4.2平行线分线段成比例
【知识点1】平行线分线段成比例 1
【题型1】平行线分线段成比例公理 1
【题型2】平行线分线段成比例公理的推论 3
【知识点1】平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
【题型1】平行线分线段成比例公理
【典型例题】如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB等于( )
A. B. C. D.5
【举一反三1】如图，l1∥l2∥l3，直线m，n与这三条平行线分别相交于点A，B，C和D，E，F，若，DE＝3，则DF的值为( )
A. B.4 C. D.7
【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是( )
A.12 B.18 C.15 D.
【举一反三3】如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点A，B，C，D均在横梁的端点处，若AB＝62 cm，则AD的长为( )
A.105 cm B.150 cm C.155 cm D.186 cm
【举一反三4】如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是( )
A.12 B.18 C.15 D.
【题型2】平行线分线段成比例公理的推论
【典型例题】如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若，则FE的长度是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，BD＝2，AC＝6，则AE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF＝2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，点D为AB上靠近点B的三等分点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC上一点，连接AF交DE于点G，点H为AF的中点，则＝ ．
【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝ ．
【举一反三5】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，DF∥AE，，BF＝9 cm，求EF和EC的长．4.2平行线分线段成比例
【知识点1】平行线分线段成比例 1
【题型1】平行线分线段成比例公理 1
【题型2】平行线分线段成比例公理的推论 4
【知识点1】平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
【题型1】平行线分线段成比例公理
【典型例题】如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB等于( )
A. B. C. D.5
【答案】B
【解析】∵AB∥EF∥DC，
∴，
∵DE＝3，DA＝5，CF＝4，
∴＝，
∴CB＝，
∴FB＝CB﹣CF＝﹣4＝．
故选：B．
【举一反三1】如图，l1∥l2∥l3，直线m，n与这三条平行线分别相交于点A，B，C和D，E，F，若，DE＝3，则DF的值为( )
A. B.4 C. D.7
【答案】C
【解析】∵l1∥l2∥l3，
∴ 即，
∴EF＝，
∴DF＝DE+EF＝3+＝．
故选：C．
【举一反三2】如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是( )
A.12 B.18 C.15 D.
【答案】B
【解析】∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∴AC＝18．
故选：B．
【举一反三3】如图，小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，下宽上窄，其中点A，B，C，D均在横梁的端点处，若AB＝62 cm，则AD的长为( )
A.105 cm B.150 cm C.155 cm D.186 cm
【答案】C
【解析】∵小西家的梯子由等距离的六条平行横梁（踏板）组成，
∴，
∵AB＝62 cm，
∴，
∴AD＝155．
故选：C．
【举一反三4】如图，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，则AC的长度是( )
A.12 B.18 C.15 D.
【答案】B
【解析】∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∴AC＝18．
故选：B．
【题型2】平行线分线段成比例公理的推论
【典型例题】如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD边中点，G为BC边上一点，连接AE，DG，相交于点F．若，则FE的长度是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，作FH∥BC交CD于H，
则，
∵E为CD边中点，
∴，
∵FH∥AD，
∴，
∵AE＝＝2，
∴FE＝．
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝1，BD＝2，AC＝6，则AE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】∵DE∥BC，
∴ 即，
解得：AE＝2，
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF＝2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE∥BC．
∴,
∴，．
∴．
∵BF＝2FC，
∴DN＝2NE．
∴．
所以，A，B，D正确，
无法判断出的值．故C错误；
故选：C．
【举一反三3】如图，点D为AB上靠近点B的三等分点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC上一点，连接AF交DE于点G，点H为AF的中点，则＝ ．
【答案】
【解析】∵D为AB上靠近点B的三等分点，
∴AD＝AB＝2：3，
∵DE∥BC，
∴AG：AF＝AD：AB＝2：3，
∴AG＝AF，
∵点H为AF的中点，
∴AH＝AF，
∴＝．
故答案为：．
【举一反三4】如图，AD是△ABC的中线，AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝ ．
【答案】
【解析】∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC中点，
∵EF＝FC，
∴点F是EC中点，
∴DF是△CEB中位线，
∴DF∥BE，BE＝2DF，
∴GE是△ADF中位线，
∴＝，
设GE＝x，则DF＝2x，BE＝4x，
∴BG＝3x，
∴，
故答案为：．
【举一反三5】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC上的点，且DE∥AC，DF∥AE，，BF＝9 cm，求EF和EC的长．
【答案】解：∵DF∥AE，
∴，
∵BF＝9 cm，
∴FE＝6 cm，BE＝BF+EF＝15 cm，
∵DE∥AC，
∴，
∴CE＝10 cm．
