4.4探索三角形相似的条件
【知识点1】相似三角形的判定 1
【题型1】三边成比例两三角形相似 1
【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似 4
【题型3】两角分别相等两三角形相似 5
【题型4】黄金分割 7
【知识点1】相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【题型1】三边成比例两三角形相似
【典型例题】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵小正方形的边长均为1，∴△ABC三边分别为2，，，同理：A中各边的长分别为，3，；B中各边长分别为2，1，；C中各边长分别为1,2，；D中各边长分别为2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为2，故选B.
【举一反三1】下列三个三角形中相似的是( )
A.A与B B.A与C C.B与C D.A，B，C都相似
【答案】B
【解析】A中三角形的三边长分别为2，，；B中三角形的三边长分别为3，，；C中三角形的三边长分别为5，，.∵：5＝2：＝：，∴A与C相似．故选B.
【举一反三2】若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为21 cm，则其余两边长的和为( )
A.24 cm B.21 cm C.19 cm D.9 cm
【答案】A
【解析】相似三角形的对应边的比相等，设其余两边的长分别是x，y，则x∶y∶21＝3∶5∶7，解得x＝9，y＝15，故其余两边长的和为9＋15＝24 cm.故选A.
【举一反三3】一个三角形的三边之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为__________，__________时，这两个三角形相似．
【答案】
【解析】∵如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，∴当另一个三角形的三边的比为3∶4∶5时，这两个三角形相似，∵另一个三角形的最短边长为8，∴另外两边长为.
【举一反三4】如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有__________对．
【答案】2
【解析】设每一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长.
△ABC的各边分别为2，，；△CDF的各边分别为，，3；△EFG的各边分别为，，；△HMN的各边分别为1，，；△HPQ的各边分别为2,2，2；可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似．
【举一反三5】如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
【答案】证明：∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，即DE：AB＝EF：BC＝DF：AC，∴ABC∽△DEF.
【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似
【典型例题】将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是( )
A.2 B.或2 C. D.或2
【答案】B
【解析】∵△ABC沿EF折叠C和D重合，∴FD＝CF，设CF＝x，则BF＝4－x，以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD＝∠C，则，即，解得x＝；②若∠BFD＝∠A，则＝1，即，解得x＝2.综上所述，CF的长为或2.故选B.
【举一反三1】如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
A.2.5秒 B.4.5秒 C.2.5秒或4.5秒 D.2.5秒或4秒
【答案】D
【解析】如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC－CE＝10－2t.①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC.∴AD∶AB＝AE∶AC，∴t∶5＝(10－2t)∶10，∴t＝2.5；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB.∴AD∶AC＝AE∶AB，∴t∶10＝(10－2t)∶5，∴t＝4.∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2.5秒或4秒．故选D.
【举一反三2】如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.AC：CD＝AB：BC
B.CD：AD＝BC：AC
C.AC2＝AD·AB
D.CD2＝AD·BD
【答案】C
【解析】∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是，∴AC2＝AD·AB.故选C.
【举一反三3】在△ABC在，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】或
【解析】当AE：AD＝AB：AC时，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE＝＝＝；当AE：AD＝AC：AB时，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE＝＝＝.
【举一反三4】如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．
【答案】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB∴∠D＝∠B＝90°，设DP＝x，当PD∶AB＝CD∶PB时，△PDC∽△ABP，∴x：6＝4：(14-x)，解得DP＝2或12，当PD∶PB＝CD∶AB时，△PCD∽△PAB，∴x：(14-x)＝4：6，解得DP＝5.6，∴DP＝5.6或2或12.
【题型3】两角分别相等两三角形相似
【典型例题】如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是( )
A.△ABC∽△DAB B.△ABC∽△DAC C.△ABD∽△ACD D.以上都不对
【答案】B
【解析】∵∠ADC＝∠BAC，∠ABC＝∠DAC，∴△ABC∽△DAC.故选B.
【举一反三1】如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是( )
A.△BDF∽△BEC B.△BFA∽△BEC C.△BAC∽△BDA D.△BDF∽△BAE
【答案】A
【解析】∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△BAC∽△BDA.故C正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴△BFA∽△BEC.故B正确．∴∠BFA＝∠BEC，∴∠BFD＝∠BEA，∴△BDF∽△BAE.故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．故选A.
【举一反三2】△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝____________时，△BDA∽△AEC.
【答案】110°
【解析】∵AD＝AE，∠DAE＝40°，∴∠ADE＝∠AED＝70°，∴∠ADB＝∠AEC＝180°－70°＝110°.在△ABD中，∵∠ADB＝110°，∴∠B＋∠BAD＝180°－110°＝70°，同理可得∠C＋∠EAC＝70°.∵△BDA∽△AEC，∴∠B＝∠EAC，∠C＝∠BAD，∴∠B＋∠C＝∠EAC＋∠BAD＝∠B＋∠BAD＝70°，∴∠BAC＝(∠EAC＋∠BAD)＋∠DAE＝70°＋40°＝110°.
【举一反三3】如图所示，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C，求证：△ABF∽△EAD.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠C＋∠D＝180°，∠BAF＝∠AED，∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.
【举一反三4】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.求证：△ABM∽△EFA.
【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA.
【题型4】黄金分割
【典型例题】神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了( )
A.轴对称 B.旋转 C.平移 D.黄金分割
【答案】D
【解析】因为0.618是黄金分割数，
所以体现了黄金分割．
故选：D．
【举一反三1】如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度的比满足＝，这体现了数学中的( )
A.黄金分割 B.平移 C.旋转 D.轴对称
【答案】A
【解析】若AC，BC，AB各部分长度的比满足，则点C为线段AB的黄金分割点，这体现了数学中的黄金分割．
故选：A．
【举一反三2】黄金分割的美在生活中随处可见．如图，在设计人体雕像时，使雕像腰部以下的高度a与全身的高度b的比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为5米，则a约为______米．（结果精确到0.1米）
【答案】3.1
【解析】由题意得：≈0.618，b＝5米，
∴a≈0.618b＝0.618×5≈3.1（米），
故答案为：3.1．
【举一反三3】如图，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a，b，c，d的四条线段，如果a：b＝c：d，则ad＝bc．求黄金分割数（结果保留根号）．
【答案】解：设线段AB＝1，AP的长为x，则BP＝AB﹣AP＝1﹣x，
∵BP：AP＝AP：AB，
∴（1﹣x）：x＝x：1，
∴x2＝1﹣x，
整理得：x2+x﹣1＝0,
解得：，x2＝（舍去），
∴黄金分割数＝AP：AB＝：1＝，
∴黄金分割数为．4.4探索三角形相似的条件
【知识点1】相似三角形的判定 1
【题型1】三边成比例两三角形相似 1
【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似 3
【题型3】两角分别相等两三角形相似 4
【题型4】黄金分割 5
【知识点1】相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【题型1】三边成比例两三角形相似
【典型例题】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】下列三个三角形中相似的是( )
A.A与B B.A与C C.B与C D.A，B，C都相似
【举一反三2】若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边的长为21 cm，则其余两边长的和为( )
A.24 cm B.21 cm C.19 cm D.9 cm
【举一反三3】一个三角形的三边之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为__________，__________时，这两个三角形相似．
【举一反三4】如图，在7×12的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，观察画面中由黑色阴影组成的五个三角形，则相似三角形有__________对．
【举一反三5】如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
【题型2】两边成比例且夹角相等两三角形相似
【典型例题】将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长度是( )
A.2 B.或2 C. D.或2
【举一反三1】如图，在钝角△ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1 cm/秒，点E运动的速度为2 cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
A.2.5秒 B.4.5秒 C.2.5秒或4.5秒 D.2.5秒或4秒
【举一反三2】如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A.AC：CD＝AB：BC
B.CD：AD＝BC：AC
C.AC2＝AD·AB
D.CD2＝AD·BD
【举一反三3】在△ABC在，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【举一反三4】如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．
【题型3】两角分别相等两三角形相似
【典型例题】如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是( )
A.△ABC∽△DAB B.△ABC∽△DAC C.△ABD∽△ACD D.以上都不对
【举一反三1】如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是( )
A.△BDF∽△BEC B.△BFA∽△BEC C.△BAC∽△BDA D.△BDF∽△BAE
【举一反三2】△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝____________时，△BDA∽△AEC.
【举一反三3】如图所示，在□ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C，求证：△ABF∽△EAD.
【举一反三4】如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.求证：△ABM∽△EFA.
【题型4】黄金分割
【典型例题】神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了( )
A.轴对称 B.旋转 C.平移 D.黄金分割
【举一反三1】如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，AC，BC，AB各部分长度的比满足＝，这体现了数学中的( )
A.黄金分割 B.平移 C.旋转 D.轴对称
【举一反三2】黄金分割的美在生活中随处可见．如图，在设计人体雕像时，使雕像腰部以下的高度a与全身的高度b的比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为5米，则a约为______米．（结果精确到0.1米）
【举一反三3】如图，我们知道，如果点P是线段AB上的一点，将线段分割成AP，BP两条线段（AP＞BP），且满足BP：AP＝AP：AB，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为a，b，c，d的四条线段，如果a：b＝c：d，则ad＝bc．求黄金分割数（结果保留根号）．
