课件15张PPT。1.3.1二项式定理(一)( a + b ) 2 =思考:(a+b)4的展开式是什么? ( a + b ) 3 =复 习：次数:各项的次数等于二项式的次数项数:次数+1( a + b ) 2 =( a + b ) 3 =复 习：(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20对(a+b)2展开式的分析(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)．各项前的系数代表着什么？3)．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的系数为C40恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44则 (a+b)4 ＝
C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b43)．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4( a + b ) n=(a+b)n的展开式是：二项定理(a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，…，n；定理的证明二项式定理： n ∈ N *注:(1) 上式右边为二项展开式,
各项次数都等于二项式的次数(2) 展开式的项数为 n+1 项；(3) 字母a按降幂排列,次数由n递减到0
字母b按升幂排列,次数由0递增到n(4)二项式系数可写成组合数的形式,
组合数的下标为二项式的次数
组合数的上标由0递增到n(5) 展开式中的第 r + 1 项，
即通项 Tr+1 =__________；二项式定理： n ∈ N *(6) 二项式系数为 ______；项的系数为 二项式系数与数字系数的积在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：在上式中，令 x = 1，则有：例1、展开 2、展开3、求(x+a)12的展开式中的倒数第4项。4、(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数。(2)求(x－ )9的展开式中x3的系数。例2(1)求 的展开式常数项；
(2)求 的展开式的中间两项.练习
1.求（2a+3b）6的展开式的第3项.
?
?2.求（3b+2a）6的展开式的第3项.
?
3.写出 的展开式的第r+1项.
?
4.用二项式定理展开：
（1） ；
（2） .
5.化简：
（1） ；
?
（2） Thank you！课件7张PPT。1.3.1二项式定理(二)温故而知新1.(a+b)n的二项展开式 是_________.2.通项公式是 _______________. Tr+1 =5、在 展开式中的常数项
是__________例1、计算：
（1）
（2）例2、求 的展开式中的 系数。例3、求 展开式中的常数项。例5、(1)已知 的第5项的二项式系数与第3
项的二项式系数比为14：3，求展开式中不含x 的项。(2)已知 的展开式中，第5项的系数与
第3 项的系数比为56：3，求展开式中的常数项。例4、已知 展开式中第2项大于它的相邻两项，求x的范围。例6、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=_______
(2)a1+a3+a5+a7 =_________
(3)a0+a2+a4+a6 =_________赋值法练习:
(5)若已知
(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199 的值。例7、若 展开式中前三项系数成等差
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；1、已知 的展开式中x3的系数
为 ，则常数a的值是_______ 2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________课堂练习4.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.课件17张PPT。1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… …… ……二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点．二项式系数的性质2．二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式
得到．图象的对称轴：二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定． 二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时，二项式系数的性质（2）增减性与最大值 （3）各二项式系数的和 二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式． 一般地， 展开式的二项式系数
有如下性质： （1） （2） （3）当 时， （4） 当 时，课堂练习：
1）已知 ，那么 = ；
2） 的展开式中，二项式系数的最大值是 ；
3）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n= ； 例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 例3： 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。变式引申：
1、 的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若 展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于( )
A.210 B.120 C.461 D.416例4、若 展开式中前三项系数成等差
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。1、已知 的展开式中x3的系数
为 ，则常数a的值是_______ 2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（ ）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207课堂练习 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是__________
4.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.课件8张PPT。1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(二) 一般地， 展开式的二项式系数
有如下性质： （1） （2） （4）（对称性）例1、若 展开式中前三项系数成等差
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。练习： 的展开式中，无理项的个数是（ ）
A .83 B.84 C.85 D.86B例2、在 的展开式中，
1）系数的绝对值最大的项是第几项？
2）求二项式系数最大的项；
3）求系数最大的项；
4）求系数最小的项。练习： 余数是1，所以是星期六例4、今天是星期五，那么 天后的这一天是星期几？例5、求 精确到0.001的近似值。变式引申：填空
1） 除以7的余数是 ；
2） 除以8的余数是 。课堂练习：1. 等于 （ ）
A. B. C. D. 2．在 的展开式中x的系数为（ ）
A．160 B．240 C．360 D．8003.求的展开式中 项的系数.4．已知
那么 的展开式中含 项的系数是 . 5.求值：
