数学-黑龙江省鸡西一中2025-2026学年高一上学期第一次月考（PDF版，含解析）

市一中 2025-2026 学年度第一学期高一学年月考
数学学科试卷
注意事项：
时间：120 分钟 分值：150 分
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷
和答题卡相应位置上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
2
1. 不等式-x - 3x < -4的解集为（ ）
A. x -4 < x <1 B. x -1 < x < 4
C. x x < -4 或 x >1 D. x x < -1或 x > 4
2. 已知命题 p : "x > 2, x2 -1 0 ，则 p是（ ）
A. $x 2, x2 -1 > 0 B. $x 2, x2 -1 < 0
C. $x > 2, x2 -1< 0 D. "x 2, x2 -1 0
a a + m
3. 已知实数 a < b < 0，则“ m < 0 ”是“ > ”的（ ）
b b + m
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 a R, b R b 2，若集合{a, ,1} = {a , a + b, 0}，则 a2026 + b2025的值为（ ）
a
A. -2 B. 1 C. -1 D. 2
1
5. 已知 a >1，则 2a + 的最小值是（ ）
2a - 2
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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6. 若 a = x
2 + y2 ，b = 4 y - 5，则（ ）
A. a < b B. a b C. a > b D. a b
7. 已知 p 是 q 成立的必要条件，q 是 r 成立的充要条件，r 是 s 成立的充分条件，s 不是 q 成立的充分条
件，则下列说法正确的是（ ）
A. p 是 r 成立的充要条件 B. s 是 r 成立的必要不充分条件
C. p 是 s 成立的充分不必要条件 D. q 是 s 成立的必要不充分条件
8. 对于任意两个数 x, y(x, y N*) ，定义某种运算“ ×”如下：①当 x, y(x, y N*) 同为奇数或同为偶数
时， x × y = x + y；②当 x, y(x, y N*) 一奇一偶时， x × y = xy ，则集合 A = {(x, y) | x × y =10}的子集个
数是个（ ）
A. 214 B. 213 C. 211 D. 27
二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 若 a,b,c R 则下列命题不正确的是（ ）公众号：高一高二高三试卷
A. 若 a < b ，则 a + b > a - b B. 若 ac2 > bc2 ，则 a > b
a b , c d b + 1 bC. 若 > > ，那么 a + d > b + c D. 若 a > b > 0 ，则 <
a + 1 a
10. 下列命题为假命题的是（ ）
A. $x R, x2 +1 = 0 B. $x R, x + x < 0
C. "x 0, + , x +1 x +1 D. "x R, x2 Q
11. 用 card P 表示集合 P 中元素的个数，对于集合A 、 B ，定义 A* B = card A - card B ，若
A = x x2 + ax -1 = 0 ， B = x x2 - ax x2 + ax +1 = 0 ，且 A* B =1，则实数 a 的值可能为
（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
第Ⅱ卷（非选择题 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1+ x
12. 不等式 1的解集为______．
1- x
13. 某校高一四班学生 46 人，寒假参加体育训练，其中足球队 25 人，排球队 22 人，游泳队 24 人，足球排
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球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为
___________．
14. 已知 p : -1 x 2, q : 2m < x <1，若仅有一个整数使得“ p 不成立，且 q 成立”，则实数m 的取值范围
是___________．
四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 S = {x | x是小于9的正整数}， A = {3,4,5,6,7}， B = {3,5,7,8}．
（1）求 A B ， AU B ；
（2） ( S A) U B ．
16. 设全集为R ，集合 A = x x < -1或 x > 3 ，非空数集 B = x a -1< x < 2a + 3 .
（1）若 a =1，求 A B ；
（2）在① AU B = A；② AI B = B；③ R A I B = 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 a
的取值范围.
17. f x = ax2 - (1- 2a)x - 2 .
（1）若对任意的 x 都有 f x -x - 3成立，求 a 的范围；
（2）解关于 x 的不等式 f x < 0 .
18. 对于函数 y = ax2 + bx + c，已知 a > 0, b > 0，当 x = 2时， y = 2ab + c，
2 b
（1）若存在正实数 a 、b ，使不等式 t + 3t - a - > 0有解，求实数 t 的取值范围；
2
4b 16a
（2）求 + 的最小值．
b - 2 a -1
19. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD和
EFGH 构成的面积为 200m2 的十字形地域．计划在正方形 MNPQ上建一座花坛，造价为 4200 元/m2；在
四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）
上铺草坪，造价为 80 元/m2．
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（1）设 AD 长为 x 米，总造价为S元，试建立S关于 x 的函数关系式；
（2）问：当 x 为何值时S最小，并求出这个最小值；
（3）若总造价S不超过 138000 元，求 AD 长 x 的取值范围．
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市一中 2025-2026 学年度第一学期高一学年月考
数学学科试卷
注意事项：
时间：120 分钟 分值：150 分
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷
和答题卡相应位置上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
2
1. 不等式-x - 3x < -4的解集为（ ）
A. x -4 < x <1 B. x -1 < x < 4
C. x x < -4 或 x >1 D. x x < -1或 x > 4
【答案】C
【解析】
【分析】把原不等式两边同时乘以-1，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集．
【详解】由-x2 - 3x < -4得 x2 + 3x - 4 > 0 ，即 x + 4 x -1 > 0 ，解得 x<- 4或 x >1，
所以不等式-x2 - 3x < -4的解集为 x x < -4 或 x >1 ．
故选：C
2. 已知命题 p : "x > 2, x2 -1 0 ，则 p是（ ）
A. $x 2, x2 -1 > 0 B. $x 2, x2 -1 < 0
C. $x > 2, x2 -1< 0 D. "x 2, x2 -1 0
【答案】C
【解析】
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【分析】把任意改成存在，把结论否定即可.
【详解】 p是“ $x > 2, x2 -1< 0 ”.
故选：C
a a + m
3. 已知实数 a < b < 0，则“ m < 0 ”是“ > ”的（ ）
b b + m
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由作差法结合不等式的性质即可判断.
a a + m a + m a b - a m
【详解】不等式 > ，等价于 - = < 0，
b b + m b + m b b + m b
b - a m
因为 a < b ，所以b - a > 0，显然m < 0，得出 < 0 b + m ；b
b - a m
< 0
，得m < 0或m > -b，未必m < 0 .b + m b
故选：A.
a R, b R {a, b4. 已知 ，若集合 ,1} = {a2 , a + b, 0}，则 a2026 + b2025的值为（ ）
a
A. -2 B. 1 C. -1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用集合相等的意义，结合集合元素的互异性求出 a,b，进而求出目标值.
b 2
【详解】由集合{a, ,1} = {a , a + b, 0}，得 a 1,a 0，有
a a a
2 ，
ìa = a + b
b
则 í = 0 ，因此 a = -1,b = 0 ，所以 a2026 + b2025 = (-1)2026 + 02025 =1 .
a
a2 =1
故选：B
1
5. 已知 a >1，则 2a + 的最小值是（ ）
2a - 2
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A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可得.
【详解】因为 a >1，所以 a -1 > 0，
2a 1 2 a 1 1所以 + = - + + 2 2 2 a 1-1 × + 2 = 4，
2a - 2 2 a -1 2 a -1
2 a 1-1 = a 3当且仅当 2 a -1 ，即 = 时取等号，2
所以 2a 1+ 的最小值是 4 .
2a - 2
故选：B
6. 若 a = x2 + y2 ，b = 4 y - 5，则（ ）
A. a < b B. a b C. a > b D. a b
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法可得出 a,b的大小关系．
2
【详解】因为 a - b = x2 + y2 - 4 y - 5 = x2 + y2 - 4 y + 5 = x2 + y - 2 +1 > 0，所以 a > b ．
故选：C.
7. 已知 p 是 q 成立的必要条件，q 是 r 成立的充要条件，r 是 s 成立的充分条件，s 不是 q 成立的充分条
件，则下列说法正确的是（ ）
A. p 是 r 成立的充要条件 B. s 是 r 成立的必要不充分条件
C. p 是 s 成立的充分不必要条件 D. q 是 s 成立的必要不充分条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题给条件得出 q p,q r, r s, s q，据此对各选项进行逐一判断.
【详解】依题意得 q p,q r, r s, s q .
由 q p,q r 得 r p ，但 p 不一定能推出 r，充分性不一定满足，故 A 错.
由 q r, s q 得 s r ，又 r s ，所以 s 是 r 成立的必要不充分条件，故 B 对.
由 q p,q r 得 r p ，又 r s，无法建立 p 与 s 的确切关联，即 p 不一定能推出 s，s 不一定能推
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出 p，故 C 错；
因为 q r, r s ，所以 q s ，又 s q，所以 q 是 s 成立的充分不必要条件，故 D 错.
故选：B.
8. 对于任意两个数 x, y(x, y N*) ，定义某种运算“ ×”如下：①当 x, y(x, y N*) 同为奇数或同为偶数
时， x × y = x + y；②当 x, y(x, y N*) 一奇一偶时， x × y = xy ，则集合 A = {(x, y) | x × y =10}的子集个
数是个（ ）
A. 214 B. 213 C. 211 D. 27
【答案】B
【解析】
【分析】由新定义，列举计算即可；
【详解】当 x,y 都是偶数或都是奇数时， x+y=10
ì x=1 ì x=3 ìx=5 ìx=7 ìx=9 ìx=2 ìx=4 ìx=6 ìx=8
则 í 或 或 或 或 或 或 或 或 ；
y=9
í
y=7
í
y=5
í
y=3
í í í í
y=1 y=8 y=6 y=4
í
y=2
ìx=2 ìx=10
当 x 是偶数， y 是奇数时， xy =10， í 或 ；
y=5
í
y=1
y ìx=5 ì x=1当 x 是奇数， 是偶数时， xy =10， í 或 ；
y=2
í
y=10
\集合A 中含有13个元素，它的子集个数为 213，
故选：B
二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 若 a,b,c R 则下列命题不正确的是（ ）
A. 若 a < b ，则 a + b > a - b B. 若 ac2 > bc2 ，则 a > b
C. 若 a > b , c > d ，那么 a + d > b c a b b + 1 b+ D. 若 > > 0 ，则 <
a + 1 a
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误.
【详解】取 a = -2,b = -1，有 a + b < a - b，A 错误；
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因为 ac2 > bc2 ，所以 c 0，所以 c2 > 0，所以 a > b ，B 正确；
取 a = 4,b = 2,c = 3,d = 0 ，显然 a + d < b + c ，C 错误；
b +1 b ab + a - ab - b a - b a - b b +1 b
因为 - = = ,a > b > 0 > 0a +1 a a a +1 a a +1 ，所以 a a >+1 ，即 ，D 错误．a +1 a
故选：ACD
10. 下列命题为假命题的是（ ）
A. $x R, x2 +1 = 0 B. $x R, x + x < 0
C. "x 0, + , x +1 x +1 D. "x R, x2 Q
【答案】ABD
【解析】
2
【分析】由 x2 +1 = 0无实数解判断 A；可得 x + x 0判断 B；利用 x +1- x +1 0判断 C；利用
x2 = x 可判断 D.
【详解】选项 A：因为 x2 +1 = 0无实数解，所以命题$x R, x2 +1 = 0为假命题，故 A 符合题意；
选项 B：当 x 0 时， x + x = x + x = 2x 0 ，
当 x < 0 时， x + x = -x + x = 0 = 0，故 x + x 0，
即命题$x R, x + x < 0为假命题，故 B 符合题意；
2
选项 C：当 x 0 时，因为 x +1- x +1 = x +1- x - 2 x -1 = -2 x 0，
2
所以 x +1 x +1 ，即 x +1 x +1，
故命题"x 0, + , x +1 x +1 为真命题，故 C 不符合题意；
选项 D： x2 = x ，因为 x R ，所以 x 不一定为有理数，
故命题"x R, x2 Q 为假命题，故 D 符合题意.
故选：ABD.
11. 用 card P 表示集合 P 中元素的个数，对于集合A 、 B ，定义 A* B = card A - card B ，若
A = x x2 + ax -1 = 0 2， B = x x - ax x2 + ax +1 = 0 ，且 A* B =1，则实数 a 的值可能为
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（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析可知， card B =1或 card B = 3，对集合 B 的元素个数进行分类讨论，利用根与系数的关
系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可.
【详解】对 x2 + ax -1 = 0，有D1 = a
2 + 4 > 0，
故 card A = 2，则 card B =1或 card B = 3，
当 card B =1 2 2时，由 x - ax x + ax +1 = x x - a x2 + ax +1 = 0，
故0 B ，则有0 - a = 0，即 a = 0 ，
2 2
此时 B = x x x +1 = 0 = 0 ，符合要求；
当 card B = 3时，则 a 0，故 0, a B ，
对于 x2 + ax +1 = 0 ，若D2 = a
2 - 4 = 0，解得 a = ±2 ，
① 当 a = 2时， x2 + ax +1 = x2 + 2x +1 = 0，解得 x = -1，
此时 B = -1,0,2 ，符合要求；
② 当 a = -2 时， x2 + ax +1 = x2 - 2x +1 = 0，解得 x =1，
此时 B = 0,1,2 ，符合要求.
D = a2若 2 - 4 > 0，则 x2 + ax +1 = 0 有一根属于 0, a ，另一根不属于 0, a ，
当 x = 0 时，有0 + 0 +1 =1 0，故0 不是 x2 + ax +1 = 0 的根，
当 x = a时，有 a2 + a2 +1 = 2a&2 +1 > 0 ，故 a 不是 x2 + ax +1 = 0 的根，
故D2 > 0时，不合题意；
综上所述，实数 a 的值可能为0 或±2．
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析得出 card B =1或 card B = 3，对集合 B 的元素个数进行
讨论，在求出参数后一定要注意进行检验.
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第Ⅱ卷（非选择题 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1+ x
12. 不等式 1的解集为______．
1- x
【答案】{x | 0 x <1}
【解析】
【分析】将分式不等式化成和它等价的整式形式，求解即可.
Q1+ x 1 2x【详解】 即 0
1- x 1- x
ì2x 1- x 0
原不等式可化为 í ，
1- x 0
解得{x | 0 x <1}.
故答案为：{x | 0 x <1}
13. 某校高一四班学生 46 人，寒假参加体育训练，其中足球队 25 人，排球队 22 人，游泳队 24 人，足球排
球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为
___________．
【答案】 4
【解析】
【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可.
【详解】设集合 A = 参加足球队的学生 ，
集合 B = 参加排球队的学生 ，
集合C = 参加游泳队的学生 ，
则 card A = 25， card B = 22， card C = 24，
card(AI B) =12， card(AIC) = 9 ， card(B IC) = 8，
设三项都参加的有 x 人，即 card(AI B IC) = x ， card(AU B UC) = 46 ，
所以由
card(AU B UC) = cardA + cardB + cardC - card(AI B) - card(B IC) - card(AIC) + card(AI B IC)
即 46 = 25 + 22 + 24 -12 -8 - 9 + x ，
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解得 x = 4 .
故答案为： 4 .
14. 已知 p : -1 x 2, q : 2m < x <1，若仅有一个整数使得“ p 不成立，且 q 成立”，则实数m 的取值范围
是___________．
3
【答案】- m < -1
2
【解析】
【分析】先求出{x | -1 x 2}的补集，由题设该补集与{x | 2m < x <1}的交集有且仅有一个整数解，故可
求参数的范围.
【详解】 p 不成立时 x < -1或 x > 2，
由题设{x | x < -1或 x > 2}与{x | 2m < x <1}的交集有且仅有一个整数解，
3
故-3 2m < -2即- m < -1，
2
3
故答案为：- m < -1.
2
四、解答题：（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 S = {x | x是小于9的正整数}， A = {3,4,5,6,7}， B = {3,5,7,8}．
（1）求 A B ， AU B ；
（2） ( S A) U B ．
【答案】（1） AI B = {3,5,7}， AU B = {3,4,5,6,7,8}
（2） ( S A) U B = {1,2,3,5,7,8}
【解析】
【分析】（1）利用集合的交集和并集定义即可得到结果.
（2）利用即可的补集和并集定义即可得到结果.
【小问 1 详解】
A = {3,4,5,6,7}， B = {3,5,7,8}
\ AI B = {3,5,7}，\ AU B = {3,4,5,6,7,8}
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【小问 2 详解】
S = {1,2,3,4,5,6,7,8}， A = {3,4,5,6,7}
( S A) U B = {1,2,8}U{3,5,7,8} = {1,2,3,5,7,8}
16. 设全集为 R ，集合 A = x x < -1或 x > 3 ，非空数集 B = x a -1< x < 2a + 3 .
（1）若 a =1，求 A B ；
（2）在① AU B = A；② AI B = B；③ R A I B = 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 a
的取值范围.
【答案】（1） 3,5 ；
（2） -4, -2 4,+ .
【解析】
【分析】（1）确定 B = 0,5 ，再计算交集得到答案.
（2）确定三个条件均等价于 B A，根据 B 得到 a > -4 ，再根据 B A得到 2a + 3 -1或
a -1 3，计算得到答案.
【小问 1 详解】
a =1时， B = 0,5 ， A = x x < -1或 x > 3 ， AI B = 3,5 .
【小问 2 详解】
若选项①， AU B = A，则 B A；
若选择②， AI B = B，则 B A；
若选择③， R A I B = ，则 B A .
三个条件均等价于 B A，
B ，则 a -1 < 2a + 3 ，解得 a > -4 ，
B A，则 2a + 3 -1或 a -1 3，解得 a -2或 a 4
综上所述：实数 a 的取值范围是 -4, -2 4,+ .
17. f x = ax2 - (1- 2a)x - 2 .
（1）若对任意的 x 都有 f x -x - 3成立，求 a 的范围；
（2）解关于 x 的不等式 f x < 0 .
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【答案】（1）0 a 1
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）就 a = 0 、 a 0分类讨论，后者再结合判别式可求 a 的范围；
1 1 1
（2）就 a = 0 、 a > 0、 a < - 、 a = - 及- < a < 0 分类讨论后可得不等式的解集.
2 2 2
【小问 1 详解】
f x -x - 3即为 ax2 + 2ax +1 0，
若 a = 0 ，则1 0恒成立；若 a 0，则 4a2 - 4a 0，即0 < a 1，
故0 a 1
【小问 2 详解】
f x < 0 2即为 ax - (1- 2a)x - 2 < 0 即 ax -1 x + 2 < 0 ，
①当 a = 0 时，-x - 2 < 0，即解集为 -2, + ，
(x + 2)(ax -1) = 0 x 2, x 1②当 a 0时，令 得， 1 = - 2 = a
1 ì 1 ü
(i)当 a > 0时， > 0，开口向上，此时不等式的解集为 íx | -2 < x < ；a a


(ii)当 a
1 1
= - 时，-2 = ，开口向下，此时不等式的解集为 x | x -2 ；
2 a
1 1 1 ü
(iii)当 a < - 时，-2 < < 0，开口向下， 此时不等式的解集为 x | x < -2 或 x > ；
2 a a
1 1 ì 1
(iiii)当- < a < 0 时， < -2，开口向下，此时不等式的解集为 x | x < 或 x > -2 .
2 a í a
综上所述，当 a = 0 时，解集为{x | x > -2}；
1
当 a > 0 ì时，解集为 íx | -2 < x <
ü
；
a


当 a 1< - 时，解集为{x | x < -2 1或 x > } ;
2 a
当 a
1
= - 时，解集为{x | x -2} ;
2
1 1
当- < a < 0 ì时，
2 í
x | x < 或 x > -2} .
a
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18. 对于函数 y = ax2 + bx + c，已知 a > 0, b > 0，当 x = 2时， y = 2ab + c，
b
（1 2）若存在正实数 a 、b ，使不等式 t + 3t - a - > 0有解，求实数 t 的取值范围；
2
4b 16a
（2）求 + 的最小值．
b - 2 a -1
【答案】（1） - , -4 1,+
（2）36
【解析】
b
【分析】（1）存在性问题转化为最值问题，先由“1”的代换求 a - 的最小值，再求解 t 的二次不等式；
2
4b 16a
（2）由已知得 b - 2 a -1 = 2，将 + 转化为 4 a + 2b ，再由“1”的代换求最小值.
b - 2 a -1
【小问 1 详解】
当 x = 2时， y = 4a + 2b + c ，又 y = 2ab + c，
2 1
所以 4a + 2b = 2ab，即 2a + b = ab ，所以 + =1.
b a
a b a b 2 1 2a 1 1 b 2a b所以 + = + ÷ + ÷ = + + + 2 · + 2 = 4 ，2 è 2 è b a b 2a b 2a
当且仅当b = 2a ，即 a = 2,b = 4时取等号.
2 b 2 b
所以若存在正实数 a 、b ， t + 3t - a - > 0 有解，即 t + 3t > a + ÷ = 4，2 è 2 min
所以 t 2 + 3t - 4 > 0 ，解得 t < -4 或 t >1，
即实数 t 的取值范围是 - , -4 1,+ .
【小问 2 详解】
由（1） 2a + b = ab ，即 a -1 b - 2 = 2，
4b 16a 4 b - 2 + 8 16 a -1 +16
所以 + = + = 20 8 16+ +
b - 2 a -1 b - 2 a -1 b - 2 a -1
20 8a -8 +16b - 32= + = 20 + 4 a + 2b - 5 = 4 a + 2b
b - 2 a -1
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= 4 a 2b 1 2 2b 2a 2b 2a+ +
= 4 1+ 4 + +
a b ÷ a b ÷
20 + 8 · = 36 ，
è è a b
当且仅当 a = b = 3时取等号.
4b 16a
故 + 的最小值是36.
b - 2 a -1
19. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD和
EFGH 构成的面积为 200m2 的十字形地域．计划在正方形 MNPQ上建一座花坛，造价为 4200 元/m2；在
四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 210 元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）
上铺草坪，造价为 80 元/m2．
（1）设 AD 长为 x 米，总造价为S元，试建立S关于 x 的函数关系式；
（2）问：当 x 为何值时S最小，并求出这个最小值；
（3）若总造价S不超过 138000 元，求 AD 长 x 的取值范围．
【答案】（1） S = 4000x2 38000 400000+ + 2 ， 0 < x <10 2x ；
（2）当 x = 10 时， Smin =118000；
（3）[ 5, 2 5] .
【解析】
【分析】（1）设 DQ = y ，根据十字形地域的面积得出 x, y 的关系式，并用 x 表示 y ，将花坛、地坪、草
坪的造价相加，求得总造价，并求得 x 的取值范围；
（2）利用基本不等式求得S的最小值，并求得此时对应的 x 的值；
（3）根据不等式求解可求得 x 的取值范围.
【小问 1 详解】
设 DQ = y ，因为两个相同的矩形 ABCD和 EFGH 构成的面积为200m2 ，
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所以可得 4xy + x2 = 200 50 x，解得 y = - ，且 y > 0
x 4
2
所以 DQ
50 x
= - ， 0 < x <10 2 S 1 DQ2 1 50 x= = - ，x 4 VDQH 2 2 x 4 ÷ ，è
ADQM xy x 50 x= - x
2
矩形 的面积为 ÷ = 50 - ，正方形MNPQ为 x2，
è x 4 4
2 2
所以 S = 4200x2 + 4 50
x
- 210 + 4 1 50 x-
4 ÷ 2 x 4 ÷
80
è è
= 4200x2 + 42000 - 210x2 400000+ 2 - 4000 +10x
2
x
= 4000x2 38000 400000+ + 2 ， 0 < x <10 2x ；
【小问 2 详解】
S 38000 4000x2 400000因为 = + + 2 38000 + 2 16 10
8 =118000，
x
2 400000
当且仅当 4000x = 2 ，即 x = 10 时， Smin =118000（元）x
故当 AD = 10 ，即 x = 10 时，总造价S最小.
【小问 3 详解】
由（1）知 S = 4000x2 + 38000
400000
+
x2
， 0 < x <10 2 ，
400000
若总造价不超过 138000 元，即 S = 4000x2 + 38000 +
x2
138000
2 100
化简可得 x + 25 x4 - 25x22 ，即 +100 = x2 - 20 x2 - 5 0 ，x
解之可得 5 x 2 5 ，所以 x 的取值范围[ 5, 2 5] .
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