湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试（含答案）
文档属性
| 名称 | 湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-02 20:06:44 | ||
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文档简介
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y=x2-+1 B．y=（m-3）x2+x-1
C．y=2πx2 D．y=ax2+bx+c
2．抛物线y=2x2-6x+c与y轴交于点（0，2c-4），则c的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
3．将抛物线y=x2+2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2+2x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=x2-2x D．y=x2+6x+8
4．抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知抛物线y=x2+（m+1）x+m,当x=1时，y＞0，且当x＜-2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．-1＜m＜1 B．m＜-1或m＞3 C．-1＜m＜3 D．-1＜m≤3
6．函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y=-（x+3）2-2的最大值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-3
8．二次函数y=（x-k）2-1当x＜3时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k=3 B．k＞3 C．k≥3 D．k≤3
9．把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．0＜m＜3 D．m≤3
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数y=ax-b与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x≤3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知A（-3，-2），B（1，-2），抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥-2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为-5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
二．填空题（共5小题）
13．写一个图象顶点为（1，-2）的二次函数表达式：______．
14．二次函数y=x2+3x+1的图象与x轴______交点．（填“有”或“没有”）
15．如图，二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n交点的横坐标分别为-2和1，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ______．
16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①abc＞0；②9a+c＞3b；③当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞5；⑤若，C（m2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；⑥4a+2b＞m（am+b）（m≠2（m≠2的实数）．其中正确的结论是 ______（填写正确结论的序号）．
17．如图，一段抛物线y=-x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O，A1；将抛物C1线绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于另一点A2；将抛物线C2绕点A2，旋转180°得抛物线C3，交x轴于另一点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点M（2023，m）在此“波浪线”上，则m的值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，抛物线y=-x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式？
（2）求△ABC的面积？
（3）求根据图象回答：当x取何值时，y＞0．
19．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）利用图象的特点填空：
①当x= ______时，方程ax2+bx+c=-4；
②不等式-4＜ax2+bx+c＜0的解集为 ______．
20．已知如图：抛物线交x轴于点B（1，0）、点C（3，0），交y轴于点A（0，3），点B、点D关于y轴对称．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线上对称轴右侧一点，连接AP、DP，求△ADP面积的最大值．
21．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）．
（1）若a=1，函数图象经过点（0，-4）和（3，-1），求函数图象的顶点坐标．
（2）若a=-1，函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2，求证：2b+c＞4．
（3）若函数图象经过点（2，m），当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m,求a的值．
22．已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=-2x2+bx+c过A，B两点，交x轴负半轴于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线对称轴上找一点H，使△BGH周长最小，求出点H的坐标和△BGH周长的最小值；
（3）如图1，点P是直线AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，设抛物线顶点为M，抛物线对称轴交AB于点N，是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（4）如图2，点E（0，1）在y轴上，连接AE，抛物线上若存在一点F，使∠FEO与∠EAO互补，请直接写点F的横坐标．
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、C 3、A 4、A 5、D 6、D 7、C 8、C 9、A 10、C 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、y=2（x-1）2-2（答案不唯一）； 14、有； 15、x＜-2或x＞1； 16、④⑥； 17、-7；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）将A（1，0）代入y=-x2+5x+n中，得-1+5+n=0，
解得：n=-4，
∴抛物线的解析式为y=-x2+5x-4．
（2）当x=0时，y=-x2+5x-4=-4，
∴B（0，-4），
当y=0时，则，-x2+5x-4=0，
解得x=1或4，
∴C（4，0），
∴AC=4-1=3，
∴S△ABC= AC OB=×3×4=6；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，y＞0．
19、解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得-3=a×1×（-3），
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x2-2x-3；
（2）①∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴当x=1时，y有最小值-4，
即x=1时，方程ax2+bx+c=-4
故答案为：1；
②不等式-4＜ax2+bx+c＜0的解集为-1＜x＜3且x≠1．
故答案为：-1＜x＜3且x≠1．
20、解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得3=a×（-1）×（-3），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）（x-3），
即y=x2-4x+3；
（2）∵y=（x-2）2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵点B、点D关于y轴对称，
而B（1，0），
∴D（-1，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b,
把A（0，3），D（-1，0）分别代入得，
解得，
∴直线D的解析式为y=3x+3，
解方程组得或，
∴抛物线与直线AD相交于点（0，3）和（7，24），
过P点作PQ∥y轴交直线AD于Q点，如图，
设P（t,t2-4t+3），则Q（t,3t+3），
当t＞7时，△ADP面积的没有最大值；
当2＜t＜7，
∴PQ=3t+3-（t2-4t+3）=-t2+7t,
∴S△ADP=×1×PQ=-t2+t=-（t-）2+，
∴当t=时，△ADP面积的有最大值，最大值为．
21、（1）解：由题意可得：，
解得，
∴二次函数解析式为y=x2-2x-4，
整理得y=（x-1）2-5，
∴函数图象的顶点坐标为：（1，-5）；
（2）证明：若 a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c,
∴抛物线开口向下．
又图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2，
∴当 x=2 时，y=-4+2b+c＞0，
∴2b+c＞4．
（3）解：由题意可得：4a+2b+c=m①，
∵当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m,
∴函数图象在x=2时取得最小值m,即②，
∴a＞0，
∵x≤1在x=2的左侧，
∴当x=1时，y=m+1，即a+b+c=m+1③，
由①②③解得a=1．
22、解：（1）对y=-2x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，x=2，
∴点A（2，0），点B（0，4），
把A（2，0），B（0，4）分别代入y=-2x2+bx+c中得：
，
解之得，
∴抛物线解析式为y=-2x2+2x+4；
（2）∵点A（2，0），抛物线的对称轴为：x=，
由对称性得：点A和G关于抛物线的对称轴对称，
∴G（-1，0），
∴连接AB与对称轴的交点即为点H，
此时BH+GH为最小，最小值为AB的长度，
∴△BGH周长的最小值为AB+BG，
∵AB==2，BG==，
∴△BGH周长的最小值为2+，
当x=时，y=-2x+4=3
∴H（，3）；
（3）不存在．理由如下：
y=-2x2+2x+4=（x-）2+，
∴抛物线顶点M（，），
∵对称轴交AB于点N，
∴N（，3），
当x=时，y=-2×+4=-3，
∴MN=-3=，
∵点P是线段AB上一动点，
∴设P点坐标为（m,-2m+4），则D（m,-2m2+2m+4），
∴PD=-2m2+2m+4-（-2m+4）=-2m2+4m,
∵PD∥MN，
当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即-2m2+4m=，
解得m1=（舍去），m2=，
此时P点坐标为（，1），
∵PN==，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（4）存在．
如图，过点F作FH⊥y轴于点H，则∠FEO+∠FEH=180°，
当∠FEO+∠EAO=180°时，∠FEH=∠EAO，
又∵∠FHE=∠AOE=90°，
∴△AOE∽△∠EFH，
∴=，
设点F（t,-2t2+2t+4），则HE=-2t2+2t+4-1=-2t2+2t+3，
当点F在y轴右侧时，BF=t,
∴=，
解之得：t=±，
∵点F在y轴右侧，
∴t=；
当点F在y轴左侧时，BF=-t,
∴-=，
解之得：t=，
∵点F在y轴左侧，
∴t=．
综上所述：当点F的横坐标为或时，∠FEO与∠EAO互补．
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．y=x2-+1 B．y=（m-3）x2+x-1
C．y=2πx2 D．y=ax2+bx+c
2．抛物线y=2x2-6x+c与y轴交于点（0，2c-4），则c的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
3．将抛物线y=x2+2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2+2x+2 B．y=x2+2x-2 C．y=x2-2x D．y=x2+6x+8
4．抛物线y=x2-2x+3与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知抛物线y=x2+（m+1）x+m,当x=1时，y＞0，且当x＜-2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A．-1＜m＜1 B．m＜-1或m＞3 C．-1＜m＜3 D．-1＜m≤3
6．函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数y=-（x+3）2-2的最大值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-3
8．二次函数y=（x-k）2-1当x＜3时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k=3 B．k＞3 C．k≥3 D．k≤3
9．把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．0＜m＜3 D．m≤3
10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示．则一次函数y=ax-b与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x≤3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知A（-3，-2），B（1，-2），抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥-2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为-5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
二．填空题（共5小题）
13．写一个图象顶点为（1，-2）的二次函数表达式：______．
14．二次函数y=x2+3x+1的图象与x轴______交点．（填“有”或“没有”）
15．如图，二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n交点的横坐标分别为-2和1，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ______．
16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①abc＞0；②9a+c＞3b；③当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞5；⑤若，C（m2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；⑥4a+2b＞m（am+b）（m≠2（m≠2的实数）．其中正确的结论是 ______（填写正确结论的序号）．
17．如图，一段抛物线y=-x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O，A1；将抛物C1线绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于另一点A2；将抛物线C2绕点A2，旋转180°得抛物线C3，交x轴于另一点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点M（2023，m）在此“波浪线”上，则m的值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，抛物线y=-x2+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式？
（2）求△ABC的面积？
（3）求根据图象回答：当x取何值时，y＞0．
19．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）利用图象的特点填空：
①当x= ______时，方程ax2+bx+c=-4；
②不等式-4＜ax2+bx+c＜0的解集为 ______．
20．已知如图：抛物线交x轴于点B（1，0）、点C（3，0），交y轴于点A（0，3），点B、点D关于y轴对称．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是抛物线上对称轴右侧一点，连接AP、DP，求△ADP面积的最大值．
21．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）．
（1）若a=1，函数图象经过点（0，-4）和（3，-1），求函数图象的顶点坐标．
（2）若a=-1，函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2，求证：2b+c＞4．
（3）若函数图象经过点（2，m），当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m,求a的值．
22．已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=-2x2+bx+c过A，B两点，交x轴负半轴于点G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线对称轴上找一点H，使△BGH周长最小，求出点H的坐标和△BGH周长的最小值；
（3）如图1，点P是直线AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，设抛物线顶点为M，抛物线对称轴交AB于点N，是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（4）如图2，点E（0，1）在y轴上，连接AE，抛物线上若存在一点F，使∠FEO与∠EAO互补，请直接写点F的横坐标．
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、C 3、A 4、A 5、D 6、D 7、C 8、C 9、A 10、C 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、y=2（x-1）2-2（答案不唯一）； 14、有； 15、x＜-2或x＞1； 16、④⑥； 17、-7；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）将A（1，0）代入y=-x2+5x+n中，得-1+5+n=0，
解得：n=-4，
∴抛物线的解析式为y=-x2+5x-4．
（2）当x=0时，y=-x2+5x-4=-4，
∴B（0，-4），
当y=0时，则，-x2+5x-4=0，
解得x=1或4，
∴C（4，0），
∴AC=4-1=3，
∴S△ABC= AC OB=×3×4=6；
（3）由图象可知，当1＜x＜4时，y＞0．
19、解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得-3=a×1×（-3），
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x2-2x-3；
（2）①∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴当x=1时，y有最小值-4，
即x=1时，方程ax2+bx+c=-4
故答案为：1；
②不等式-4＜ax2+bx+c＜0的解集为-1＜x＜3且x≠1．
故答案为：-1＜x＜3且x≠1．
20、解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得3=a×（-1）×（-3），
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）（x-3），
即y=x2-4x+3；
（2）∵y=（x-2）2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵点B、点D关于y轴对称，
而B（1，0），
∴D（-1，0），
设直线AD的解析式为y=kx+b,
把A（0，3），D（-1，0）分别代入得，
解得，
∴直线D的解析式为y=3x+3，
解方程组得或，
∴抛物线与直线AD相交于点（0，3）和（7，24），
过P点作PQ∥y轴交直线AD于Q点，如图，
设P（t,t2-4t+3），则Q（t,3t+3），
当t＞7时，△ADP面积的没有最大值；
当2＜t＜7，
∴PQ=3t+3-（t2-4t+3）=-t2+7t,
∴S△ADP=×1×PQ=-t2+t=-（t-）2+，
∴当t=时，△ADP面积的有最大值，最大值为．
21、（1）解：由题意可得：，
解得，
∴二次函数解析式为y=x2-2x-4，
整理得y=（x-1）2-5，
∴函数图象的顶点坐标为：（1，-5）；
（2）证明：若 a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c,
∴抛物线开口向下．
又图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），且x1＜2＜x2，
∴当 x=2 时，y=-4+2b+c＞0，
∴2b+c＞4．
（3）解：由题意可得：4a+2b+c=m①，
∵当x≤1时，y≥m+1；当x＞1时，y≥m,
∴函数图象在x=2时取得最小值m,即②，
∴a＞0，
∵x≤1在x=2的左侧，
∴当x=1时，y=m+1，即a+b+c=m+1③，
由①②③解得a=1．
22、解：（1）对y=-2x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，x=2，
∴点A（2，0），点B（0，4），
把A（2，0），B（0，4）分别代入y=-2x2+bx+c中得：
，
解之得，
∴抛物线解析式为y=-2x2+2x+4；
（2）∵点A（2，0），抛物线的对称轴为：x=，
由对称性得：点A和G关于抛物线的对称轴对称，
∴G（-1，0），
∴连接AB与对称轴的交点即为点H，
此时BH+GH为最小，最小值为AB的长度，
∴△BGH周长的最小值为AB+BG，
∵AB==2，BG==，
∴△BGH周长的最小值为2+，
当x=时，y=-2x+4=3
∴H（，3）；
（3）不存在．理由如下：
y=-2x2+2x+4=（x-）2+，
∴抛物线顶点M（，），
∵对称轴交AB于点N，
∴N（，3），
当x=时，y=-2×+4=-3，
∴MN=-3=，
∵点P是线段AB上一动点，
∴设P点坐标为（m,-2m+4），则D（m,-2m2+2m+4），
∴PD=-2m2+2m+4-（-2m+4）=-2m2+4m,
∵PD∥MN，
当PD=MN时，四边形MNPD为平行四边形，即-2m2+4m=，
解得m1=（舍去），m2=，
此时P点坐标为（，1），
∵PN==，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不为菱形，
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（4）存在．
如图，过点F作FH⊥y轴于点H，则∠FEO+∠FEH=180°，
当∠FEO+∠EAO=180°时，∠FEH=∠EAO，
又∵∠FHE=∠AOE=90°，
∴△AOE∽△∠EFH，
∴=，
设点F（t,-2t2+2t+4），则HE=-2t2+2t+4-1=-2t2+2t+3，
当点F在y轴右侧时，BF=t,
∴=，
解之得：t=±，
∵点F在y轴右侧，
∴t=；
当点F在y轴左侧时，BF=-t,
∴-=，
解之得：t=，
∵点F在y轴左侧，
∴t=．
综上所述：当点F的横坐标为或时，∠FEO与∠EAO互补．