苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列各式中，y是x的二次函数是（　　）
A．y=3x-1 B． C．y=x2+x D．y=2x3-1
2．（2021 河南二模）如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm,3cm,其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为x cm,小球滚动的区域（空白区域）面积为y cm2，则下列所列方程正确的是（　　）
A．y=5×3-3x-5x B．y=（5-x）（3-x）
C．y=3x+5x D．y=（5-x）（3-x）+5x2
3．函数的对称轴是（　　）
A．y=-2 B．y=2 C．x=-2 D．x=2
4．已知二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下，则a的取值范围是（　　）
A．a=2 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
5．已知点（1，y1），（2，y2），（-3，y3）都在二次函数y=-2024x2的图象上，则下列结论正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
6．已知抛物线y=a（x-h）2-3（a,h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线y=a（x-h）2-3中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x … -1 0 1 3 4 …
y=a（x-h）2-3 … 6 -2 -2 …
下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴是直线x=1
B．当x＜2时，y随x的增大而增大
C．将抛物线向上平移1个单位后经过原点
D．点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（4，1）
7．若抛物线y=（a-1）x2+1，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＞0 C．a≥1 D．a＜1
8．已知二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0且a,h,k均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则下列结论正确的是（　　）
A．a＜0，h＜0，k＞0 B．a＞0，h＜0，k＜0
C．a＞0，h＞0，k＜0 D．a＜0，h＞0，k＜0
9．已知二次函数y=mx2-2mx+2（m≠0）在-2≤x≤2时有最小值-2，则m=（　　）
A．-4或- B．4或- C．-4或 D．4或
10．如图，正方形ABCD的边AD在x轴上，顶点B、C在二次函数的图象上，直线AC对应的函数表达式为y=-x-2，则这个二次函数图象对应的函数表达式为（　　）
A． B．y=-x2 C．y=-2x2 D．y=-4x2
11．如图所示各图是在同一平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+（a+c）x+c与一次函数y=ax+c的大致图象．正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x=-1．下列结论：①3a+c＞0；②若点（-4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为-2＜x＜0．其中正确的结论为（　　）
A．①②④ B．②④ C．②③ D．②③④
二．填空题（共5小题）
13．二次函数y=x2+2x+7的图象的开口方向为 ______，顶点坐标为 ______．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c,对任意的自变量x都有ax2+bx≥4a+2b,若该抛物线过点A（4-m,y1），B（m+1，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是 ______．
15．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知使函数值y＜0的x的取值范围是 ______．
16．图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB=50米和CD=40米（如图2所示），x轴表示桥面，BC=10米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状相同，则的值为 ______．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知二次函数y=x2，OACB为矩形，A，B在抛物线上，当A，B运动时，点C也在另一个二次函数图象上运动，设C（x,y），则y关于x的函数表达式为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A，且过点B（-1，2），C（3，0）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，当抛物线经过点B时，求m的值；
（3）若P是抛物线上位于第一象限内的一点，且S△ABC=2S△ACP，求点P的坐标．
19．在我市迎接全国文明城市复检的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为6m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG=2BE．如果设BE的长为x（单位：m），绿地 AEFG 的面积为y（单位：m2 ）．
（1）请写出y与x的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）当BE为多少时绿地AEFG的面积最大，并求出最大面积．
20．如图，已知抛物线W1：y=ax2+bx+3与x轴分别交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．分别连接AC、BC．
（1）求抛物线W1的函数表达式；
（2）将抛物线W1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线W3，两条抛物线相交于点P，分别连接PA、PB，若，求m的值．
21．如图，抛物线y=ax2+（4a-1）x-4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC=2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；
（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，直接写出m的值．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b与x轴交于A、B两点，A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）如图1，求抛物线解析式；
（2）如图2，直线y=x+m与x轴和抛物线分别交于点E、P，交CO于点D，P点的横坐标为t,CD的长用d表示，求d与t的函数关系式（不要求写出t取值范围）；
（3）如图3，在（2）问条件下，点M是OB上一点（点M的横坐标大于t），连接PM，PD的垂直平分线交BM于点F，交PM于点N，当cos∠DPO=，PN=3MN时，求m的值．
苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、D 4、D 5、A 6、D 7、A 8、C 9、B 10、B 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、向上；（-1，6）； 14、m＞； 15、x＜-1或x＞5； 16、； 17、y=x2+2；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）把B（-1，2），C（3，0）代入y=ax2+bx+3，
则，
解得，
∴抛物线的函数解析式为y=-x2+x+3；
（2）∵y=-x2+x+3，
∴对称轴为直线x=-=，
令B点关于对称轴的对称点为B′，
∴B′（2，2），
∴BB′=3，
∵抛物线向左平移m（m＞0）个单位经过点B，
∴m=3；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+n,
把A（0，3），C（3，0）代入y=kx+n得：，
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
过点B作BD⊥y轴交AC于点D，如图：
则点D的纵坐标为2，
把y=2代入y=-x+3得，-x+3=2，
解得x=1，
∴D（1，2），
∴BD=2，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=×1 BD+×2 BD=1+2=3，
过点P作PE⊥x轴交AC于点E，
设点P（x,-x2+x+3），则E（x,-x+3），
∴PE=-x2+x+3-（-x+3）=-x2+x,
∵S△ABC=2S△ACP=3，
∴S△ACP=，
∵S△ACP=×3 PE=．
∴PE=1，
令-x2+x=1，
解得x=1或2，
∴当x=1时，y=-++3=3；
当x=2时，y=-×4+×2+3=2，
∴P（1，3）或（2，2）．
19、解：（1）由图形可得：y=AE AG=（6-x）（6+2x）
即y=-2x2+6x+36（0＜x＜6）；
（2）解析式变形为y=-2（x-）2+，
所以当x=时，y有最大值为，
答：当BE为m时绿地AEFG的面积最大，最大面积为m2．
20、解：（1）∵抛物线W1：y=ax2+bx+3与x轴分别交于A（-3，0）、B（1，0）两点，
∴抛物线W1的解析式设为y=a（x+3）（x-1），
即y=ax2-2ax-3a,
∴-3a=3，
解得a=-1，
∴抛物线W1的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）当x=0时，y=-x2-2x+3=3，
∴C（0，3），
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
而抛物线W1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线W3，
∴抛物线W3的解析式为y=-（x+1-m）2+4，
解方程组得，
∴P点坐标为（，-+4），
∵，
即12S△PAB=7S△ABC，
∴12××（3+1）×|-m2+4|=7××（3+1）×3，
∴-m2+16=7或-m2+16=-7，
解方程-m2+16=7得m1=-3（舍去），m2=3，
解方程-m2+16=-7得m1=-（舍去），m2=，
综上所述，m的值为3或．
21、解：（1）在抛物线y=ax2+（4a-1）x-4中，
当x=0时，y=-4，
∴C（0，-4），
∴OC=4，
∵OC=2OB，
∴OB=2，
∴B（2，0），
将B（2，0）代入y=ax2+（4a-1）x-4，
得，a=，
∴抛物线的解析式为y=x2+x-4；
（2）设点D坐标为（x,0），
∵四边形DEFH为矩形，
∴H（x,x2+x-4），
∵y=x2+x-4=（x+1）2-，
∴抛物线对称轴为x=-1，
∴点H到对称轴的距离为x+1，
由对称性可知DE=FH=2x+2，
∴矩形DEFH的周长C=2（2x+2）+2（-x2-x+4）=-x2+2x+12=-（x-1）2+13，
∴当x=1时，矩形DEFH周长取最大值13，
∴此时H（1，-2），
∴HF=2x+2=4，DH=2，
∴S矩形DEFH=HF DH=4×2=8；
（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，
过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，
由（2）知，抛物线对称轴为x=-1，H（1，-），
∴G（-1，-），
设直线BH的解析式为y=kx+b,
将点B（2，0），H（1，-）代入得：
，解得：，
∴直线BH的解析式为y=x-5，
∴可设直线MN的解析式为y=x+n,
将点（-1，-）代入，得n=，
∴直线MN的解析式为y=x+，
当y=0时，x=-，
∴M（-，0），
∵B（2，0），
∴将抛物线沿着x轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，
∴m的值为．
22、解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+2x+b,
∴，
解得，
∴y=-x2+2x+；
（2）令x=0，则y=m,
∴D（0，m），
∵P点的横坐标为t,
∴P（t,-t2+2t+），
令y=0，则x=，
∴C（0，），
∴d=-m,
设直线PD的解析式为y=kx+b,
∴，
解得，
∴y=（-t+2+）x+m,
∴-t+2+=1，
∴m=-t2+t+，
∴d=t2-t；
（3）如图，
设PD的垂直平分线交y轴于Q，连接PQ，作PG⊥OF于G，过N点作NH⊥QP，交QP的延长线于H，HN交x轴于R，连接ON，作DT⊥OP于T，
∴PQ=DQ，
∵y=x+m与y轴所成的锐角∠PDQ=45°，
∴∠QPD=∠PDQ=45°，
∴∠PQD=90°，
∴PQ∥x轴，
∵QF⊥PD，
∴∠DQF=∠PDF=，
∵∠QOF=90°，
∴=tan∠DQF=tan45°=1，
∴OQ=OF，
∵∠PQO=∠PGO=∠QOG=90°，
∴四边形PQOG是矩形，
∴PG=OQ，
∴PG=OF，
∵PG∥OQ，
∴∠DPG=∠PDQ=45°，
∵cos∠GPM==，cos∠OPD=，
∴∠GPM=∠OPD，
∴∠GPM+∠OPG=∠OPD+∠OPG，
∴∠OPM=∠DPG=45°，
∴∠OPM=OQF=45°，
∴点Q、O、N、P共圆，
∴∠ONP+∠PQO=180°，
∵∠PQO=90°，
∴∠ONP=90°，
∴△PON是等腰直角三角形，∠PNH+∠ONR=90°，
∴PN=ON，
∵∠H=∠NRO=90°，
∴∠PNH+∠NPH=90°，
∴∠NPH=∠ONR，
∴△PNH≌△NOR（AAS），
∴PH=NR，
∵PQ∥OF，
∴△PHN∽△MRN，
∴，
∵PN=3MN，
∴，
∴，
即tan∠MNR=，
∵RN∥PG，
∴∠MPG=∠MNR，
∴∠OPD=∠MNR，
∴tan∠OPD=，
∵，
设DT=n,PT=3n,
∴PD==n,
∴PQ=DQ=PD=n=，
设OT=k,则OD==，
由△ODT∽△OPQ得，
，
∴=，
∴k=2n,
∴，
∴，
∴-x2+2x+=2x,
∴x1=2，x2=-2（舍去），
∴P（2，4），
把x=2，y=4代入y=x+m得，
m=2．