2025-2026学年山东省济南市育英中学九年级上学期9月开学考数学试题【含答案】

2025-2026学年山东省济南市育英中学九年级上学期9月开学考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组中的四条线段成比例的是（）
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
2.若ac=bd(ac≠0)，则下列各式一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.在比例尺为的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7 cm，则它的实际长度约为（ ）
A. 0.585 km B. 5.85 km C. 58.5 km D. 585km
4.如图，△ABC中，若DE// BC，EF// AB，则下列比例式正确的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接交于点G，延长交的延长线于点F，则的值为（　　）
A. B. C. D.
6.如图，取一张长为、宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边应满足的条件是（）
A. B. C. D.
7.如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，菱形菱形，菱形的顶点G在菱形的边上运动，与相交于点H，，若，，则菱形的边长为（　　）
A. B. C. 18 D. 16
9.如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
10.如图，在矩形中，对角线相交于点于点E．若，则边的长是（ ）
A. B. C. D. 6
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.已知，则 ．
12.如图，四边形四边形，则 ．
13.如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为 ．
14.如图，是的中线，点是线段上的一点，且，交于点．若，则 ．
15.如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边AB上，则的面积为 ．
16.如图把沿边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的一半，若，三角形移动的距离是 ．
17.如图，点E是菱形的边的中点，点F是上的一点，点G是上的一点，先以为对称轴将折叠，使点D落在上的点处，再以为对称轴折叠，使得点A的对应点与点重合，以为对称轴折叠，使得点B的对应点落在上．若，，则的值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，，，，，，求的长．
19.(本小题8分)
如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD ，AC=5cm，AB=4cm，求AD的长.
20.(本小题8分)
如图，中，，，，，，求和长．
21.(本小题8分)
中，，交于．
(1) 求证：；
(2) ，求．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．
(1) 当时，求x的值．
(2) △APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
23.(本小题8分)
在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，若，求的长．
24.(本小题8分)
(1) 如图1，分别为正方形边和边上的点，连接、，且，则 ．
(2) 如图2，矩形中，点分别在边、上，连接、，且，，．求．
25.(本小题8分)
【问题背景】如图，等腰中，，点为的中点，过点作，交于，将绕点顺时针旋转，连结，如图①．
(1) 【基本感受】当时，判断与的数量关系，并说明理由；
(2) 【深入研究】当时，如图②，与满足怎样的数量关系？请给出证明；
(3) 在（2）的条件下，若，在旋转过程中，当三点共线时，求的面积．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】16
16.【答案】
/
17.【答案】
18.【答案】解：∵，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴．

19.【答案】∵在△ABC和△ADB中，∠ABC=∠ADB=90°，∠C=∠ABD，
∴△ABC∽△ADB，
∴，
∴AC·AD=AB2，
又∵AB=4cm，AC=5cm，
∴5AD=16cm，
∴AD= cm.
故答案为： cm.

20.【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴设，则，，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，解得：，
∵，
∴，即，解得：，
∴．

21.【答案】【小题1】
四边形是平行四边形，
平行于，
，
．
【小题2】
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．

22.【答案】【小题1】
解：当时，AP：AB＝AQ：AC，
∵AP＝4x，AQ＝30－3x，
∴，
解得：x＝；
【小题2】
解：∵BA＝BC
∴，
①当△APQ∽△CQB时，有，
即：，
解得：，
∴（ cm），
②当△APQ∽△CBQ时，有，
即：，
解得：x＝5或x＝－10（舍去），
∴PA＝4x＝20（cm），
综上所述，当AP＝ cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．

23.【答案】解：在上取一点，使，连接，如图所示：
三角形是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍去负值），
．

24.【答案】【小题1】
【小题2】
过点作于点，
四边形是矩形，且，，
，，
四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．

25.【答案】【小题1】
解：．理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
∵点为的中点，过点作，交于，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
∵，均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
；理由如下：
作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
同理，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，
如图，当三点共线时，作交的延长于点，
由旋转的性质知，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当三点共线时，作于点，
同理，，，
∴，
∴；
综上，的面积为或．

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