课件37张PPT。 2010年夏季在德国举行的第十八届世界杯足球赛共有32支队伍参加。他们先分成八个小组进行循环赛，决出16强，这16强按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了三、四名。
问：一共安排了多少场比赛？思考？ 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？26+10=36问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析: 从甲地到乙地有3类方法,
第一类方法, 乘火车，有4种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 一、分类计数原理 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理说明N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。 用A,B,C,D,E,F这6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？思考？ 分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有6×9＝54个不同的号码。字母 数字 得到的号码
A1
2
3
4
5
6
7
8
9A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9树形图问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法,
第二步, 由B村去C村有2种方法,
所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法。二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理说明N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
例2、设某班有男三好学生5名，女三好学生4名。现要从中选出（1）一人代表去参赛，有几种不同选法？（2）男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3、惠州市的部分电话号码是0752210××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?0752210分析:分析:例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法? N＝4＋3+2＝9 N＝4 ×3×2＝24(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？课堂练习1、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？2、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？
3、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？
4、已知
则方程 可表示不同的圆的个数有多少？课堂练习5、已知二次函数 若
则可以得到多少个不同的二次函数？其中图象过原点的二次函数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限的二次函数又有多少个？联系区别一完成一件事情共有n类
办法，关键词是“分类”完成一件事情,共分n个
步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能独立完成
这件事情。每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能能独立完成
这件事情，缺少任何一步也
不能完成这件事情，只有每
个步骤完成了，才能完成这
件事情。
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于
完成一件事情的不同方法的种数的问题。
区别三各类办法是互斥的、
并列的、独立的各步之间是相关联的分类计数与分步计数原理的区别和联系：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少种不同地走法？课堂练习N1=2×3=6N2=4×2=8N= N1+N2 =14 2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类,
第一类, m1 = 3 条
第二类, m2 = 1 条
第三类, m3 = 2×2 = 4, 条
所以, 根据分类原理, 从A到B共有
N = 3 + 1 + 4 = 8
条不同的线路可通电。
在解题有时既要分类又要分步。课件12张PPT。1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有 种不同的方法.2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2区别3每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。即：类类独立，步步关联。例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 种 .（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５= 种 .例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解：首字符共有7+6＝13种不同的选法，答：最多可以给1053个程序命名。 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子
是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称
为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表
示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位
置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组
成，那么能有多少种不同的RNA分子？分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。……解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有种不同的RNA分子.例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？……如00000000，10000000，
11111111.例5.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组
成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，
以减少测试次数吗？分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3*2=6。
如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。这样，测试整个模块的次数就变为
172+6=178（次）2）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?课堂练习1、乘积
展开后共有几项？2、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？课件19张PPT。一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么?
解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧?练习：三个比赛项目，六人报名参加。
１）每人参加一项有多少种不同的方法？
２）每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？
３）每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字,
(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?
(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?
(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?升华发展一、排数字问题1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种引申:１号方格里可填２，３，４三个数字，有３种填法。１号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有３种填法，其余两个方格只有１种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。二、映射个数问题:例2 设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?三、染色问题:例3 有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在①②③④四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
(1)若n=6,为(1)着色时共有多少种方法?
(2)若为(2)着色时共有120种不同方法,求n
① ③ ①
④ ③ ④
② ②
(1) (2)
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
２、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数分别是 0、 4×3×2×2 = 48、 5×4×3×3 = 180种等。
思考：分析：如图，A、B、C三个区域两两相邻， A与D不相邻，因此A、B、C三个区域的颜色两两不同，A、D两个区域可以同色，也可以不同色，但D与B、C不同色。由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。解：先分成两类：第一类，D与A不同色，可分成四步完成。 第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C 有3种方法；第四步涂D有2种方法。根据分步计数原理， 共有5×4×3×2＝120种方法。 根据分类计数原理，共有120+60＝180种方法。 第二类，A、D同色，分三步完成，第一步涂A和D有5种方法，第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法。根据分步计数原理，共有5×4×3＝60种方法。４、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答） （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有 N1=4×3×2×2×1=48种；所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有 N2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共N3=4×3×2×1=24种 解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看 知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求6、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有 种（以数字作答）425、如图，是5个相同的正方形，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形，使每个正方形涂一种颜色，且相邻的正方形涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？四、子集问题规律：n元集合 的不同子集有个 。例：集合A={a,b,c,d,e},它的子集个数为 ，真子集个数为 ，非空子集个数为 ，非空真子集个数为
。五、综合问题: 例4 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?２、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于 75600=24×33×52×775600的每个约数都可以写成
的形式,其中 , , , 于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个. 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条
第三类, m3 = 1×2 = 2 条
所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（ ）对
A.12 B.24 C.36 D.48B 5.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。
