湖南省、广西 2026 届高三上学期阶段性检测（二）联考
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码
粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
A x | 4 x2 26 6,B 2,4,5,6,7 1. 已知集合 ，则 A B （ ）
A. 5 B. 4,5 C. 2,4,5 D. 4,5,6
2. 已知圆O : x2 y2 r 2 (r 0)，则“点 A(1,0)在圆O外”是“点 B(1,1)在圆O外”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条
件
3. 设复数 z 1 i,w a bi，其中 a,b R，若 zw zw是虚数，则（ ）
A. a b 0 B. a b 0 C. a b 0 D. a b 0
4. 设 , 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A 若m / / , / / ，则m / / B. 若 ,m ,n ，则m n
C. 若m ,n ,n m，则 D. 若m / / ,m , n，则m与 n相交
1
5. 在VABC 中， sin A , AB BC 2，则 AC的长为（ ）
3
8 4
A. B.
3 6
C. 3 D.
3
h
6. 已知圆锥和圆柱的底面半径均为 r，高均为 h，若圆锥与圆柱的表面积之比为 4 : 7，则 （ ）
r
1
3 5 4 3
A. B. C. D.
5 3 3 4
7. 债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性、一种常用的债券现值计算公式
n
PV C i Fn为 i n ，其中 PV 为债券现值，n表示债券的期限（单位：年），Ci 为第 i年的利息，
i 1 (1 r) (1 r)
F
F n r . PV 72,r 0.05 C 2.1i 5n为 年后的债券面值， 为贴现率 若 ， i ，则 F （ ）4
1 2 1
A. 12 B. C. D.3 3 4
8. 已知 sin 2sin 2，则 cos( )的最大值为（ ）
1 1 1
A. B. C. D. 1
8 4 6 2
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 a 0，圆O : x2 y2 a2 ，直线 l1 : x ay 2 0, l2 : 2ax y 1 0，则（ ）
A. l1与 l2不可能垂直
B. 若 a 1，则 l1与圆O相切
C. 2若 a ，则 l2与圆O相交
2
D. 若圆O与圆 (x 2a)2 y2 4无交点，则 a 2
10. 已知函数 f (x)的定义域为R ，且 f (x y) 2xy f (x) f ( y), f (1) 0，则（ ）
A. f (2)
1 1
2 B. f 2
4
C. f (x 1)是偶函数 D. f (x) x2是奇函数
11. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 : x2 y2 x2 y2 4 sin2 x cos2 y，则下列结论正确的是（ ）
A. 与 y轴无交点 B. 关于直线 y x对称
a 5
C. 若点 P在 上，则 |OP | 5 D. 若曲线 y 与 有公共点，则 a x 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分.
2
12. 已知平面向量a (2, 1)、b (6,k)，若 a (a b)，则实数 k ______________.
13. 记数列{an}的前 n项之积为Tn ，已知Tn 1 Tn 2n，且 a1 1，则 a6 ______________.
14. 已知函数 f (x) x3 mx2 2的三个零点从小到大依次成等差数列，则实数m ______________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
π 2π
15. 已知函数 f (x) 3 cos x 6
( 0)的最小正周期为 .
3
（1）求 f (x)图象的对称轴方程；
A
（2）在VABC 中， AC 8, △ABC的周长为 4AB，且 f 0，求 BC .
3
1 a
16. 在数列 a 中，a , n 1 an 1n 1 2 2n 2n 1 22n 1 .
（1）求 an 的通项公式；
n2
（2）若bn ，求数列 bn 的前 n项和 S .a nn
17. 已知圆C : (x a)2 y 2 r 2(a 4,r 0) ，过圆C内的点 A(4,0)的弦长的最大值为 4，最小值为 2 3 .
（1）求圆C的方程.
| PB |
（2）点 B是 x轴上异于点A的一个点，且对于圆C上任意一点 P, 为定值.
| PA |
（i）求点 B的坐标；
| PD |2 | PA |2
（ii）点D(7,4)，求 | PA |的最小值.
| PB | 2 | PD |
18. 已知函数 f (x) e x mx 2,m R .
（1）求曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2）若 f (x)有两个极值点，求m的取值范围；
（3）若m 0，实数 a，b 满足 f (a) f (a 1) f (a), f (b) f (b) f (b 1) ，试比较 f (a)和 f (b)
的大小.
3
19. 如图，将 EAB, ECB, ECD, EAD 四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形 ABCDE，其中
EA EC ,EB ED,AB BC CD DA .连接 AC,BD，过点 E作平面 ，满足 AC / / ,BD / / .
（1）证明： AC BD .
（2）若EA 2,EB AB 1，且 AC BD .
（i）求 AC 到平面 的距离与 BD 到平面 的距离的平方和；
（ii）求平面 AEB与平面 夹角的余弦值.
4数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. B.
2. A .
3. D
4. C .
5. A.
6. C.
7. D
8. B
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. AC
10. ABD.
11. BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15分.
12. 7.
31
13.
21
14. 3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
kπ π
15. （1） x (k Z)
3 18
（2） BC 7
n
16. 1） an 2n
（2） Sn (n 1) 2
n 1 2
1
17. （1） (x 5)2 y2 4
（2）（i） (1,0) 5；（ii）
2
18. （1） y x 1
e
（2） ,
2
（3） f (a) f (b)
19. （1）证明
取 AC 的中点M ，连接 BM，DM.
因为 AB BC,CD AD,M 为 AC 的中点，所以 BM AC,DM AC，
又因为 BM DM M ,BM ,DM 平面 BDM ，所以 AC 平面 BDM .
又因为 BD 平面 BDM ，所以 AC BD .
（2 3- 5）（i） 5 ；（ii）
2
（i）连接 EM，因为 EA EC，所以 EM AC ，由（1）知 AC 平面 BDM ，
则 E ,B,D,M 四点共面.
结合题意知△ABC △ADC，可得MB MD，
在四边形 EBMD 中， EB ED,MB MD，根据对称性，可知 EM 垂直平分 BD .
因为 AC / / ,BD / / ，所以在平面 内存在点 F，G，使得EF / /AC,EG / /BD，
则 EM EF ,EM EG ， EG EF E,EG,EF 平面 ，即得 EM 平面
如图，以 E为坐标原点， EF ,EG,EM 的方向分别为 x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
2
设 AC BD 2r，直线 AC 到平面 的距离为 h1,BD到平面 的距离为 h2 ，
则 A r,0,h1 ,B 0,r,h2 .
r 2 h21 2,
因为 EA 2,EB AB 1 2 2 ，所以 r h2 1,
2r 2 h1 h2
2 1,
h2 5 1,h2 5 1 3 5解得 21 2 2
,r ，
2 2
故 AC 到平面 的距离与 BD 到平面 的距离的平方和为 h2 21 h2 5 .
（ii）设平面 AEB的法向量为m (x, y, z)，而 EA r,0,h1 ,EB 0,r,h2 ，
m EA 0 rx h1z 0
则 ，即 ，取m h ,h , r .
m EB 0 ry h2z 0
1 2
设平面 AEB 与平面 的夹角为 ，取平面 的一个法向量为 n (0,0,1)，
3 5
则 | cos m,n |
r 2 3 5 ，
h21 h
2 r22 3 5 2
2
故平面 AEB 3- 5与平面 夹角的余弦值为
2
3
