数学-湖北省襄阳市荆楚联盟2025-2026学年高二上学期9月联考（PDF版，含解析）

高二九月月考
数学试卷
考试时间：2025 年 9 月 23 日下午 14:30—16:30 试卷满分：150 分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚．
2．选择题答案用 2B 铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用 0.5mm 的黑色
签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效．
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. （福建省福州 2018 届高三质检）规定：投掷飞镖 3 次为一轮，若 3 次中至少两次投中 8 环以上为优秀.
4
根据以往经验，某选手投掷一次命中 8 环以上的概率为 5 .现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优
秀的概率： 用计算机产生 0 到 9 之间的随机整数，用 0,1 表示该次投掷未在 8 环以上，用 2,3,4,5,6,7,8,9
表示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
031 257 393 527 556 488 730 113 537 989
据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为
4 18
A. B.
5 20
112 17
C. D.
125 20
r r r r r r r r r
2. 设 x 、 y R ，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 3,-6,3 且 a ^ c ，b / /c ，则 a + b = （ ）
A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 3
3. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和 B ，系统A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为
1
和 p ，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于
8
79
安全防范状态的概率不低于 ，则 p 的最大值为（ ）
80
1 2 1 1
A. B. C. D.
10 15 6 5
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uuur
4. 已知 A 2,1,3 ， B 1,3,4 ，C 4, -1,3 uuur，则 AB 在 AC 方向上的投影向量的坐标为（ ）
3 3 3 3
A. 2, -2,0 B. ,- ,0÷ C. -1,2,1 D. - , ,0÷
è 2 2 è 2 2
r r r
5. 若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
A. b + c,b,b - c B. a, a + b,a - b C. a + b,a - b,c D. a + b, a + b + c,c
r r r r
6. 已知向量 ar,b r r是平面a 内两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l上，则“ c × a = 0，且 c ×b = 0 ”
是“ l ^ a ”的（ ）公众号：高一高二高三试卷
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，若点 E 是线段 AB 的中点，点 M 是底面 ABCD 内的动点，
且满足 A1M ^ C1E ，则线段 AM 的长的最小值为（ ）
A. 5 B. 2 5 C. 1 D. 5
5 5 2
8. 空间直角坐标系O - xyz 中，经过点 P x0 , y , z
r
0 0 ，且法向量为m = (A, B,C) 的平面方程为
A x - x0 + B y
r
- y0 + C z - z0 = 0，经过点 P x0 , y0 , z0 且一个方向向量为 n = (m,v,w)(mvw 0)
x - x0 y - y0 z - z0
的直线 l的方程为 = = ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面a 的方程为
m v w
3x - 5y + z - 7 = 0 x y z，经过 (0,0,0) 的直线 l的方程为 = = ，则直线 l与平面a 所成角的正弦值为
3 2 -1
（ ）
A. 10 B. 10 C. 10 D. 5
10 35 5 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红色球（标号为 1 和 2），2 个白色球（标号为 3
和 4），从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球．设事件 A = “两个球颜色不同”， B = “两个球标号的和为奇
数”，C = “两个球标号都不小于 2”，则（ ）
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A. A 与 B 互斥 B. A 与 C 相互独立
C. P AB + P AC = P A D. P ABC = P A P B P C
10. 下列说法正确的是 （ ）
er 1,0,3 nr 2,0, 2 A. 若直线 l 的方向向量为 = ，平面 α 的法向量为 = - ÷，则 l∥α
è 3
uuur
OP 1
uuur 3 uuur uuur
B. 对空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，若 = - OA + OB
7
+ OC，则 P，A，B，C 四点共
4 8 8
面
C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
ar
r
rD. 已知 = 1,1,x ，b = 3,x,9 r 3，若 a 与b 的夹角为钝角，则 x < -
10
11. 如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 BD1 ^平面 A1C1D
B. 三棱锥 P - A1C1D 的体积为定值
é π π ù
C. 异面直线 AP 与 A1D所成角的取值范围是 ê , 4 2 ú
D. 直线C 61P与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上， B ，C ， D 三人随机坐到其他三个位置上，则C
与 D 相邻的概率为___________.
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13. 已知事件A 与 B 相互独立， P A = 0.6， P AB = 0.42，则 P A + B = ______．
14. 如图，正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，且它们所在的平面所成的二面角 D - AB - F 的大
小是 60° ，M，N 分别是 AC，BF 上的动点，且 BN = 2AM ，则 MN 的最小值是__________
第Ⅱ卷
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某校对高一年级 800 名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下：
男同学 女同学
满意 400 350
不满意 20 30
（1）从这 800 名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率；
（2）该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取 5 人进行进
一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这 5 人中随机选出 2 人发一份小礼品，求这 2 人恰好是一男一
女的概率．
uuur
16. 如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为1的正方形， AA1 = 2 ，设 AB
r
= a ，
uuur r uuur r
AD = b ， AA1 = c
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r r r uuur uuuur
（1）试用 a ，b ， c 表示向量 AC 、 BD1 ；
uuur
（2）若 A1AD A
uuuur
= 1AB =120° ，求向量 AC 与 BD1 所成的角的余弦值.
17. 如图，在四棱锥 S - ABCD 中，VABS 是正三角形，四边形 ABCD是菱形， AB = 4， ABC =120o ，点
E 是 BS 的中点．
（1）求证： SD / / 平面 ACE ；
（2）若平面 ABS ^平面 ABCD，求点 E 到平面 ASD 的距离．
18. 为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题
目，一次回答一道题目.规则如下：
①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题.
②回答正确者得 10 分，另一人得 0 分；回答错误者得 0 分，另一人得 5 分.
③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.
3 1
已知甲答对每道题目的概率为 ，乙答对每道题目的概率为 ，且两人每道题目是否回答正确相互独立.
5 2
（1）求乙同学最终得 10 分的概率；
（2）记 X 为甲同学的最终得分，求 X 10 的概率.
π
19. 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^平面 BB1C1C ，已知 BCC1 = ， BC = 1， AB = C1C = 2 ，3
点 E 是棱CC1的中点．
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（1）求证：C1B ^ 平面 ABC ；
（2）求平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的余弦值；
3 2 11（ ）在棱CA 上是否存在一点M ，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为 ？若存在，求出
11
CM
的值；若不存在，请说明理由．
CA
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高二九月月考
数学试卷
考试时间：2025 年 9 月 23 日下午 14:30—16:30 试卷满分：150 分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚．
2．选择题答案用 2B 铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用 0.5mm 的黑色
签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效．
第Ⅰ卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. （福建省福州 2018 届高三质检）规定：投掷飞镖 3 次为一轮，若 3 次中至少两次投中 8 环以上为优秀.
4
根据以往经验，某选手投掷一次命中 8 环以上的概率为 5 .现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀
的概率： 用计算机产生 0 到 9 之间的随机整数，用 0,1 表示该次投掷未在 8 环以上，用 2,3,4,5,6,7,8,9 表
示该次投掷在 8 环以上，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
031 257 393 527 556 488 730 113 537 989
据此估计，该选手投掷 1 轮，可以拿到优秀的概率为
4 18
A. B.
5 20
112 17
C. D.
125 20
【答案】D
【解析】
【详解】由所给数据可知， 20 组数据中有3 组 191，031，113 不是优秀，其余17 组是优秀，所以可以拿
17
到优秀的概率为 ，故选 D．
20
r r r r r r r r r
2. 设 x 、 y R ，向量 a = x,1,1 ，b = 1, y,1 ， c = 3,-6,3 且 a ^ c ，b / /c ，则 a + b = （ ）
A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 3
【答案】D
【解析】
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【分析】利用向量共线、垂直的坐标表示求出 x, y ，再利用向量的坐标运算求出模.
r r r r r
【详解】由 a ^ c ，得 a ×c = 3x - 6 + 3 = 0，解得 x =1，即 a = 1,1,1 ，
r r 1 y r r r
由b / /c ，得 = ，解得 y = -2，即b = 1, -2,1 ，因此 a + b = 2, -1,2 ，3 -6
r r
所以 a + b = 4 +1+ 4 = 3 .
故选：D
3. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和 B ，系统A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为
1
和 p ，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态.若要求小区在任意时刻均处于
8
79
安全防范状态的概率不低于 ，则 p 的最大值为（ ）
80
1 2 1 1
A. B. C. D.
10 15 6 5
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：根据独立事件的乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；方法二：根据独立事件的乘法公
式和对立事件概率公式求解.
【详解】设系统A 和系统 B 在任意时刻发生故障的事件分别为 M 和 N.
方法一：小区处于安全防范状态的概率为
P M N + M N + M N 1 1 1 79= 1- ÷ p + 1- p + 1- ÷ 1- p ，
è 8 8 è 8 80
1 1
解得 p ，故 p 的最大值为 .
10 10
故选：A.
1 79 1
方法二：小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率为1- P MN =1- p ，解得 p ，故 p 的
8 80 10
1
最大值为 .
10
故选：A.
4. 已知 A 2,1,3 ， B 1,3,4 ，C uuur4, -1,3 uuur，则 AB 在 AC 方向上的投影向量的坐标为（ ）
3 3 3 3
A. 2, -2,0 B. ,- ,0÷ C. -1,2,1 D. - , ,0
è 2 2 2 2 ÷ è
【答案】D
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【解析】
uuur uuur
【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求 AB 在 AC 方向上的投影向量即可.
uuur uuur
【详解】由题设， AB = (-1,2,1) ， AC = (2,-2,0)，
uuur uuur uuur
uuur uuur AB × AC AC -6 3 3
AB 在 AC 方向上的投影向量为 uuur × uuur = × (2,-2,0) = (- , ,0) .
| AC | | AC | 8 2 2
故选：D
r r r
5. 若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r
A. b + c,b,b - c B. a, a + b,a - b C. a + b,a - b,c D. a + b, a + b + c,c
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可.
r r r r r r
【详解】因为{a,b,c}构成空间的一个基底，所以 a,b,c 不共面，
r 1 r r 1 r r r r r r r对于 A，因为b = b + c + b - c ，所以b + c,b,b - c 共面，故 A 错误；2 2
r 1 r r 1 r r r r r r r对于 B，因为 a = a + b + a - b ，所以 a, a + b,a - b共面，故 B 错误；2 2
r r r r r ì1 = l r r r r r
对于 C，设 a + b = l a - b + mc ，则 í1 = -l ，方程组无解，所以a + b,a - b,c 不共面，故 C 正确；

0 = m
r r r r r r r r r r r r对于 D，因为 c = a + b + c - a + b ，所以 a + b, a + b + c,c 共面，故 D 错误；
故选：C.
r r r r
6. ar已知向量 ,b r r是平面a 内两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l上，则“ c × a = 0，且 c ×b = 0 ”
是“ l ^ a ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案.
r r r r r r r r
【详解】若 c × a = 0，且 c ×b = 0，则 c ^ a ， c ^ b ，
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r r
由于向量 a,b r所在的直线不一定相交，非零向量 c 所在的直线为 l，
所以不一定能得到 l ^ a ；
r r r
若 l ^ a ，非零向量 c 所在的直线为 l，向量 a,b 是平面a 内两个不相等的非零向量，
cr ^ ar cr
r r r r r
则 ， ^ b ，可得 c × a = 0， c ×b = 0 .
r r r
综上所述，“ c × a = 0 r，且 c ×b = 0 ”是“ l ^ a ”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，若点 E 是线段 AB 的中点，点 M 是底面 ABCD 内的动点，
且满足 A1M ^ C1E ，则线段 AM 的长的最小值为（ ）
A. 5 B. 2 5 C. 1 D. 5
5 5 2
【答案】B
【解析】
【分析】以点A 为原点建立空间直角坐标系，由 A1M ^ C1E 可得点M 的轨迹方程，从而由平面知识即可
求出线段 AM 的长的最小值．
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设 A1 0,0,1 ，C
1
1 1,1,1 ， E ,0,0÷ ，M x, y,0 ，
è 2
uuuur uuuur 1
所以 A1M = x, y,-1 ,C1E =

- ,-1,-1

÷，由 A1M ^ C
1
1E 可得- x - y +1 = 0，即 x + 2y - 2 = 0，所
è 2 2
2 2 5
以线段 AM 的长的最小值为 = ．
12 + 22 5
故选：B．
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8. 空间直角坐标系O - xyz
r
中，经过点 P x0 , y0 , z0 ，且法向量为m = (A, B,C) 的平面方程为
A x - x0 + B y - y0 + C z - z0 = 0，经过点 P x0 , y0 , z
r
0 且一个方向向量为 n = (m,v,w)(mvw 0)
x - x0 y - y0 z - z0
的直线 l的方程为 = = ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面a 的方程为
m v w
3x - 5y + z - 7 = 0，经过 (0,0,0)
x y z
的直线 l的方程为 = = ，则直线 l与平面a 所成角的正弦值为
3 2 -1
（ ）
A. 10 B. 10 C. 10 D. 5
10 35 5 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线 l与平面a 所成角
的正弦值.
r
【详解】因为平面a 的方程为3x - 5y + z - 7 = 0，故其法向量为 n = 3,-5,1 ，
x y z r
因为直线 l的方程为 = = ，故其方向向量为m = 3,2,-1 ，
3 2 -1
r r
故直线 l与平面a 所成角的正弦值为 cos n
r,mr n × m 9 -10 -1 2 10= r r = = = .n × m 35 14 7 10 35
故选：B.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红色球（标号为 1 和 2），2 个白色球（标号为 3
和 4），从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球．设事件 A = “两个球颜色不同”， B = “两个球标号的和为奇
数”，C = “两个球标号都不小于 2”，则（ ）
A. A 与 B 互斥 B. A 与 C 相互独立
C. P AB + P AC = P A D. P ABC = P A P B P C
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析 A，由相互独立事件的定义分析 B，由古典概型的计算公式分析
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C、D，综合可得答案．
【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球，则
Ω= 1，2 、 1，3 、 1，4 、 2，3 、 2，4 、 3，4 ，
A= 1，3 、 1，4 、 2，3 、 2，4 ，B= 1，2 、 1，4 、 2，3 、 3，4 ，
C= 2，3 、 2，4 、 3，4 ，
AB= 1，4 、 2，3 ，AC= 2，3 、 2，4 ，BC= 2，3 、 3，4 ，
ABC= 2，3 ，
所以有 P A 4 2 P B 4 2 P C 3 1= = ， = = ， = = ，
6 3 6 3 6 2
P AB 2 1= = ，P AC 2 1 P ABC 1= = ， = ，
6 3 6 3 6
对于 A， AB= 1，4 、 2，3 ，事件 A、B 可以同时发生，则 A、B 不互斥，A 错误；
对于 B， P A P C =P AC ，A、C 相互独立，B 正确；
对于 C， P AB +P AC =P A ，C 正确；
对于 D， P ABC P A P B P C ，D 错误．
故选：BC．
10. 下列说法正确的是 （ ）
r r 2
A. 若直线 l 的方向向量为 e = 1,0,3 ，平面 α 的法向量为 n = -2,0, ÷，则 l∥α
è 3
uuur 1 uuur 3 uuur 7 uuur
B. 对空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，若 OP = - OA + OB + OC，则 P，A，B，C 四点共
4 8 8
面
C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
r r
D. 已知 ar = 1,1,x ，b 3= 3,x,9 ，若 ar 与b 的夹角为钝角，则 x < -
10
【答案】BCD
【解析】
r r
【分析】根据空间向量的有关定义及其结论，可判断 BCD 项；根据已知得出 e × n = 0，即可判断 A 项.
r r
【详解】对于 A：由已知可得 e × n = 0，所以 l / /a 或 l a ，故 A 错误；
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1 3 7
对于 B：因为- + + =1，所以 P, A, B,C 四点共面，B 正确；
4 8 8
对于 C：根据空间向量基底的概念，空间中的三个向量，
若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，可知 C 正确；
r r r r
对于 D： 因为 a·b = 3 + x + 9x = 3 +10x ，因为 a 与b 的夹角为钝角，则 3+10x < 0，
3 r r
所以 x < - ，当 a / /b 时， x = 3，不合题意，故 D 正确.10
故选：BCD.
11. 如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 P 在线段 B1C 上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 BD1 ^平面 A1C1D
B. 三棱锥 P - A1C1D 的体积为定值
é π π ù
C. 异面直线 AP 与 A1D所成角的取值范围是 ê , 4 2 ú
D. 6直线C1P与平面 A1C1D 所成角的正弦值的最大值为
3
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B 项利用线面平行的判定定理，得出
B1C // 平面 A1C1D ，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD 项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐
标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断.
【详解】A 项，如图，连接 B1D1, BD .
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Q A1C1 ^ B1D1， A1C1 ^ BB1， B1D1 BB1 = B1，
且 B1D1, BB1 平面 BB1D1D，
\ A1C1 ^平面 BB1D1D， BD1 平面 BB1D1D，
\ A1C1 ^ BD1 ，同理， DC1 ^ BD1，
Q A1C1 DC1 = C1，且 A1C1, DC1 平面 A1C1D ，
\直线 BD1 ^平面 A1C1D ，故 A 正确；
B 项，Q A1B1 // AB // DC ，且 A1B1 = DC ，
\四边形 A1B1CD 是平行四边形.
\ A1D // B1C ， A1D 平面 A1C1D ， B1C / 平面 A1C1D ，
\B1C // 平面 A1C1D ，Q点 P 在线段 B1C 上运动，
\P到平面 A1C1D 的距离，即点 B1到平面 A1C1D 的距离，其为定值，
又VA1C1D 的面积是定值，
\三棱锥 P - A1C1D 的体积为定值.
不妨设正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，
1 1 1 1
则VP- A C D = VB - A C = V = S × DD1 1 1 1 1D D- A1B1C1 3 VA1B1C1 1
= = ，
3 2 6
即三棱锥 P - A 11C1D 的体积为定值 ，故 B 正确；6
uuur uuur uuuur
如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA, DC, DD 所在直线为 x, y, z1 轴，建立空间直角坐标系.
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Q点 P 在线段 B1C 上运动，则可设 P a,1,a ,0 a 1，
则 D(0,0,0), A(1,0,0), A1(1,0,1),C1 0,1,1 , B 1,1,0 , D1 0,0,1 .
uuur uuuur
C 项， AP = a -1,1, a ， A1D = -1,0, -1 ．
uuur uuuur uuur uuuur
cos AP, A D uAuPur ×uAu1uDur 1- 2a 1- 2a所以 1 = = = ，
AP A1D (a -1)2 +12 + a2 2 2 a2 - a +1
2
1- 2a 4a2 - 4a +1 3
÷ = 2 =1- ，
è 2 a2 - a +1 4(a - a +1) 4(a
2 - a +1)
2
因为 a 0,1 a2 a 1 a 1 3 é3 ù 3 é 1 ù，则 - + = - + ,1 ，1- 0, ，
è 2 ÷ 4 ê 4 ú
2
4(a - a +1) ê 4 ú
uuur uuuur
cos AP, A é 1 ù1D ê0, 2ú
，因为异面直线 AP 与 A1D所成角为锐角或直角，

é π π ù
故 AP 与 A1D所成角的取值范围为 ê , ，故 C 错误； 3 2 ú
uuur uuuur
D 项， C1P = a,0, a -1 ，D1B = 1,1, -1 ．
uuuur
由 A 选项正确，可知D1B = 1,1, -1 是平面 A1C1D 的一个法向量，
∴直线C1P与平面 A1C1D 所成角的正弦值为
uuur uuuur
uuur uuuur C1P × D1B
cos C1P, D1B = uuur uuuur
1 1
= =
C1P × D1B a2 + a -1 2 × 3 23 × 2 1 1
，
a - 2 ÷
+
è 2
∴ a 1= C P AC D 6当 时，直线 1 与平面 1 1 所成角的正弦值的最大值为 ，故 D 正确．2 3
故选：ABD.
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上， B ，C ， D 三人随机坐到其他三个位置上，则C
与 D 相邻的概率为___________.
2
【答案】
3
【解析】
【分析】先计算 B ，C ， D 三人随机坐到其他三个位置上的所有情况，再计算“ C 与 D 不相邻” 的情况，
利用古典概型的概率公式，即得解
3
【详解】 B ，C ， D 三人随机坐到其他三个位置上，共有 A3 = 6种等可能情况，
要使C 与 D 不相邻，则 B 必坐在A 的对面，此时C 与 D 的坐法共有 2 种情况，
6 - 2 2
所以根据古典概型求概率公式可知C 与 D 相邻的概率为 = .
6 3
2
故答案为：
3
13. 已知事件A 与 B 相互独立， P A = 0.6， P AB = 0.42，则 P A + B = ______．
【答案】0.88
【解析】
【分析】根据独立事件乘法公式求出 P B ，从而利用 P A + B = P A + P B - P AB 求出答案.
【详解】因为事件A 与 B 相互独立，
所以 P AB = P A P B = 0.6 P B = 0.42 P B = 0.7 ，
所以 P A + B = P A + P B - P AB = 0.6 + 0.7 - 0.42 = 0.88．
故答案为：0.88
14. 如图，正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，且它们所在的平面所成的二面角 D - AB - F 的大
小是 60° ，M，N 分别是 AC，BF 上的动点，且 BN = 2AM ，则 MN 的最小值是__________
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1
【答案】 2 ##0.5
【解析】
【分析】利用二面角的定义证得 DAF 就是二面角 D - AB - E 的平面角，即为 60° ，再利用空间向量将MN
uuuur
的长转化为MN 的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解.
【详解】连接 MB，如下图，
由题意， 2AM = BN ， AC = BF ，正方形 ABCD中 AD ^ AB，
正方形 ABEF 中 AF ^ AB ， AF 平面 ABEF ， AD 平面 ABCD，
平面 ABEF 平面 ABCD = AB ，
∴ DAF 就是二面角 D - AB - F 的平面角，则 DAF = 60°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴向量 AD 与向量 AF 夹角为 60° ，且 AD ^ AB， AF ^ AB ，
uuur uuur uuur uuur é 1 ù uuuur uuur
设 AM = l AC ， BN = 2lBF ，l ê0, ú，则MC = 1- l AC ， 2
uuur uuur uuur
且由题意 AD = AB = AF =1，
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴MN = MB + BN = MC + CB + BN = 1- l AC + CB + 2lBF ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur= 1- l AD + AB + CB + 2l BA + BE = 1- 3l AB - l AD + 2lBE ，
uuuur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴MN = 1- 3l 2 AB + l 2 AD + 4l 2 BE - 2l 1- 3l AB × AD + 4l 1- 3l AB × BE - 4l 2 AD × BE
= 1- 3l 2 + l 2 + 4l 2 - 4l 2 cos 60° =12l 2 - 6l +1，
h l =12l 2令 - 6l +1，l éê0,
1 ù 1
2 ú
，h(l)图象开口向上，且对称轴为l = ，
4
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1 h(l) h l h 1 1∴当l = 时， 取得最小值 = =min ÷ ，4 è 4 4
uuur 2 1
即MN 最小值为 ，4
MN 1∴ 的最小值是 2 .
1
故答案为： 2 .
第Ⅱ卷
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某校对高一年级 800 名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下：
男同学 女同学
满意 400 350
不满意 20 30
（1）从这 800 名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率；
（2）该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取 5 人进行进
一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这 5 人中随机选出 2 人发一份小礼品，求这 2 人恰好是一男一
女的概率．
7
【答案】（1）
16
3
（2）
5
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.
（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出所求概率.
【小问 1 详解】
依题意，从这 800 名学生中随机抽取一人，
350 7
该学生是女同学且对食堂满意的概率为 = .
800 16
【小问 2 详解】
不满意的男女生比例为 20 : 30 = 2 : 3，
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用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取 5 人进行进一步调查，
则男生抽取 2 人，女生抽取3人，
男生记为1,2 ，女生记为3,4,5，
在这 5 人中随机选出 2 人，基本事件为 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3 ，
2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5 ，共10个，
其中一男一女的为： 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3 ， 2,4 , 2,5 ，共6 个，
6 3
所以在这 5 人中随机选出 2 人发一份小礼品，这 2 人恰好是一男一女的概率为 = .
10 5
uuur
16. 如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为1的正方形， AA1 = 2 ，设 AB a
r
= ，
uuur r uuur r
AD = b ， AA1 = c
r r r uuur uuuur
（1）试用 a ，b ， c 表示向量 AC 、 BD1 ；
uuur uuuur
（2）若 A1AD = A1AB =120° ，求向量 AC 与 BD1 所成的角的余弦值.
uuur r r uuuur r r r
【答案】（1） A C = a + b , BD1 = -a + b + c
1
（2）-
2
【解析】
【分析】（1）由空间向量的加法、减法运算即可求解；
（2）由（1），结合向量的夹角公式与数量积的运算律即可求解.
【小问 1 详解】
uuur uuur uuur r r
AC = AB + AD = a + b ，
uuuur uuur uuur uuuur r r r
BD1 = BA + AD + DD1 = -a + b + c .
【小问 2 详解】
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因为 A1AD = A1AB =120° ， AA1 = 2
r 2 r2 r2 r r r r r r
a 1,b 1,c 2,a b 0,a c b c 2= = = × = × = × = -
2
uuur2 r 2 r r
AC = ar + b = ar2 + 2ar ×b + b 2 = 2，
uuuur2 r r r 2BD r
r r r
= -a + b + c = a2 + b 2 r21 + c + 2b cr r r r× - 2a ×b - 2a ×c = 4，
uuur uuuur r r
AC BD ar b ar b cr r r r r r r× 1 = + × - + + = -a2 + a ×c + b 2 + b ×c = - 2 ，
uuur uuuur uuur uuuur
所以 cos AC, BD u
AuuCur×uBuDuur1 - 2 11 = = = - ，
AC BD 21 2 2
uuur uuuur 1
即向量 AC 与 BD1 所成的角的余弦值为- .2
17. 如图，在四棱锥 S - ABCD 中，VABS 是正三角形，四边形 ABCD是菱形， AB = 4， ABC =120o ，点
E 是 BS 的中点．
（1）求证： SD / / 平面 ACE ；
（2）若平面 ABS ^平面 ABCD，求点 E 到平面 ASD 的距离．
【答案】（1）证明见解析
2 2 15（ ）
5
【解析】
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【分析】（1）证得 EF / /SD，即可根据线面平行的判定证得结论；
（2）方法一：证得OD ^ 平面 ABS ，以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离；
方法二：证得OD ^ 平面 ABS ，由VD- AES = VE- ADS ，根据等体积法求线面距离．
【小问 1 详解】
解：证明：在四棱锥 S - ABCD 中，连接 BD交 AC 于点 F ，
则 F 为 BD的中点，连接 EF ．
QE 为 BS 的中点，
\EF //SD ，
又 SD 平面 ACE ， EF 平面 ACE ，
\SD// 平面 ACE ．
【小问 2 详解】
方法一：Q四边形 ABCD是菱形，且 ABC =120o ，
\VABD 为正三角形，取 AB 的中点O，连接OD ，OS ，
则OD ^ AB，
Q平面 ABS ^平面 ABCD，平面 ABS 平面 ABCD = AB ，
\OD ^平面 ABS ．
QVABS 是正三角形，\OS ^ AB ．
以O为原点，分别以OS ，OB ，OD 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ．
又Q AB = 4 ，则 A 0, -2,0 ， D 0,0,2 3 ， S 2 3,0,0 ， B 0,2,0 ， E 3,1,0 ，
uuur uuur
\ AD = 0,2,2 3 ， AS = 2 3,2,0 ．
r
设平面 ASD 的法向量为 n = x, y, z ，
uuur r
ìAD × n = 0 ì 2y + 2 3z = 0
则 íuuur
AS nr
，即 í ，
× = 0 2 3x + 2y = 0
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r
令 x = 3 ，则 n = 3, -3, 3 .
uur
又 SE = - 3,1,0 ，
设点 E 到平面 ASD 的距离为 d ，
uur
nr·SE -3+ -3
d = = = 2则 15 ，
nr 3+9+3 5
即点 E 到平面 ASD 2 15的距离为 ．
5
方法二：Q四边形 ABCD是菱形，且 ABC =120o ，
\VABD 为正三角形，取 AB 的中点O，
连接OD ，OS ，则OD ^ AB，
又Q平面 ABS ^平面 ABCD，平面 ABS 平面 ABCD = AB ，
\OD ^平面 ABS ．
QVABD，VABS 是正三角形， AB = 4，易得OD = OS = 2 3 ，
\S 1VESA = SVASB = 2 3 ，连接 DE ，2
\V 1D-AES = 2 3 2 3=4．3
由OD ^ OS ，\DS = OS 2 + OD2 = 2 6 ．
取 DS 的中点M ，连接 AM ．
Q AD = AS = 4，\ AM ^ DS ，
\ AM = 42 - ( 6)2 = 10 ，
可得 S 1VADS = 2 6 10=2 15 ．2
设点 E 到平面 ASD 的距离为 h，由VD- AES = VE- ADS ，
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1 1
得 SVADS h= 2 15h=4 ，3 3
h 2 15 2 15解得 = ，即点 E 到平面 ASD 的距离为 ．
5 5
18. 为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题
目，一次回答一道题目.规则如下：
①抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个问题.
②回答正确者得 10 分，另一人得 0 分；回答错误者得 0 分，另一人得 5 分.
③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.
3 1
已知甲答对每道题目的概率为 ，乙答对每道题目的概率为 2 ，且两人每道题目是否回答正确相互独立.5
（1）求乙同学最终得 10 分的概率；
（2）记 X 为甲同学的最终得分，求 X 10 的概率.
63
【答案】（1）
200
229
（2）
400
【解析】
【分析】（1）按乙同学最终得 10 分的所有可能分类计算再相加即可；
（2）甲同学的最终得分 X 10 的可能结果有得 10、15、20 分，分别计算概率再相加即可.
【小问 1 详解】
设乙同学最终得 10 分为事件A ，
则可能情况为甲回答两题且错两题，甲、乙各答一题且各对一题，乙回答两题且对一题错一题，则
P A 1 2 1 2 1 3 1 1= + 2 1 1 1 1 63+ 2 = ，
2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 2 200
63
即乙同学最终得 10 分的概率是 .
200
【小问 2 详解】
设“ X 10 ”为事件 B ，
P X 10 1 3 1 2 2 1 3 1 1 2 1 1 1 1 133= = + + = ，
2 5 2 5 2 5 2 2 2 2 2 2 400
P X =15 1 3 1 1 3 1 3 1 3 9= 2 = ， P X = 20 = = .
2 5 2 2 20 2 5 2 5 100
P B 133 3 9 229故 = + + = .
400 20 100 400
19. 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C
π
1中， AB ^平面 BB1C1C ，已知 BCC1 = ， BC = 1， AB = C1C = 2 ，3
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点 E 是棱CC1的中点．
（1）求证：C1B ^ 平面 ABC ；
（2）求平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的余弦值；
（3 2 11）在棱CA 上是否存在一点M ，使得 EM 与平面 A1B1E 所成角的正弦值为 ？若存在，求出
11
CM
的值；若不存在，请说明理由．
CA
【答案】（1）证明见详解；
（2 2 5） ；
5
CM 5 1
（3）存在， = 或 .
CA 23 3
【解析】
【分析】（1）证明C1B ^ BC 即可判定线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系研究面面夹角即可；
（3）利用空间向量研究线面角即可.
【小问 1 详解】
π
底面 BCC1B1中，已知 BCC1 = ， BC = 1，C1C = 2 ，3
2 2 2 π 2 2
由余弦定理得C1B = BC + C1C - 2BC ×C1C ×cos = 5 - 2 1 = 3 = C C - BC ，3 1
所以C1B ^ BC ，
又 AB ^平面 BB1C1C ，C1B 平面 BB1C1C ，
所以 AB ^ C1B，
又 AB I BC = B, AB、BC 平面 ABC ，
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所以C1B ^ 平面 ABC ；
【小问 2 详解】
由（1）可知 AB、BC、C1B 三直线两两垂直，可以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

A 0,0,2 1 3

、A1 -1, 3,2 、E , ,0÷÷、B1 -1, 3,0 ，
è 2 2


uuur 3 3 uuur uuuur所以 B1E = , - ,0÷÷ , B1A = 1, - 3,2 , B1A1 = 0,0,2 ，
è 2 2
ur r
设平面 AB1E 与平面 A1B1E 的法向量分别为m = a,b,c , n = x, y, z ，
ìmr
uuur ì
B E 0 3 3 ìnr
uuur 2z = 0
× = a - b = 0 × B E = 0
ì
则有 í r uu
1ur í2 2 , 及 í r uu
1uur í3 3 ，
m × B1A = 0 a 3b 2c 0 n × B1A1 = 0 x - y = 0 - + = 2 2
取 a =1 b = 3,c =1，取 x =1 y = 3, z = 0 ，
ur r
即m = 1, 3,1 ,n = 1, 3,0 ，
ur r
m × n
AB E A B E a cosa ur r 4 2 5设平面 1 与平面 1 1 的夹角为 ，则 = = = ；m × n 2 5 5
【小问 3 详解】
uuuur uuur uuur uuur
假设存在，不妨设CM = lCA，由（2）可知CA = -1,0,2 , EC
1 3
= , - ,0÷÷，
è 2 2
uuuur uuur uuuur
则 EM = EC
1 3
+ CM = - l,- , 2l2 2 ÷÷
，
è
设 EM 与平面 A1B1E 所成角为 b ，
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uuuur r
EM × n l +1
sin b uuuur r 2 11= = =
则 EM × n 2
2 1 - l 3
11 ，
÷ + + 4l
2
è 2 4
5 1 CM 5 1
解之得l = 或 ，即存在 M 符合题意，此时 = l = 或 .
23 3 CA 23 3
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