2024-2025学年河北省九年级下学期中考模拟数学试题【含解析】

2025年河北省中考数学模拟练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：
气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O）
液化温度（℃）
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（ ）

A． B．
C． D．是等边三角形
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在任意中，折叠三角形，使得点与点A重合，为折痕，连接，下列说法错误的是（ ）
A．线段一定垂直平分线段
B．线段可能是的中位线
C．线段一定是的中线
D．线段一定不是的角平分线
6．有6个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
7．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则根据题意列出符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，正五边形ABCDE中，直线过点B，且⊥ED，下列说法：①是线段AC的垂直平分线；②∠BAC=36°；③正五边形ABCDE有五条对称轴.正确的有（ ）.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
13．若的计算结果为正整数，则对值的描述最准确的是（ ）
A．为自然数 B．为大于1的奇数
C．为大于0的偶数 D．为正整数
14．扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
15．已知整式中，，，…，为自然数，且满足．下列说法：
①当，时，满足条件的整式有且仅有3个；
②若，不存在任何一个，使得满足条件的整式恰好有6个；
③当时，满足条件的所有整式有且仅有24个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．如图，正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），规定把正方形ABCD“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（　　）
A．（﹣2018，3） B．（﹣2018，﹣3）
C．（﹣2016，3） D．（﹣2016，﹣3）
二、填空题
17．已知一组数据，，，，，的众数是和，则这组数据的中位数是 ．
18．请写出一个比小的整数： ．
19．如图，和都是等边三角形，点在上，交于点，若，，则的长是 ．
三、解答题
20．如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．设点，，所表示的数的和是，该数轴的原点为．
(1)分别计算出原点与点重合时、与的中点重合时的值．
(2)原点沿着数轴每向左移动，的值将会如何变化？当的值为时，求原点的位置．
21．甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
22．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上．（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）
（1）求灯杆AB的高度；
（2）求CD的长度．
23．如图，为正方形中边上一点，，．动点P，Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿，向点A，点C移动，连接，，．设点P运动的路程为x，的面积为，的面积为．
(1)分别写出，关于x的函数解析式及x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出，的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围．
24．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当时，；
当时，．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩；
(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：
(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150
人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
25．【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结．
．
，，．
是等边三角形．
，．
．
，．
点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小．
【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长．
（2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点．
【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径．
26．如图，已知的圆心在轴上，且经过、两点，抛物线也经过、两点，与轴的交点为，顶点为．
(1)求点和的坐标（用含的代数式表示）；
(2)连接、，当时，求的正切值；
(3)当为何值时，直线与相切？
试卷第1页，共3页
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《2025年河北省中考数学模拟练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D D D A D B D D
题号 11 12 13 14 15 16
答案 D D B C A D
1．A
【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．
先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可．
【详解】解：，
液化温度最低的气体是氦气．
故选A．
2．B
【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂除法，合并同类项，单项式乘以单项式等等，熟知相关计算法则是解题的关键．根据合并同类项计算法则可判断A；根据积的乘方计算法则可判断B；根据幂的乘方和同底数幂除法计算法则可判断C；根据单项式乘以单项式的计算法则可判断D．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断．
【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），
，，，，
是等腰三角形，
故A、B、C正确；D不正确；
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（“>”、“≥”向右画；“<”、“≤”向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就填几个．在表示解集时“≥”、“≤”要用实心圆点表示；“<”、“>”要用空心圆点表示．根据解一元一次不等式基本步骤可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】解：不等式的解集为：，
解集在数轴上表示为：
故选：D．
5．D
【分析】根据折叠的性质和线段垂直平分线的定义可判定A；根据折叠的性质和三角形中位线定义可判定B；根据折叠的性质和三角形中线定义可判定C；当时，线段是三角形的角平分线可判定D．
【详解】解：A、由折叠的性质得：，，所以一定垂直平分线段，正确，故此选项不符合题意；
B、由折叠的性质得：，若，则是的中位线，所以线段可能是的中位线，正确，故此选项不符合题意；
C、由折叠的性质得：，所以线段一定是的中线，正确，故此选项不符合题意；
D、当时，由折叠的性质得：，根据等腰三角形“三线合一”性质可得线段是三角形的角平分线．所以线段一定不是的角平分线，说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，线段垂直平分线，三角形中位线，三角形中线，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
6．A
【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，2，1．
【详解】解：该几何体的俯视图为
故选A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
7．D
【分析】本题考查了实际问题列反比例函数关系式．观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（）即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为（），
由图象可知，函数经过点，
∴，得
∴反比例函数解析式为．
即用电阻R表示电流I的函数解析式为
故选D
8．B
【分析】利用合并同类项法则可判定A，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B，利用同底数幂乘法法则可判定C，利用完全平方公式可判定D．
【详解】解：A. ，故选项A计算不正确；
B. ，故选项B计算正确；
C. ，故选项C计算不正确；
D. ，故选项D计算不正确．
故选择B．
【点睛】本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据“该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子”列出一元二次方程即可．
【详解】解：这两年培育新品种数量的平均年增长率为，
依题意得，
故选：D．
10．D
【分析】本题考查等腰三角形，三角形的内角和，全等三角形的判定，勾股定理．逐一分析判断，即可解答．
【详解】解：，，
，
又，
，，
，，，
故A错误．
∴，，
∴，即，
∴，
故C 错误．
由，而中，，，
与不全等，故B错误．
过点A作于点M，如图
有，
∴，
即
，，
．
．
，故D正确．
故选D．
11．D
【分析】根据等腰三角形的性质可得是线段AC的垂直平分线；根据多边形内角和定理可得∠ABC=108°，进而根据等腰三角形的性质求出∠BAC=36°；过正五边形的每个顶点且垂直于对边的直线都是正五边形的对称轴，综上即可得答案.
【详解】∵AB=BC，直线过点B，且⊥ED，
∴是线段AC的垂直平分线；故①正确，
∵正五边形的内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠ABC=108°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=36°，故②正确，
∵过正五边形的每个顶点且垂直于对边的直线都是正五边形的对称轴，
∴正五边形ABCDE有五条对称轴.故③正确，
故说法正确的有①②③，
故选D
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，多边形内角和及对称图形的判断，熟练掌握多边形内角和定理及等腰三角形的性质是解题关键.
12．D
【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出、的长，再根据相似三角形的性质，求出的长，的长即可解决问题；
【详解】解：作轴于，轴于，交于．
在与中，
，
，
，
设，
则，
于是在中，；
解得．
；
轴，轴，
，
，
，
，
；
又，
．
．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．B
【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，然后再根据结果为正整数即可解答．
【详解】解：，
．
，
∵结果为正整数，
∴为大于1的奇数．
故选B．
14．C
【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，
，
∴，
∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，
∴，
∴，
∴是的正比例函数，
∵，
∴它的图像是过原点的一条射线．
故选：C．
15．A
【分析】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．根据题意逐项分析，分类讨论，即可求解．
【详解】①当 和 时，剩余部分需满足 ．
可能的解为：（对应 ），
（对应 ）
由于允许 无限增大，每个 或 均对应不同整式，导致解无限多，而非仅有3个．
故说法①错误
②当 时，方程为 ．
若，则 ，解得可取0至5，共6组解．
因此存在 使得解恰好为6个．
故说法②错误．
③当 时，方程为 ．
分情况计算： 时，解数为14；
时，解数为7；
时，解数为2．
总解数为 ，而非24．
故说法③错误．
综上，所有说法均不正确，
故选：A．
16．D
【分析】首先由正方形ABCD，顶点A（1，1）、B（3，1）、C（3，3），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点C的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点C的对应点的为：当n为奇数时为（3-n，-3），当n为偶数时为（3-n，3），继而求得把正方形ABCD连续经过2019次这样的变换得到正方形ABCD的点C的坐标．
【详解】∵正方形ABCD，顶点A（1，1）、B（3，1），
∴C（3，3）．
根据题意得：第1次变换后的点C的对应点的坐标为（3﹣1，﹣3），即（2，﹣3），
第2次变换后的点C的对应点的坐标为：（3﹣2，3），即（1，3），
第3次变换后的点C的对应点的坐标为（3﹣3，﹣3），即（0，﹣3），
第n次变换后的点C的对应点的为：当n为奇数时为（3﹣n，﹣3），当n为偶数时为（3﹣n，3），
∴连续经过2019次变换后，正方形ABCD的点C的坐标变为（﹣2016，﹣3）．
故选D．
【点睛】此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n次变换后的点C的对应点的坐标为：当n为奇数时为（3-n，-3），当n为偶数时为（3-n，3）是解此题的关键．
17．4
【分析】先根据众数的定义求出，再根据中位数的定义求解可得．
【详解】解：数据，，，，，的众数是和，
，
则数据为、、、、、，
这组数据的中位数为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
18．3（答案不唯一）
【分析】根据解答即可．
【详解】解：∵，
∴比小的整数可以是3，
故答案为：3 (答案不唯一)
【点睛】此题考查无理数的估计，关键是根据无理数的估计得出再解答.
19．
【分析】根据和都是等边三角形，得出、，设，得到两个用x表示的关系式，解方程即可．
【详解】解：和都是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
，则，
和都是等边三角形，
，，
，
，
即，
，
则，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角的性质，解题的关键是正确找出相似三角形．
20．(1)当原点与点重合时，；当原点与的中点重合时，
(2)的值将会增大3，原点在点处
【分析】本题考查了数轴，相反数，有理数的加减运算，数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．
（1）求出当原点与点重合时，点A、B、C表示的数，再求出p的值；先求出原点与的中点重合时，点C表示的数，然后再求出p的值即可；
（2）根据数轴特点，得出原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，根据时，得出p增大了6，从而得出原点从与点重合的位置，向左移动，能得到．
【详解】（1）解：∵当原点与点重合时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为0，
∴，
当原点与的中点重合时，点，表示的数为一对相反数，
∴此时点表示的数为，
∴．
（2）解：原点沿着数轴每向左移动，点A、B、C表示的数分别增加1，则的值将会增大3，
当时，，
∵，
原点从与点重合的位置，向左移动，能得到，
此时原点在点处．
21．(1)
(2)填表见解析，
【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可；
（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：当时，
，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，
∴和为单项式的概率为．
【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键．
22．（1）12m；（2）25.6m
【分析】（1）延长BA交CG于点E，根据直角三角形的性质求出AE，根据正切的定义求出CE，再根据正切的定义求出BE，计算即可；
（2）根据正切的定义求出DE，进而求出CD．
【详解】解：（1）延长BA交CG于点E，
则BE⊥CG，
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，
∴AE=AC=×12=6（m），CE=AC cosα=12×=（m），
在Rt△BCE中，∠BCE=60°，
∴BE=CE tan∠BCE==18（m），
∴AB=BE-AE=18-6=12（m）；
（2）在Rt△BDE中，∠BDE=27°，
∴DE=≈36（m），
∴CD=DE-CE=≈25.6（m）．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
23．(1)，
(2)图象见解析，性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小
(3)
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的面积公式，二次函数和一次函数的图象，二次函数和一次函数的性质，根据题意求得函数的解析式是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意画出函数的图象，根据二次函数和一次函数的性质即可得到结论；
（3）根据函数图象即可得到不等式的解集．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
∴，
；
（2）解：画
列表：
x 0 2 4 6 8
y 0 6 8 6 0
描点，连线得，如图：
画
列表：
x 0 8
y 12 0
描点，连线得，如图；
性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；
（3）解：由函数图象知，当时，x的取值范围为．
24．(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分
(2)125
(3)①130；②
【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分；
（2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，依题意可知，丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，从而列出方程组，解得；
（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②原始成绩分，报告成绩分合格，得到方程，解得，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：．
【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分，
乙的报告成绩为：分；
（2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，
∵丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，
∴丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，即，
∴
解得：，且符合题意，
∴的值为；
（3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，
∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，
由表格得第50，51名员工成绩都是130分，
∴中位数为130；
②∵①中的中位数换算成报告成绩为90分，
∴原始成绩分，报告成绩分合格，
∴，解得，
∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，
∴合格率为：．
【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键．
25．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据费马点的定义证明∽，得到对应边成比例解题即可；
（2）连接，过点A作，于点，，根据等边三角形得到≌，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可；
（3）先根据费马点的定义得到当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可．
本题属于圆的综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键．
【详解】（1）解：点是的费马点，，
，
，
，
∽，
，
已知，，
，
解得（负值舍去）；
证明：连接，过点A作，于点，，
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌，
，，，
，
又，，
，
又，
，
，
，
，
点是的费马点；
（3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，，如图，
根据题目可知当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，
延长交于点，则，连接，如图，
又，
，
，
，
点为外接圆的圆心，
，即，
的值最小为，
，
即圆的半径为．
26．(1)，；
(2)；
(3)当时，直线与相切．
【分析】（1）根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，进而得到，将、两点代入解析式，求得，再求出点和的坐标；
（2）连接，结合（1）可知，当时，则，，再利用勾股定理及其逆定理，得到，即可求出的正切值；
（3）先得出，由（1）可知，，，则，，设点到直线的距离为，利用等面积法，表示出，再根据圆的切线的性质，得到，进而得到关于的方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过、两点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
将、两点代入解析式得：
，解得：，
，
当时，；当时，；
则，；
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，，；
当时，则，，
，
，，，
，
，
；
（3）解：、，
，
的圆心在轴上，且经过、两点，
，
，
由（1）可知，，，
，，
设点到直线的距离为，
则，
，
，
直线与相切，
，即，
解得：或（舍），
即当时，直线与相切．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形的应用，圆的切线的性质，等面积法，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．
答案第1页，共2页
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