苏科版九年级下第6章 图形的相似 单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC=3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　）
A．4.5 B．8 C．12 D．13.5
2．若=，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（　　）
A．1.236米 B．0.764米 C．1.412米 D．1.632米
4．如图，点D是△ABC的边BC的中点，过点D作DE∥AB交AC于点E，点F在AE上，AF=，连接DF并延长，与BA的延长线交于点G．若AB=6，则线段BG的长为（　　）
A． B．7 C． D．8
5．如图，已知AB∥CD∥EF，AC：CE=2：3，BD=3，那么DF的长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
6．如图，已知DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中正确的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
7．如图，在 ABCD中，M、N为对角线BD上的两点，连结AM并延长交BC于点E，连结EN并延长交AD于点F，若BM：MN：ND=1：2：1，则AF：FD的值为（　　）
A．7：1 B．8：1 C．9：1 D．10：1
8．如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE=1：2，若S△AEF=3，则S△CDF=（　　）
A．27 B．18 C．9 D．3
9．如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DFC的面积比为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G，且G为CF的中点．若AB=4，BC=5，则BG的长为（　　）
A．4 B． C． D．
11．如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM，则下列结论错误的是（　　）
A．△AMN是等边三角形
B．MN的最小值是
C．当MN最小时，S△CMN=S菱形ABCD
D．当OM⊥BC时，OA2=DN AB
12．如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），O为AB的中点，P为AC延长线上的一个动点，线段PB的垂直平分线交线段OC于点E，D为垂足，当P点运动时，给出下列四个结论，其中正确的个数是（　　）
①E为△ABP的外心；②∠PEB=90°；③PC BE=OE PB；④CE+PC=AB．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
13．已知x=2y,则=______．
14．如图，在△ABC中，点E为AC中点，∠AED=∠B，AD=8，BD=17，则AC的长度为 ______．

15．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB、AC上．已知AC=3，AB=4，BC=5，设EF=x,矩形DEFG的面积为y,那么y关于x的函数关系式为 ______．（不必写出定义域）
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E在DC上，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则S△DEF：S△BAF=______．
17．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=4，E为边AB上一点，AE=2BE，连接DE，G为边BC上一点，连接AG，将△ABG沿AG翻折，点B的对应点F恰好落在DE的中点处，则AG=______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．
（1）求证：△ABC∽△ADB；
（2）求线段CD的长．
19．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且CD2=CF CA．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8，CD=4，求EF的长．
20．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，连接BE，在线段BE上取一点P，连接CP，∠AEB+∠EBA=90°．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）过点P作PH⊥BC于点H，若PC=PB，求证：△PCH∽△BEA．
21．（2024 武汉模拟）探索发现 如图（1），F是正方形ABCD边AB上的点，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF=90°，连接BD交EF于点G，连接CE．
（1）求证：△DEG∽△DAF；
（2）若FG=EG，求的值；
迁移拓展 如图（2），F，H是菱形ABCD边AB，CD上的点，连接BD，FH交于点G，∠BAD=120°，∠DFH=30°，若F为AB的中点，直接写出的值．
22．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：正方形透明纸片ABCD，点E在BC边上，如图1，连接AE，沿经过点B的直线折叠，使点E的对应点E′落在AE上，如图2，把纸片展平，得到折痕BF，如图3，折痕BF交AE于点G．
根据以上操作，请直接写出图3中AE与BF的位置关系 ______，BE与CF的数量关系 ______；
（2）迁移探究
小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下：
将矩形透明纸片ABCD按照（1）中的方式操作，得到折痕BF，折痕BF交AE于点G，
如图4，若mAB=nAD，改变点E在BC上的位置，那么的值是否能用含m,n的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由；
（3）拓展应用
如图5，已知正方形纸片ABCD的边长为4，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为 ______，点G的运动路径长度为 ______（直接写出答案即可）．
苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、A 4、C 5、B 6、D 7、B 8、A 9、B 10、C 11、B 12、D
二．填空题（共5小题）
13、2； 14、20； 15、； 16、； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A（公共角），
∴△ABC∽△ADB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，
∴=，
即=，
∴CD=5．
19、（1）证明：连接OD，AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
∵∠C=∠ABC，
∴AC=AB，
∴CD=BD，∠OAD=∠CAD．
∵CD2=CF CA，
∴，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CAD，
∴∠CDF=∠CAD．
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CDF．
∵∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠ODA+∠FDA=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥EF．
∵OD为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知：∠OAD=∠CAD，∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵OD⊥EF，
∴EF⊥AC．
∵CD=4，
∴BD=CD=4，
∴BC=8．
∵⊙O的直径为8，AC=AB，
∴AB=AC=8．
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=60°，
∴CF=CD cos60°=2，
∴FA=AC-CF=8-2=6，
∴EF=FA tan60°=6．
20、证明：（1）∵∠AEB+∠EBA=90°，
∴∠A=180°-90°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是矩形；
（2）∵PH⊥BC于点H，PC=PB，
∴∠BPH=∠CPH，
由（1）知四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠A=90°，
∴AB⊥BC，
∴PH∥AB，
∴∠BPH=∠ABE，
∴∠ABE=∠CPH，
∵∠PHC=∠A=90°，
∴△PCH∽△BEA．
21、探索发现：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴DA=AB=BC=CD，∠A=90°，∠ADB=CDB=45°，
∴∠ADF+∠BDF=45°，
∵△DEF为等腰直角三角形，∠DEF=90°，
∴∠EDF=45°，ED=EF，
∴∠EDG+∠BDF=45°，
∴∠EDG=∠ADF，
又∵∠DEF=∠A=90°，
∴△DEG∽△DAF；
（2）解：设EG=a,则FG=EG=a,
∴ED=EF=2a,
在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF==，
∵△DEG∽△DAF，
∴ED：DA=EG：AF，
即2a：DA=a：AF，
∴DA=2AF，
即AB=2AF，
∴点F为AB的中点，
即AF=BF，
在Rt△ABCD中，BC=CD，由勾股定理得：BD=CD，
∴，
∵，
∴==，
又∵∠BDF+∠BDE=∠EDF=45°，∠CDE+∠BDE=∠CBD=45°，
∴∠BDF=∠CDE，
∴△BDF∽△CDE，
∴==，
∴=；
迁移拓展：
解：过点D作DK⊥AB交BA延长线于点K，如图所示：
则∠K=90°，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴∠BAD=120°，AB∥CD，设AB=BC=CD=AD=2a,∠DBF=30°，
∴∠KDA=∠BAD-∠K=120°-90°=30°，
在Rt△ADK中，则AK=AD=a,由勾股定理得：DK=，
∵点F是AB中点，
∴AF=BF=a,
∴FK=AF+AK=2a,
在Rt△DKF中，由勾股定理得：DF=，
在Rt△DKB中，∠DBF=30°，
∴DB=2DK=，
∵∠FDG=∠BDF，∠DFG=∠DBF=30°，
∴△DFG∽△DBF，
∴DF：DB=DG：DF，
∴DG==，
∴BG=DB-DG=，
∵BF∥DH，
∴△BFG∽△DHG，
∴FG：GH=BG：DG=：，
即的值为．
22、解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
根据折叠可得AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=∠ABG+∠FBC=90°，
∴∠BAE=∠FBC．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
故答案为：AE⊥BF；BE=CF．
（2）能，，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCF=90°，AD=BC，
又∵AE⊥BF，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAE+∠ABG=∠ABG+∠FBC=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
∴△ABE∽△BCF，
∴，
∴mAB=nAD，
∴，
即；
（3）如图，取AB的中点M，连接DM，GM，
由题意知AE=DF，
∵∠BAD=∠ADF，AB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），
∴∠DAF=∠ABE，
∴∠AGB=∠DAF+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°，
∵M是AB的中点，AB=4，
∴AM=MB=MG=2，
在Rt△ADM中，MD===2，
在△MGD中，DG≥MD-MG=2-2，
∴DG的最小值是2-2，
∵MA=MG=MB=2，
∴点G在以点M为圆心，半径为2的圆上运动，
∴点G的运动轨迹的长为2π÷2=π，
故答案为：；π．