5.1投影
【知识点1】中心投影 1
【知识点2】视点、视角和盲区 1
【知识点3】平行投影 1
【题型1】平行投影的意义 2
【题型2】与中心投影有关的计算 3
【题型3】与平行投影有关的计算和作图 5
【题型4】正投影 7
【题型5】中心投影的意义 8
【知识点1】中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
【知识点2】视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区．
【知识点3】平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
【题型1】平行投影的意义
【典型例题】在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下，( )
A.小刚的影子比小红的长
B.小刚的影子比小红的影子短
C.小刚跟小红的影子一样长
D.不能够确定谁的影子长
【答案】D
【解析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
【举一反三1】在学习了《投影》之后，小明拿着一个矩形木框在操场上做投影实验，阳光下这个矩形木框在地面上的投影在不可能是( )
A.矩形 B.梯形 C.线段 D.平行四边形
【答案】B
【解析】将矩形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段，故C正确；将矩形木框与地面平行放置时，形成的影子为矩形，故A正确；将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形，故D正确；由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，梯形两底不相等，得到投影不可能是梯形，故B错误．
【举一反三2】平行投影中的光线是( )
A.平行的 B.聚成一点的 C.不平行的 D.向四面八方发散的
【答案】A
【解析】平行投影中的光线是平行的，如阳光等．
【举一反三3】小明同学拿一个等边三角形木框在太阳光下观察其投影，此木框在水平地面上的影子不可能是( )
A.——— B.● C. D.
【答案】B
【解析】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，沿与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．
【举一反三4】下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为( )
A.1234 B.4312 C.3421 D.4231
【答案】B
【解析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断时间由早到晚的顺序为4312.
【题型2】与中心投影有关的计算
【典型例题】圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是( )
A.0.324π m2 B.0.288π m2 C.1.08π m2 D.0.72π m2
【答案】D
【解析】如图所示，∵AC⊥OB，BD⊥OB，
∴△AOC∽△BOD，∴OA∶OB＝AC∶BD，即2∶3＝0.6∶BD，解得BD＝0.9 m，
同理可得AC′＝0.2 m，则BD′＝0.3 m，∴S圆环形阴影＝0.92π－0.32π＝0.72π(m2)．
【举一反三1】如图所示，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B处直走到点A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵小路的正中间有一路灯，晚上小雷由B处径直走到A处，∴他在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系，应为当小雷走到灯下以前为y随x的增大而减小.
【举一反三2】一块直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12 cm，AC＝8 cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24 cm，则A1B1长为________ cm.
【答案】8
【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝12 cm，AC＝8 cm，∴AB＝4cm，∵△ABC∽△A1B1C1，∴A1B1∶AB＝B1C1∶BC＝2∶1，即A1B1＝8 cm.
【举一反三3】三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图1所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】解：如图所示，AB即为甲的影子．
【举一反三4】如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯．在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为4π m2的圆．已知圆桌的高度为1.5 m，圆桌面的半径为1 m，试求吊灯距圆桌面的高度．
【答案】解：∵圆桌面的半径为1 m，∴圆桌面的面积为π m2，∴，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，∴PA∶PC＝1∶2，∵圆桌的高度为1.5 m，∴PA∶（PA+1.5）＝1：2，∴PA＝1.5(m)，即吊灯距圆桌面的高度为1.5 m.
【题型3】与平行投影有关的计算和作图
【典型例题】同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为( )
A.3.2米 B.4.8米 C.5.2米 D.5.6米
【答案】B
【解析】设旗杆的高为x，有x∶6＝1.6∶2，可得x＝4.8米．
【举一反三1】当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10 m，树高h(单位：m)的范围是( )
A.3＜h＜5 B.5＜h＜10 C.10＜h＜15 D.15＜h＜20
【答案】B
【解析】AC＝10 m.①当∠A＝30°时，AB=2BC,由勾股定理得BC＝10×≈5.7 m.
②当∠A＝45°时，BC＝AC＝10 m.∴5.7＜h＜10，故选项B符合题意.
【举一反三2】如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8 m，他在地面上的影长为2.1 m．若小芳比他爸爸矮0.3 m，则她的影长为________ m.
【答案】1.75
【解析】∵爸爸身高1.8 m，小芳比他爸爸矮0.3 m，∴小芳高1.5 m，设小芳的影长为x m，∴1.5∶x＝1.8∶2.1，解得x＝1.75，∴小芳的影长为1.75 m.
【举一反三3】如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=1 m,窗高CD=1.5 m,并测得OE=1 m,OF=5 m,求围墙AB的高度．
【答案】解：如图，延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1 m,OE=1 m,
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE，
设AB=EB=x m,
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴AB∥CO，
∴△ABF∽△COF，
∴AB∶BF＝CO∶OF，x∶[x+(5-1)]＝(1.5+1)∶5，解得x＝4.经检验x＝4是原方程的解．即围墙AB的高度是4 m.
【题型4】正投影
【典型例题】如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图是应是D.
【举一反三1】把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是正六边形．
【举一反三2】正方形的正投影不可能是( )
A.线段 B.矩形 C.正方形 D.梯形
【答案】D
【解析】在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段．故正方形纸板ABCD的正投影不可能是梯形.
【举一反三3】如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图是应是D.
【题型5】中心投影的意义
【典型例题】如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是( )
A.越来越小 B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定
【答案】A
【解析】灯光下影子与物体离灯源的距离有关，距离越大，影子越小．
【举一反三1】灯光下的两根小木棒A和B，它们竖立放置时的影子长分别为lA和lB，若lA＞lB.则它们的高度为hA和hB满足( )
A.hA＞hB B.hA＜hB C.hA≥hB D.不能确定
【答案】D
【解析】∵两根小木棒距离点光源的位置未知，∴影长的大小不能确定物体的高低．
【举一反三2】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A.逐渐变短
B.先变短后变长
C.先变长后变短
D.逐渐变长
【答案】B
【解析】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．
【举一反三3】如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是________．
【答案】椭圆、圆、三角形
【解析】在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是椭圆、圆、三角形．
【举一反三4】确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．
【答案】解：如图所示.5.1投影
【知识点1】中心投影 1
【知识点2】视点、视角和盲区 1
【知识点3】平行投影 1
【题型1】平行投影的意义 2
【题型2】与中心投影有关的计算 3
【题型3】与平行投影有关的计算和作图 4
【题型4】正投影 4
【题型5】中心投影的意义 5
【知识点1】中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
【知识点2】视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区．
【知识点3】平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
【题型1】平行投影的意义
【典型例题】在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下，( )
A.小刚的影子比小红的长
B.小刚的影子比小红的影子短
C.小刚跟小红的影子一样长
D.不能够确定谁的影子长
【举一反三1】在学习了《投影》之后，小明拿着一个矩形木框在操场上做投影实验，阳光下这个矩形木框在地面上的投影在不可能是( )
A.矩形 B.梯形 C.线段 D.平行四边形
【举一反三2】平行投影中的光线是( )
A.平行的 B.聚成一点的 C.不平行的 D.向四面八方发散的
【举一反三3】小明同学拿一个等边三角形木框在太阳光下观察其投影，此木框在水平地面上的影子不可能是( )
A.——— B.● C. D.
【举一反三4】下面四个图是同一天四个不同时刻树的影子，其时间由早到晚的顺序为( )
A.1234 B.4312 C.3421 D.4231
【题型2】与中心投影有关的计算
【典型例题】圆桌面(桌面中间有一个直径为0.4 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2 m，桌面离地面1 m，若灯泡离地面3 m，则地面圆环形阴影的面积是( )
A.0.324π m2 B.0.288π m2 C.1.08π m2 D.0.72π m2
【举一反三1】如图所示，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B处直走到点A处时，小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】一块直角三角形板ABC，∠ACB＝90°，BC＝12 cm，AC＝8 cm，测得BC边的中心投影B1C1长为24 cm，则A1B1长为________ cm.
【举一反三3】三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图1所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．(不写作法，保留作图痕迹)
【举一反三4】如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯．在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为4π m2的圆．已知圆桌的高度为1.5 m，圆桌面的半径为1 m，试求吊灯距圆桌面的高度．
【题型3】与平行投影有关的计算和作图
【典型例题】同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为( )
A.3.2米 B.4.8米 C.5.2米 D.5.6米
【举一反三1】当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10 m，树高h(单位：m)的范围是( )
A.3＜h＜5 B.5＜h＜10 C.10＜h＜15 D.15＜h＜20
【举一反三2】如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8 m，他在地面上的影长为2.1 m．若小芳比他爸爸矮0.3 m，则她的影长为________ m.
【举一反三3】如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=1 m,窗高CD=1.5 m,并测得OE=1 m,OF=5 m,求围墙AB的高度．
【题型4】正投影
【典型例题】如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】正方形的正投影不可能是( )
A.线段 B.矩形 C.正方形 D.梯形
【举一反三3】如图所示，右面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )
A. B. C. D.
【题型5】中心投影的意义
【典型例题】如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是( )
A.越来越小 B.越来越大 C.大小不变 D.不能确定
【举一反三1】灯光下的两根小木棒A和B，它们竖立放置时的影子长分别为lA和lB，若lA＞lB.则它们的高度为hA和hB满足( )
A.hA＞hB B.hA＜hB C.hA≥hB D.不能确定
【举一反三2】如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A.逐渐变短
B.先变短后变长
C.先变长后变短
D.逐渐变长
【举一反三3】如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是________．
【举一反三4】确定图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．
