指数函数是关键也是难点，必须在老师一定的指导下才能进行。因此在实际教学中，更多需要思考如何过渡自然地引导学生学习，并关注所有学生跟上课堂节奏。
课标要求
应用描点法或借助计算工具画出具体指数函数图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数图象的连续性与阶段性；
建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路；
理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，，求得运算结果。
教学目标
（一）熟练画出指数函数的图象，并能从动态的角度理解函数图象随参数变化而变化的规律；
（二）自主学习，积极讨论，踊跃展示，通过图象探究并掌握指数函数的性质，利用性质解决简单问题；
（三）经历由具体的指数函数的图象，推广到一般指数函数的图象规律进而得到指数函数的性质，提升学生发现和提出问题的能力，培养学生从特殊到一般、数形结合、分类讨论的数学思想以及函数分析方法等函数的思想；在基础知识的学习以及数学思想的渗透中提升学生的直观想象、数学建模等数学学科核心素养。
教学重点、难点
教学重点：指数函数的图象及其随参数变化而变化的规律，根据指数函数的图象分析指数函数的性质。
教学难点：对指数函数图象的探究及性质的理解和应用，并完善知识的建构。
教法学法分析
教法：问题驱动式、启发探究、互动讨论
学法：自主探究、合作交流、归纳总结
教学过程
教学流程设计
教学过程设计
1.环节一 复习回顾，铺垫引入
【问题情境与教学内容】
问题1 指数函数的概念是什么？
一般地，函数（且）叫做指数函数；其中指数是自变量，定义域是.
问题2 当初学习幂函数或其他函数时，我们是如何研究函数的图象和性质的？
答: 1.先明确函数的概念，写出函数的解析式，确定函数的定义域；
2.通过函数的解析式及定义域，画出函数的图象；
3.分析随着参数的变化，函数的图象是如何变化的；
4.再利用函数的图象和解析式，讨论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质；
5.用函数的性质再次分析函数的图象.
【教师活动】
学生自由发言回答后教师投影展示答案.
【学生活动】
学生思考并回答教师提问.
【设计意图】
问题1:根据研究函数的经验，思考如何研究一个函数的性质？从哪些方面进行研究？从而进行类比学习研究指数函数的过程与方法，为指数函数的研究做好铺垫，让研究更有方向和目标.
问题2:再次明确指数函数这一模型，为本节课的图象与性质的研究埋下伏笔.
环节二 推陈出新，建构新知
【活动探究 自主学习】
活动1 请同学们完成下列表格，并用描点法画出函数的图象.
（表1.1）
（图1.1）
活动2 画出函数的图象，并与函数的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图象，画出函数的图象？
（表2.1）
（图2.1） （图2.2）
因为，点与点关于轴对称，所以函数图象上任意一点关于轴对称点都在函数的图象上，反之亦然.
由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.
活动3 指数函数，的图象又是什么样的？它们与指数函数的图象又有什么关系？
（图3.1） （图4.1）
活动4 同样地，指数函数，的图象又是什么样的？它们与指数函数的图象又有什么关系
【教师活动】
创设问题情境，引导启发学生在旧知的基础上发展新知，教师在学生回答的基础上展示几何画板的作图.
【学生活动】
积极思考并回答教师提出的问题.
【设计意图】
活动1 学生自己通过列表、描点、连线的方式探寻指数函数的图象.
活动2 利用函数与函数图象的关系，学生可以由己知函数图象探究新函数图象，可以通过数学建模、直观想象和逻辑推理获得数学结论.
活动3 在底数大于1的情况下，不断变换底数来探究时指数函数的图象变化规律.
活动4 在底数小于0大于1的情况下，不断变换底数来探究时指数函数的图象变化规律.
环节三 辨析理解，深化概念
【合作交流 深化理解】
活动5 如果把以上6个指数函数的图象画在同一个平面直角坐标系中,他们会呈现出什么状态,他们之间的关系又是如何的呢
（图5.1）
活动6 根据上述函数图象的分析我们发现:指数函数的图象按底数的取值,可分为和两种类型.因此，指数函数的性质也可以分为和两种情况进行研究.请同学们，观看几何画板的动画演示，以小组为单位总结指数函数的性质.
（图6.1）
一般地，指数函数（且）的图象和性质如表6.1所示.
图 象
定义域
值域
奇偶性 非奇非偶函数
单调性 在上是减函数 在上是增函数
定点 ，即时，.
函数值变化 时， 时， 时， 时，
对称性 与的图象关于轴对称
其 他 指数函数的图象分布在第一、二象限； 在第一象限，底数越大，图象越高（底大图高）；在第二象限，底大图低； 函数图象向下逐渐接近轴，但不能和轴相交； 当底数逼近1时，函数图象贴近.
【教师活动】
教师提问引发学生思考，然后投影指数函数图象的规律以及指数函数的性质.
【学生活动】
学生思考讨论，交流，并完成表格.
【设计意图】
将多个具体的指数函数图象放在同一坐标系内，并且利用信息技术，将大量的指数函数图象置于同一坐标系中，让学生自己探寻到指数函数的变化规律，通过图象分析指数函数的性质.
4.环节四 新知应用，巩固应用
【实践出真知】
例1 比较下列各题中两个值的大小
（<） (2)（<） (3)（>）
总结：比较指数式大小的类型及处理方法：
(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断.
(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断.
(3)底数不同，指数不同：通过中间量1来比较.
变式训练 比较下列各题中两个值的大小
（<） (2)（>） (3)（>）
例2 已知函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
总结：指数函数图象的平移变换：
的图象（上移个单位）得到的图象；
的图象（下移个单位）得到的图象；
的图象（左移个单位）得到的图象；
的图象（右移个单位）得到的图象.
并指出恒过哪个点.
变式训练1 若函数的图象恒过定点,则点的坐标为？
变式训练2 若函数的图象不经过第二象限，则有（ ）
【教师活动】
教师在学生完成题目后，给出规范解答.
【学生活动】
学生尝试独立完成.
【设计意图】
例题利用指数函数的单调性以及特殊点比较两个数的大小，进而加速学生熟悉指数函数的性质，帮助他们形成用函数观点解决问题的意识；变式训练的设置，不仅体现出函数单调性的应用，更突显出了数形结合的思想。
5.环节五 总结归纳 反思提升
(1)通过本节课学习指数函数的过程，你认为应该如何研究一类函数
(2)小结本节课学习了哪些知识
(3)本节课所学的知识学习中蕴含了什么样的数学思想
答：(1)通过本节课的学习，了解到讨论一类函数应该从大量具体的函数图象来抽象出一般函数的图象，从而数形结合地去概括函数的性质，探索函数变化规律的本质；再根据所得的性质进一步分析函数的图象，从“以形助数”和“以数助形”两个方面体会数形结合的思想方法.
(2)本节课通过大量具体的指数函数图象来探究一般指数函数的图象、性质，以及应用性质解决简单的问题.
(3)在本节课中体现了特殊到一般的数学思想、数形结合的数学思想；并提升了数学建模，直观想象，数学抽象等学科核心素养.
【师生活动】
教师引发学生思考，同组讨论，师生共同对话交流.
【设计意图】
学生可以从数学知识、函数的研究方法、数学思想方法对本课进行自我提炼和总结，学生能够领悟函数研究的本质.
环节六 自评互评，课后练习
请小组间进行自评和互评.
课后练习题：
巩固练习：
1、在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明它们的关系.
2、比较下列各题中两个值的大小:
（1） （2）
（3） （4）
综合应用：
3、比较满足下列条件的的大小
（1） （2）
（3） （4）
4、一种产品原来的年产量是件，今后年内，计划使产量平均每年比上一年增加p％，写出年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式.
思维拓展
5、已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象.
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
【设计意图】
自评与互评可以促进同学间的交流和合作，增强班级凝聚力和团队意识；能够增强学生的自信，提高学生的数学语言表达能力；促使学生打破思维定势，提高分析和解决问题的能力.课后练习是用于巩固提升，在学生掌握了指数函数图象与性质的规律之后，通过指数函数单调性的应用以及研究一个新函数方法的训练，达到深刻理解和领悟本节课精髓的目的.
板书设计
4.2.2 指数函数的图象与性质
图 象
定义域
值域
奇偶性 非奇非偶函数
单调性 在上是减函数 在上是增函数
定点 ，即时，.
函数值变化 时， 时， 时， 时，
对称性 与的图象关于轴对称
图象分布 指数函数的图象分布在第一、二象限； 在第一象限，底数越大，图象越高（底大图高）；在第二象限，底大图低； 函数图象向下逐渐接近轴，但不能和轴相交； 5.当底数逼近1时，函数图象贴近.