21.1一元二次方程
【知识点1】一元二次方程的定义 1
【知识点2】一元二次方程的解 2
【知识点3】一元二次方程的一般形式 3
【题型1】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 4
【题型2】利用一元二次方程解决代数问题 6
【题型3】利用一元二次方程解决几何问题 8
【题型4】求未知字母或代数式的值 11
【题型5】直接利用一元二次方程的解 14
【题型6】一元二次方程的辨别 16
【知识点1】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
1.（2025春 芝罘区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+1=0 B． C．x2+y=3 D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2.（2025春 松北区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x（x-4）=0 B．x+y-5=0 C． D．4x-9=0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、由原方程得到：3x2-4x=0，该方程中仅含未知数x,且最高次数为2，是整式方程，符合定义，是一元二次方程，符合题意；
B、方程x+y-5=0中含两个未知数x和y,不是一元方程，不符合题意；
C、方程中含分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程4x-9=0中只含有一个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
【知识点2】一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
1.（2024 凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2-4=0且a+2≠0，解得a的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，
∴a2-4=0且a+2≠0，
解得：a=2，
故选：A．
2.（2025 东莞市模拟）若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【分析】将方程的解x=1代入方程中求解即可．
【解答】解：∵x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，
∴1+m+1=0，解得m=-2，
故选：D．
【知识点3】一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
1.（2024秋 兴隆县期末）方程2x2-3x=1化为一般形式后，常数项为（ ）
A．2 B．-3 C．1 D．-1
【答案】D
【分析】把原方程化为一般式，即可求解．
【解答】解：∵2x2-3x=1，
∴2x2-3x-1=0，
∴常数项为-1．
故选：D．
2.（2025春 南岗区校级月考）对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，并变形后二次项系数为2，再找出一次项系数即可．
【解答】解：x=-2x2+1，
2x2+x-1=0，
即对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为1．
故选：A．
3.（2025春 香坊区校级期中）关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3，-5，-2 B．3，-5x,2 C．3，5x,-2 D．3，-5，2
【答案】D
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，和常数项即可．
【解答】解：方程整理得：3x2-5x+2=0，
则二次项系数，一次项系数，和常数项分别为3，-5，2．
故选：D．
【题型1】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
【典型例题】将一元二次方程2x2=3x-1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A.2，3 B.3，1 C.2x2，-3x D.2，-3
【答案】D
【解析】解：∵2x2=3x-1，
∴2x2-3x+1=0，
∴二次项系数和一次项系数分别为2，-3，
故选：D．
【举一反三1】关于x的方程(m＋n)x2＋－(m－n)x=0(m＋n≠0)的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为(m＋n)、－(m－n)和.根据题意得，解得，所以常数项为==.
【举一反三2】把一元二次方程3x2=4x-1化为一般式，当二次项为3x2时，一次项和常数项分别为（ ）
A.4x,-1 B.4x,1 C.-4x,-1 D.-4x,1
【答案】D
【解析】解：移项得3x2-4x+1=0，
所以二次项为3x2，一次项为-4x,常数项为1．
故选：D．
【举一反三3】把方程3x(x－1)＝(x＋2)(x－2)＋9化成ax2＋bx＋c＝0的形式为________________
【答案】2x2－3x－5＝0
【解析】3x2－3x=x2－4＋9,3x2－x2－3x＋4－9,2x2－3x－5＝0.
【举一反三4】若方程3x2=9x+1化为一般形式后的二次项为x2，则一次项的系数和常数项分别为 ．
【答案】-9．
【解析】解：∵3x2=9x+1，
∴x2-3x-=0，
∴一次项的系数为-3，常数项为-
故答案为：-3，-．
【举一反三5】将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
【答案】去括号，得：3x2-3x=5x+10
移项，合并同类项，得：3x2-8x-10=0
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
【题型2】利用一元二次方程解决代数问题
【典型例题】某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，每件获利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低1元，那么平均每天可多售出10件．商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价x元，根据题意可列方程为（ ）
A.（30+x）（100-10x）=3640
B.（30+x）（100+10x）=3640
C.（30-x）（100+10x）=3640
D.（30-x）（100-10x）=3640
【答案】C
【解析】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（30-x）元，每天可以售出（100+10x）件，
依题意，得：（30-x）（100+10x）=3640，
故选：C．
【举一反三1】某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元.设平均每次降价的百分率为x，可列方程为( )
A.100x(1－2x)=90
B.100(1＋2x)=90
C.100(1－x)2=90
D.100(1＋x)2=90
【答案】C
【解析】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格(1－降价的百分率)，则第一次降价后的价格是100(1－x)，第二次后的价格是100(1－x)2，据此即可列方程.
【举一反三2】某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则有（ ）
A.81（1+2x）=144 B.81（1+x2）=144 C.81（1+x）2=144 D.144（1-x）2=81
【答案】C
【解析】解：根据题意得：81（1+x）2=144．
故选：C．
【举一反三3】网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为________.
【答案】x(x－1)=90
【解析】设有x个好友，依题意，x(x－1)=90.
【举一反三4】根据国家统计局公布的数据显示，2023年全国粮食总产量为69541万吨，2021年全国粮食总产量为68285万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 ．
【答案】68285（1+x）2=69541．
【解析】解：根据题意得：68285（1+x）2=69541．
故答案为：68285（1+x）2=69541．
【举一反三5】参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？请列出方程，并将方程化成一元二次方程的一般形式.
【答案】解：设有x人参加聚会．第1个人分别与其他（x-1）个人握手；第2个人分别与其他（x-1）个人握手……依次类推，共x个人，如此共有x（x-1）次握手，但此时每两个人之间都是按握了两次手进行计算的．因此，x个人每两人之间握一次手共握了
x（x-1）次手，我们就得到方程： x（x-1）=10．
将这个方程去分母得：x(x-1)=20
去括号，得x2-x=20
移项可得一元二次方程的一般形式为：x2-x-20=0
【举一反三6】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
【答案】解：
由题意可得，7×4=28（场），即共有28场比赛，
设比赛组织者应邀请x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛
x（x-1）=28.
【题型3】利用一元二次方程解决几何问题
【典型例题】如图，在长为100 m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644 m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为( )
A.100×80－100x－80x=7644
B.(100－x)(80－x)＋x2=7644
C.(100－x)(80－x)=7644
D.100x＋80x－x2=7644
【答案】C
【解析】道路的宽度为x米，根据题意得(100－x)(80－x)=7644.
【举一反三1】手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ）
A.（1000-4x）（40-2x）=15200
B.（1000-2×100-2x）（40-4x）=15200
C.（1000-2×100-2x）（40-2x）=15200
D.（1000-2×100-4x）（40-2x）=15200
【答案】D
【解析】解：若隔水的宽度为x cm,则画心的长为（1000-2×100-4x）cm,宽为（40-2x）cm,
根据题意得：（1000-2×100-4x）（40-2x）=15200．
故选：D．
【举一反三2】绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A.x(x－10)=900
B.x(x＋10)=900
C.10(x＋10)=900
D.2[x＋(x＋10)]=900
【答案】B
【解析】设绿地的宽为x，则长为10＋x；根据长方形的面积公式可得x(x＋10)=900.
【举一反三3】扬帆中学有一块长30m,宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度（花带等宽）．设花带的宽度为x m,则可列方程为（ ）
A.（30-x）（20-x）=×20×30 B.（30-2x）（20-x）=×20×30 C.30+2×20x=×20×30 D.（30-2x）（20-x）=×20×30
【答案】B
【解析】解：∵花带的宽度为x m,
∴剩余部分是长为（30-2x）m,宽为（20-x）m.
依题意得：（30-2x）（20-x）=（1-）×20×30，
即（30-2x） （20-x）=×20×30．
故选：B．
【举一反三4】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，若原正方形空地边长是x m，则可列方程为______________.
【答案】(x－1)(x－3)=20
【解析】设原正方形的边长为x m，依题意有(x－3)(x－2)=20.
【举一反三5】如图所示，一个农户用24 m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使三个鸡舍的总面积为36 m2.如果设每个鸡舍的长为x m，根据题意列出的方程是_____________.
【答案】(24－4x) x=36
【解析】设每个鸡舍的长为x m，则(24－4x) x=36.
【举一反三6】如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为______________.
【答案】(100－x)(80－x)=7644
【解析】设道路的宽应为x米，由题意有(100－x)(80－x)=7644.
【举一反三7】从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 m，竖着比城门高 m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，并把它化为一般形式.
【答案】解：设竹竿的长为x m.由题意得(x－)2＋(x－)2=x2.即x2－4x＋=0.
【题型4】求未知字母或代数式的值
【典型例题】关于x的一元二次方程x2+x+a2-4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
【答案】C
【解析】解：把x=0代入方程x2+x+a2-4=0，得a2-4=0．
解得a=±2．
故选：C．
【举一反三1】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2024，则一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0必有一根为（ ）
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
【答案】D
【解析】解：对于一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0，
设t=x-1，
所以at2+bt+2=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2024，
所以at2+bt+2=0有一个根为t=2024，
则x-1=2024，
解得x=2025，
所以一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0必有一根为x=2025．
故选：D．
【举一反三2】如果a是一元二次方程2x2=6x-4的根，则代数式a2-3a+2024的值为（ ）
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
【答案】B
【解析】解：∵a是一元二次方程2x2=6x-4的根，
∴2a2=6a-4，
∴2a2-6a=-4，
∴a2-3a=-2，
∴a2-3a+2024=-2+2024=2022，
故选：B．
【举一反三3】已知x=2是一元二次方程x2+mx+4=0的一个解，则m的值是（ ）
A.-4 B.4 C.0 D.0或4
【答案】A
【解析】解：因为x=2是一元二次方程x2+mx+4=0的一个解，
所以22+2m+4=0，
解得m=-4．
故选：A．
【举一反三4】如果a是关于x的一元二次方程x2－x＋m＋6=0的一个根，－a是关于x的一元二次方程x2＋x－m=0的一个根，则m的值是_______.
【答案】－3
【解析】∵a是关于x的一元二次方程x2－x＋m＋6=0的一个根，
∴a2－a＋m＋6=0，∴a2－a=－m－6.①
又∵－a是关于x的一元二次方程x2＋x－m=0的一个根，
∴a2－a－m=0，②
把①代入②得到,m＋6=－m，解得 m=－3.
【举一反三5】若关于x的一元二次方程mx2+nx-2023=0（m≠0）的一个解是x=1，则m+n+1的值是 ．
【答案】2024．
【解析】解：把x=1代入一元二次方程mx2+nx-2023=0得m+n-2023=0，
所以m+n=2023，
所以m+n+1=2023+1=2024．
故答案为：2024．
【举一反三6】已知m为方程x2+x-3=0的一个根，则代数式m3+2m2-2m+6的值为 ．
【答案】9．
【解析】解：∵m为方程x2+x-3=0的一个根，
∴m2+m-3=0．
∴m2+m=3．
∴m3+2m2-2m+6
=m3+m2+m2+m-3m+6
=m（m2+m）+（m2+m）-3m+6
=3m+3-3m+6
=9．
故答案为：9．
【举一反三7】先化简，再求值：，其中a是方程x2+x-4=0的解．
【答案】解：原式=÷=×=；
∵a是方程x2+x-4=0的解，
∴a2+a-4=0．
∴a2+a=4．
∴原式=．
【举一反三8】已知m是方程2x2-7x+1=0的一个根，求代数式m（2m-7）+5的值．
【答案】解：根据题意得：2m2-7m+1=0，
∴2m2-7m=-1，
∴m（2m-7）+5=2m2-7m+5=-1+5=4．
【题型5】直接利用一元二次方程的解
【典型例题】下列方程中，有一个根为－1的方程是( )
A.x2－x=0
B.x2－7x＋6=0
C.2x2－3x－5=0
D.3x2＋2x－5=0
【答案】C
【解析】将x=－1依次代入验证可的选项C是正确的.
【举一反三1】一元二次方程x2＋2x=0的解是( )
A.0 B.0或－2 C.－2 D.没有实数根
【答案】B
【解析】将选项中的数值代入验证即可.
【举一反三2】若a为方程x2＋x－5=0的解，则a2＋a＋7的值为( )
A.6 B.16 C.9 D.12
【答案】D
【解析】∵a为方程x2＋x－5=0的解，∴a2＋a－5=0，∴a2＋a=5，∴a2＋a＋7=5＋7=12.
【举一反三3】下列关于x的方程中一定有实数根－1的是( )
A.x2－x＋2=0
B.x2＋x－2=0
C.x2－x－2=0
D.x2＋1=0
【答案】C
【解析】把x=－1代入各个方程成立的只有x2－x－2=0，因而关于x的方程中一定有实数根－1的是x2－x－2=0.故本题选C.
【举一反三4】若a为方程x2＋x－5=0的解，则a2＋a＋7的值为( )
A.6 B.16 C.9 D.12
【答案】D
【解析】∵a为方程x2＋x－5=0的解，∴a2＋a－5=0，∴a2＋a=5，∴a2＋a＋7=5＋7=12.
【举一反三5】一元二次方程x2＋2x=0的解是( )
A.0 B.0或－2 C.－2 D.没有实数根
【答案】B
【解析】将选项中的数值代入验证即可.
【举一反三6】如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是
（只写一个）．
【答案】x2-9=0（答案不唯一）．
【解析】解：一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是x2-9=0；
故答案为：x2-9=0（答案不唯一）．
【举一反三7】已知方程ax2＋bx＋c=0的一个根是－1，则a－b＋c=_______.
【答案】0
【解析】把x=－1代入方程，可得a－b＋c=0.
【举一反三8】一元二次方程有一根为1，此方程可以是__________(写出一个即可).
【答案】x2－x=0
【解析】有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式(x－1)的一元二次方程都有一个根是1.
【举一反三9】如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是
（只写一个）．
【答案】x2-9=0（答案不唯一）．
【解析】解：一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是x2-9=0；
故答案为：x2-9=0（答案不唯一）．
【举一反三10】已知方程ax2＋bx＋c=0的一个根是－1，则a－b＋c=_______.
【答案】0
【解析】把x=－1代入方程，可得a－b＋c=0.
【题型6】一元二次方程的辨别
【典型例题】关于x的方程ax2＋bx＋c=0，有下列说法：
①若a≠0，则方程必是一元二次方程；
②若a=0，则方程必是一元一次方程，
那么上述说法( )
A.①②均正确
B.①②均错
C.①正确，②错误
D.①错误，②正确
【答案】C
【解析】关于x的方程ax2＋bx＋c=0，①若a≠0，则方程必是一元二次方程，正确；②若a=0，b≠0，则方程是一元一次方程，错误.
【举一反三1】已知关于x的方程（a-3）x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A.-1 B.2 C.-1或3 D.3
【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程（a-3）x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，
∴a-3≠0且|a-1|=2，
解得：a=-1，
故选：A．
【举一反三2】下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.ax2＋bx＋c＝0
B.＝2
C.x2＋2x＝y2－1
D.3(x＋1)2＝2(x＋1)
【答案】D
【解析】选项A.a=0时不是一元二次方程；选项B 是分式方程，错误；选项C.是二元二次方程，错误；选项D.3(x＋1)2＝2(x＋1)可化为3x2＋4x＋1=0是一元二次方程，正确.
【举一反三3】若（a-1）x|a-3|+5=0是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
【答案】5．
【解析】解：由题意得：|a-3|=2且a-1≠0，
∴a－3=2或a－3=－2，根据a≠1，得a=5
故答案为：5．
【举一反三4】当m 时，方程不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程.
【答案】=±1 ≠±1
【解析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于0时是一元二次方程，否则不是.
【举一反三5】已知关于x的方程：3x＋＝2x，2x2＋y=3，2x－x2=3，＋x2＝3，x=27x2.
(1)其中为一元二次方程的有哪些；
(2)对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑.
【答案】解：(1)是一元二次方程的是：2x－x2=3和x=27x2；
(2)一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.
【举一反三6】关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0，
（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
【答案】解：（1）∵关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0是一元二次方程，
∴k2-1≠0，
∴k≠±1，
所以k≠±1时关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0是一元二次方程；
（2）关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0是一元一次方程，
∴k2-1=0且k-1≠0，
∴k=-1，
∴k=-1时关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0是一元一次方程．21.1一元二次方程
【知识点1】一元二次方程的定义 1
【知识点2】一元二次方程的解 2
【知识点3】一元二次方程的一般形式 2
【题型1】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数 3
【题型2】利用一元二次方程解决代数问题 3
【题型3】利用一元二次方程解决几何问题 4
【题型4】求未知字母或代数式的值 7
【题型5】直接利用一元二次方程的解 8
【题型6】一元二次方程的辨别 9
【知识点1】一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
1.（2025春 芝罘区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+1=0 B． C．x2+y=3 D．
2.（2025春 松北区期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x（x-4）=0 B．x+y-5=0 C． D．4x-9=0
【知识点2】一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
1.（2024 凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．
2.（2025 东莞市模拟）若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【知识点3】一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
1.（2024秋 兴隆县期末）方程2x2-3x=1化为一般形式后，常数项为（ ）
A．2 B．-3 C．1 D．-1
2.（2025春 南岗区校级月考）对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般式后二次项系数为2，则一次项系数为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
3.（2025春 香坊区校级期中）关于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3，-5，-2 B．3，-5x,2 C．3，5x,-2 D．3，-5，2
【题型1】利用一元二次方程的一般形式确定各项系数
【典型例题】将一元二次方程2x2=3x-1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A.2，3 B.3，1 C.2x2，-3x D.2，-3
【举一反三1】关于x的方程(m＋n)x2＋－(m－n)x=0(m＋n≠0)的二次项系数与一次项系数的和为，差为2，则常数项为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】把一元二次方程3x2=4x-1化为一般式，当二次项为3x2时，一次项和常数项分别为（ ）
A.4x,-1 B.4x,1 C.-4x,-1 D.-4x,1
【举一反三3】把方程3x(x－1)＝(x＋2)(x－2)＋9化成ax2＋bx＋c＝0的形式为________________
【举一反三4】若方程3x2=9x+1化为一般形式后的二次项为x2，则一次项的系数和常数项分别为 ．
【举一反三5】将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
【题型2】利用一元二次方程解决代数问题
【典型例题】某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，每件获利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低1元，那么平均每天可多售出10件．商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价x元，根据题意可列方程为（ ）
A.（30+x）（100-10x）=3640
B.（30+x）（100+10x）=3640
C.（30-x）（100+10x）=3640
D.（30-x）（100-10x）=3640
【举一反三1】某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是90元.设平均每次降价的百分率为x，可列方程为( )
A.100x(1－2x)=90
B.100(1＋2x)=90
C.100(1－x)2=90
D.100(1＋x)2=90
【举一反三2】某网络学习平台2021年的新注册用户数为81万，2023年的新注册用户数为144万．设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则有（ ）
A.81（1+2x）=144 B.81（1+x2）=144 C.81（1+x）2=144 D.144（1-x）2=81
【举一反三3】网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为________.
【举一反三4】根据国家统计局公布的数据显示，2023年全国粮食总产量为69541万吨，2021年全国粮食总产量为68285万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 ．
【举一反三5】参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？请列出方程，并将方程化成一元二次方程的一般形式.
【举一反三6】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？
【题型3】利用一元二次方程解决几何问题
【典型例题】如图，在长为100 m，宽为80 m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644 m2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x m，则可列方程为( )
A.100×80－100x－80x=7644
B.(100－x)(80－x)＋x2=7644
C.(100－x)(80－x)=7644
D.100x＋80x－x2=7644
【举一反三1】手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ）
A.（1000-4x）（40-2x）=15200
B.（1000-2×100-2x）（40-4x）=15200
C.（1000-2×100-2x）（40-2x）=15200
D.（1000-2×100-4x）（40-2x）=15200
【举一反三2】绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )
A.x(x－10)=900
B.x(x＋10)=900
C.10(x＋10)=900
D.2[x＋(x＋10)]=900
【举一反三3】扬帆中学有一块长30m,宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度（花带等宽）．设花带的宽度为x m,则可列方程为（ ）
A.（30-x）（20-x）=×20×30 B.（30-2x）（20-x）=×20×30 C.30+2×20x=×20×30 D.（30-2x）（20-x）=×20×30
【举一反三4】如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，若原正方形空地边长是x m，则可列方程为______________.
【举一反三5】如图所示，一个农户用24 m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使三个鸡舍的总面积为36 m2.如果设每个鸡舍的长为x m，根据题意列出的方程是_____________.
【举一反三6】如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为______________.
【举一反三7】从前有一个醉汉拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 m，竖着比城门高 m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程，并把它化为一般形式.
【题型4】求未知字母或代数式的值
【典型例题】关于x的一元二次方程x2+x+a2-4=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
【举一反三1】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0（a≠0）有一根为x=2024，则一元二次方程a（x-1）2+bx-b+2=0必有一根为（ ）
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
【举一反三2】如果a是一元二次方程2x2=6x-4的根，则代数式a2-3a+2024的值为（ ）
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
【举一反三3】已知x=2是一元二次方程x2+mx+4=0的一个解，则m的值是（ ）
A.-4 B.4 C.0 D.0或4
【举一反三4】如果a是关于x的一元二次方程x2－x＋m＋6=0的一个根，－a是关于x的一元二次方程x2＋x－m=0的一个根，则m的值是_______.
【举一反三5】若关于x的一元二次方程mx2+nx-2023=0（m≠0）的一个解是x=1，则m+n+1的值是 ．
【举一反三6】已知m为方程x2+x-3=0的一个根，则代数式m3+2m2-2m+6的值为 ．
【举一反三7】先化简，再求值：，其中a是方程x2+x-4=0的解．
【举一反三8】已知m是方程2x2-7x+1=0的一个根，求代数式m（2m-7）+5的值．
【题型5】直接利用一元二次方程的解
【典型例题】下列方程中，有一个根为－1的方程是( )
A.x2－x=0
B.x2－7x＋6=0
C.2x2－3x－5=0
D.3x2＋2x－5=0
【举一反三1】一元二次方程x2＋2x=0的解是( )
A.0 B.0或－2 C.－2 D.没有实数根
【举一反三2】若a为方程x2＋x－5=0的解，则a2＋a＋7的值为( )
A.6 B.16 C.9 D.12
【举一反三3】下列关于x的方程中一定有实数根－1的是( )
A.x2－x＋2=0
B.x2＋x－2=0
C.x2－x－2=0
D.x2＋1=0
【举一反三4】若a为方程x2＋x－5=0的解，则a2＋a＋7的值为( )
A.6 B.16 C.9 D.12
【举一反三5】一元二次方程x2＋2x=0的解是( )
A.0 B.0或－2 C.－2 D.没有实数根
【举一反三6】如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是
（只写一个）．
【举一反三7】已知方程ax2＋bx＋c=0的一个根是－1，则a－b＋c=_______.
【举一反三8】一元二次方程有一根为1，此方程可以是__________(写出一个即可).
【举一反三9】如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是
（只写一个）．
【举一反三10】已知方程ax2＋bx＋c=0的一个根是－1，则a－b＋c=_______.
【题型6】一元二次方程的辨别
【典型例题】关于x的方程ax2＋bx＋c=0，有下列说法：
①若a≠0，则方程必是一元二次方程；
②若a=0，则方程必是一元一次方程，
那么上述说法( )
A.①②均正确
B.①②均错
C.①正确，②错误
D.①错误，②正确
【举一反三1】已知关于x的方程（a-3）x|a-1|+x-1=0是一元二次方程，则a的值是（ ）
A.-1 B.2 C.-1或3 D.3
【举一反三2】下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A.ax2＋bx＋c＝0
B.＝2
C.x2＋2x＝y2－1
D.3(x＋1)2＝2(x＋1)
【举一反三3】若（a-1）x|a-3|+5=0是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
【举一反三4】当m 时，方程不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程.
【举一反三5】已知关于x的方程：3x＋＝2x，2x2＋y=3，2x－x2=3，＋x2＝3，x=27x2.
(1)其中为一元二次方程的有哪些；
(2)对比各方程的特征请说明：判断一个方程为一元二次方程应从哪几方面考虑.
【举一反三6】关于x的方程（k2-1）x2+2（k-1）x+2k+2=0，
（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
