人教版九（上）第二十一章 一元二次方程 单元测试培优卷
一、选择题
1．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
2．（2024九上·惠州期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．（2024·石家庄模拟）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ）
A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102
4．（2025九上·上城开学考）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．5
5．（2022九上·东乡区期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·北京市开学考）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·东营模拟）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A． B． C．或 D．
8．（2024九上·南山开学考）如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·蔡甸期中）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
10．（2022九下·泉州开学考）已知x，y为实数，且满足 ，记 的最大值为M，最小值为m，则 （ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2025九上·温州开学考）一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是 .
12．（2024九上·武侯期中）已知，是方程的两个根，则 ．
13．（2024九上·长沙月考）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m.
14．（2024九上·江岸月考）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
15．（2024九上·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ．
三、解答题
16．（2024九上·武威月考）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，且，，都是整数，求的值．
17．（2024九下·新宁开学考）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
18．（2023九上·齐齐哈尔期末）某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克；
（2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？
（3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？
19．（2024九上·汉川月考）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
20．（2024九上·五华期中）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
（1）填空：______，点的坐标是______；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒．
当时，求的面积；
当点，运动至四边形为矩形时，请求出此时的值．
21．（2024九上·平凉月考）阅读下列材料：
解方程：．
解：①当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），；
②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），；
综上所述，原方程的解为，．
仿照上边例题的解法，解方程：．
22．（2025·潮阳模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为．
①该收纳盒的高是多少？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
23．（2025九上·宝安开学考） “数形结合”是数学中的一种基本思想方法.我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”.下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）和公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔 花拉子在解一元二次方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35时的做法为例加以说明.
【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为x，x+2且面积为x（x+2）=35的矩形构造成图1形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+2+x）2=4×35+22，从而得到一个正数解x=5.阿拉伯数学家阿尔 花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，1的矩形构造出图2的形状（面积为x2+2x=35）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+1）2=（x2+2x）+12=35+1，从而得到一个正数解x=5.
（1）图1中，小正方形的边长为 ▲ ，将图2中补充完整（补充的部分用阴影表示）；
（2）【类比迁移】小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程方程x2+6x-55=0.
①请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线段的长；（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）
②请分别根据所画图形，求出方程x2+6x-55=0的一个正数解.
（注：需要写出必要的推算过程）
（3）【拓展应用】一般地，形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】根据题意做出简图如下：
其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5
中，由得，
故选C．
【分析】根据题意做出简图如下，寻找三边之间的数量关系，在中应用勾股定理即可．
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：得的值，然后利用完全平方公式代入数值进行求解即可.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
【分析】
由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
，
整理得：，
合并同类项得：，
解得：．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，列出关于k的不等式求解，求出的取值范围．
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
由题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故答案为：A．
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据矩形的面积=矩形的长×宽并结合花草的种植面积为可得关于x的一元二次方程，解方程并取其符合题意的值即可求解．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，易证明， 过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，设，根据正方形、矩形及全等三角形的性质，得出ME=4，CG=6，，，由勾股定理得表示出，再利用配方法求出最小值即可．
9．【答案】D
【知识点】估算一元二次方程的近似解；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，再分别利用根的判别式列出不等式（组）求出m的取值范围即可.
10．【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
当且仅当
，
即
，
，
或
，
时，等号成立，
∴ 的最小值为
，
∴ 最小值为：
，
即
，
∵
，
当且仅当
时，
即
，
，
或
，
时等号成立，
∴ 的最大值为
，
∴ 的最大值为
，
即
，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用已知等式可得
，根据
=
，根据偶次幂的非负性知当且仅当
时，
的最小值为
，即可得出
最小值为
，即
；根据
，根据偶次幂的非负性当且仅当
时，
的最大值为
，即得M，再代入计算即可.
11．【答案】x1=1，x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或x-1=0
解得： 或x=1
故答案为： 或x=1.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，，据此求出及的值，再对通分化简，代入即可．
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小路宽为x，则花坛长为16-2x，宽为12-2x
由题意可得：
解得：x=2
故答案为：2
【分析】设小路宽为x，则花坛长为16-2x，宽为12-2x，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
15．【答案】或．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
【解析】解：因为 一元二次方程在范围内有且只有一个根，
可得，整理得：，
解得：，
又因为，解得，所以，
因为方程在的范围内有实数根，
可得或，
由，此时不等式无解，
由得出，
所以的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】根据一元二次方程有且仅有一个实数根，得到和二次函数的性质，解得，再结合 ，利用二次函数的性质，列出不等式组，取得不等式组的解，可得出答案．
16．【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，
即
解得，；
（2）解：，
，
为整数，
整数的值为2、3，
当时，方程为，
解得，，
当时，此时方程解不为整数，
综上所述，的值为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据根的判别式得到，求出k值即可；
（2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数的值，分别求出k取不同数值时方程的解即可．
（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，
即
解得，；
（2）解：，
，
为整数，
整数的值为2、3，
当时，方程为，
解得，，
当时，此时方程解不为整数，
综上所述，的值为2．
17．【答案】（1）解：设羊圈的宽AB=CD=x米，则长米，
由题意，得，
解得：，，
∴当时，，当时，，
∴当羊圈的长和宽分别为40米、16米或32米、20米时，能围成一个面积为640的羊圈；
（2）解：不能，理由如下：
根据题意，得，
整理得：，
∴，
∴一元二次方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设羊圈的宽AB=CD=x米，则长米，根据“ 围成一个面积为640的羊圈 ”列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）由（1）同理列出一元二次方程且整理成一般形式，然后由一元二次方程根的判别式可知一元二次方程无实根，即可求解．
18．【答案】（1）350
（2）解：设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）解：设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克）
故答案为：350.
【分析】（1）抓住关键已知条件： 若售价在40元/千克的基础上每涨价1元 ，根据题意列出算式即可求解；
（2）设这种水果的售价为x元/千克，可根据每月利润为5250元，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，利用已知条件可得到y关于m的函数解析式，再利用二次函数的性质求得最值即可求解．
（1）解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克）
（2）设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，
则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
19．【答案】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
答：A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
故答案为：A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故答案为：购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故答案为：B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“ 用850元购进A、B两款钥匙扣共30件 ”列出二元一次方程组 ，再求解即可；
（2）设销售利润为元，得到，利用一次函数的性质随着m的增大而增大，结合m的范围，求出最大利润即可；
（3）设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，根据“平均每天销售利润为90元”得到方程(4+2a)(12-a)=90，再求解即可．
（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
20．【答案】（1），
（2）证明：由（）得：直线解析式为，点的坐标是，∴，
∵线段平行于轴，
∴点的纵坐标相同，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（3）解：如图，过作于点，则
∵点在直线上
∴设点坐标为
∵，
∴，
∴
∴由勾股定理得：
∴
整理得：
解得：，（舍去）
∴
∵
∴当时，
∴的面积为
如图，设与交于点
由（）得四边形是平行四边形
∴，
∵
∴
∴四边形为平行四边形
∵
∴当时，
当时，
当点，运动至四边形为矩形时，
∵点的坐标是，点
∴，
∴当时，，
解得：
当时，，
解得：
综上可知：
∴当点，运动至四边形为矩形时，的值为或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵直线经过点，∴
解得：
∴直线解析式为
当时，
∴
∴点的坐标是
故填：，
【分析】(1)利用点在直线上求参数，确定直线的解析式，直线与坐标轴交点求坐标；(2)通过坐标求线段长，平行且相等证平行四边形；(3)
作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
先证四边形为平行四边形，根据对角线相等确定的长度，再根据的位置分情况计算出值即可.
（1）解：∵直线经过点，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：，；
（2）证明：由（）得：直线解析式为，点的坐标是，
∴，
∵线段平行于轴，
∴点的纵坐标相同，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过作于点，则，
∵点在直线上，
∴设点坐标为，
∵，，
∴，，，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴当时，，
∴的面积为；
如图，设与交于点，
由（）得四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴当时，，当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，
∵点的坐标是，点，
∴，
∴当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上可知：
∴当点，运动至四边形为矩形时，的值为或．
21．【答案】解：，
①当，即时，．即，解得，；
②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
综上所述，原方程的解为，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】分类讨论：①当，即时，②当，即时，再分别去掉绝对值，最后求解即可.
22．【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为；
（2）解：①∵长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，
∴设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵收纳盒的高为厘米，，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，先用x表示出底面的长与宽，根据面积的计算公式列式即可求解；
（2） ① 设收纳盒的高为a厘米，结合图示用a表示出收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列出方程求解，
②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解．
（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
23．【答案】（1）解：2.
根据题意，把图2补充完整如下：
（2）解：①根据题意作图如下：
② 第一种方法 ：
用四个边长分别为x，x+6，且面积为x（x+6）=55的矩形构造大正方形，
根据题意得：（x+6+x）2=4×55+62，
解得x1=5，x2=-11.
第二种方法 ：
根据题意得：
（x+3）2=55+9，
x2+6x+9=55+9，
（x+3）2=64，
解得x1=5，x2=-11；
（3）正数解 ，负数解.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的求根公式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：根据图形得小正方形的边长为：.
∴小正方形的边长为2.
故答案为：2.
（3）解：如图，用四个边长分别为x，x+a，且面积为x（x+a）=b的矩形构造大正方形，
用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+x+a）2=4b+a2，
化简得： x2 + ax= b
解得：
，
【分析】（1） 四个矩形的边长为 x和 x+ 2 ， 根据图形得小正方形的边长为：，补充图形按材料方法补全即可.
（2）先根据题意构建图形，再列方程（x+6+x）2=4×55+62和（x+3）2=55+9，分别解出即可.
（3）先根据题意构建图形，根据图形列方程（x+x+a）2=4b+a2，解出即可.
1 / 1人教版九（上）第二十一章 一元二次方程 单元测试培优卷
一、选择题
1．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
2．（2024九上·惠州期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
3．（2024·石家庄模拟）在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（ ）
A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102
【答案】C
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】根据题意做出简图如下：
其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5
中，由得，
故选C．
【分析】根据题意做出简图如下，寻找三边之间的数量关系，在中应用勾股定理即可．
4．（2025九上·上城开学考）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．5
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：得的值，然后利用完全平方公式代入数值进行求解即可.
5．（2022九上·东乡区期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：二月份的产值为：，
三月份的产值为：，
故第一季度总产值为：．
故选：D．
【分析】
由于增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），可根据题意分别表示出二、三月份的产值，然后将三个月的产值相加即可列出方程．
6．（2025九下·北京市开学考）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
，
整理得：，
合并同类项得：，
解得：．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，列出关于k的不等式求解，求出的取值范围．
7．（2024·东营模拟）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，
由题意得：
解得：，（不合题意，舍去），
∴小路宽为．
故答案为：A．
【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据矩形的面积=矩形的长×宽并结合花草的种植面积为可得关于x的一元二次方程，解方程并取其符合题意的值即可求解．
8．（2024九上·南山开学考）如图，在正方形中，E是边中点，F是边上一动点，G是延长线上一点，且．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；配方法的应用
【解析】【解答】解：如图，过点G作于H，过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，
设，
∵正方形中，E是边中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
由勾股定理得：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，即，
∴的最小值为，
故答案为：B．
【分析】过点G作于H，易证明， 过G作交的延长线于M，交的延长线于N，则四边形和四边形均为矩形，设，根据正方形、矩形及全等三角形的性质，得出ME=4，CG=6，，，由勾股定理得表示出，再利用配方法求出最小值即可．
9．（2024九上·蔡甸期中）关于x的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】估算一元二次方程的近似解；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，
则，
解得：，
此时，
∴，
解得：，
∴；
②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，
∴或，
解不等式组得该不等式组无解；
解不等式组得：，
综上，m的取值范围为：或，
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当一元二次方程有两个相等的实数根，且在的范围内时，②当一元二次方程有两个不相等的实数根，且在的范围内时，再分别利用根的判别式列出不等式（组）求出m的取值范围即可.
10．（2022九下·泉州开学考）已知x，y为实数，且满足 ，记 的最大值为M，最小值为m，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
当且仅当
，
即
，
，
或
，
时，等号成立，
∴ 的最小值为
，
∴ 最小值为：
，
即
，
∵
，
当且仅当
时，
即
，
，
或
，
时等号成立，
∴ 的最大值为
，
∴ 的最大值为
，
即
，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用已知等式可得
，根据
=
，根据偶次幂的非负性知当且仅当
时，
的最小值为
，即可得出
最小值为
，即
；根据
，根据偶次幂的非负性当且仅当
时，
的最大值为
，即得M，再代入计算即可.
二、填空题
11．（2025九上·温州开学考）一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是 .
【答案】x1=1，x2=
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
或x-1=0
解得： 或x=1
故答案为： 或x=1.
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可.
12．（2024九上·武侯期中）已知，是方程的两个根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，是方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数x1+x2=，，据此求出及的值，再对通分化简，代入即可．
13．（2024九上·长沙月考）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m.
【答案】2
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小路宽为x，则花坛长为16-2x，宽为12-2x
由题意可得：
解得：x=2
故答案为：2
【分析】设小路宽为x，则花坛长为16-2x，宽为12-2x，根据题意列出方程，解方程即可求出答案.
14．（2024九上·江岸月考）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ．
【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
15．（2024九上·武汉月考）关于的一元二次方程在范围内有且只有一个根，则的取值范围为 ．
【答案】或．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
【解析】解：因为 一元二次方程在范围内有且只有一个根，
可得，整理得：，
解得：，
又因为，解得，所以，
因为方程在的范围内有实数根，
可得或，
由，此时不等式无解，
由得出，
所以的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】根据一元二次方程有且仅有一个实数根，得到和二次函数的性质，解得，再结合 ，利用二次函数的性质，列出不等式组，取得不等式组的解，可得出答案．
三、解答题
16．（2024九上·武威月考）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，且，，都是整数，求的值．
【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，
即
解得，；
（2）解：，
，
为整数，
整数的值为2、3，
当时，方程为，
解得，，
当时，此时方程解不为整数，
综上所述，的值为2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据根的判别式得到，求出k值即可；
（2）根据（1）中得出的k的取值范围，得出整数的值，分别求出k取不同数值时方程的解即可．
（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，
即
解得，；
（2）解：，
，
为整数，
整数的值为2、3，
当时，方程为，
解得，，
当时，此时方程解不为整数，
综上所述，的值为2．
17．（2024九下·新宁开学考）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设羊圈的宽AB=CD=x米，则长米，
由题意，得，
解得：，，
∴当时，，当时，，
∴当羊圈的长和宽分别为40米、16米或32米、20米时，能围成一个面积为640的羊圈；
（2）解：不能，理由如下：
根据题意，得，
整理得：，
∴，
∴一元二次方程没有实数根，
∴羊圈的面积不能达到．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设羊圈的宽AB=CD=x米，则长米，根据“ 围成一个面积为640的羊圈 ”列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）由（1）同理列出一元二次方程且整理成一般形式，然后由一元二次方程根的判别式可知一元二次方程无实根，即可求解．
18．（2023九上·齐齐哈尔期末）某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克；
（2）当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？
（3）当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）350
（2）解：设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）解：设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克）
故答案为：350.
【分析】（1）抓住关键已知条件： 若售价在40元/千克的基础上每涨价1元 ，根据题意列出算式即可求解；
（2）设这种水果的售价为x元/千克，可根据每月利润为5250元，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，利用已知条件可得到y关于m的函数解析式，再利用二次函数的性质求得最值即可求解．
（1）解：若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．
若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克，
故当售价为45元/千克时，每月销售水果：（千克）
（2）设这种水果的售价为x元/千克，
则由题意，得：，
解得，
故这种水果的售价为45元/千克或65元/千克
（3）设这种水果的售价为m元/千克，获得的月利润为y元，
则由题意，得：
又由可知抛物线的开口向下，
∴当时，
故水果的售价为55元/千克时，获得的月利润最大，最大利润为6250元
19．（2024九上·汉川月考）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别 价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
（2）第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
答：A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
故答案为：A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故答案为：购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故答案为：B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“ 用850元购进A、B两款钥匙扣共30件 ”列出二元一次方程组 ，再求解即可；
（2）设销售利润为元，得到，利用一次函数的性质随着m的增大而增大，结合m的范围，求出最大利润即可；
（3）设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，根据“平均每天销售利润为90元”得到方程(4+2a)(12-a)=90，再求解即可．
（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，
由题意可知： ，
解出：，
故A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，
由题意可知：，
解出：，
设销售利润为元，则，
∴是关于m的一次函数，且3＞0，
∴随着m的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大为元，
故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，
由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，
解出：a1=3，a2=7，
故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．
20．（2024九上·五华期中）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，．
（1）填空：______，点的坐标是______；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）动点从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒．
当时，求的面积；
当点，运动至四边形为矩形时，请求出此时的值．
【答案】（1），
（2）证明：由（）得：直线解析式为，点的坐标是，∴，
∵线段平行于轴，
∴点的纵坐标相同，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（3）解：如图，过作于点，则
∵点在直线上
∴设点坐标为
∵，
∴，
∴
∴由勾股定理得：
∴
整理得：
解得：，（舍去）
∴
∵
∴当时，
∴的面积为
如图，设与交于点
由（）得四边形是平行四边形
∴，
∵
∴
∴四边形为平行四边形
∵
∴当时，
当时，
当点，运动至四边形为矩形时，
∵点的坐标是，点
∴，
∴当时，，
解得：
当时，，
解得：
综上可知：
∴当点，运动至四边形为矩形时，的值为或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵直线经过点，∴
解得：
∴直线解析式为
当时，
∴
∴点的坐标是
故填：，
【分析】(1)利用点在直线上求参数，确定直线的解析式，直线与坐标轴交点求坐标；(2)通过坐标求线段长，平行且相等证平行四边形；(3)
作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积；
先证四边形为平行四边形，根据对角线相等确定的长度，再根据的位置分情况计算出值即可.
（1）解：∵直线经过点，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴点的坐标是，
故答案为：，；
（2）证明：由（）得：直线解析式为，点的坐标是，
∴，
∵线段平行于轴，
∴点的纵坐标相同，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过作于点，则，
∵点在直线上，
∴设点坐标为，
∵，，
∴，，，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴当时，，
∴的面积为；
如图，设与交于点，
由（）得四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴当时，，当时，，
当点，运动至四边形为矩形时，，
∵点的坐标是，点，
∴，
∴当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上可知：
∴当点，运动至四边形为矩形时，的值为或．
21．（2024九上·平凉月考）阅读下列材料：
解方程：．
解：①当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），；
②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），；
综上所述，原方程的解为，．
仿照上边例题的解法，解方程：．
【答案】解：，
①当，即时，．即，解得，；
②当，即时，．即，解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）；
综上所述，原方程的解为，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】分类讨论：①当，即时，②当，即时，再分别去掉绝对值，最后求解即可.
22．（2025·潮阳模拟）综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
（1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为，剪去的小正方形的边长为多少？
（2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为．
①该收纳盒的高是多少？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
【答案】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为；
（2）解：①∵长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，
∴设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵收纳盒的高为厘米，，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，先用x表示出底面的长与宽，根据面积的计算公式列式即可求解；
（2） ① 设收纳盒的高为a厘米，结合图示用a表示出收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列出方程求解，
②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解．
（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米，
∵收纳盒的底面积为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为厘米，
②∵，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
23．（2025九上·宝安开学考） “数形结合”是数学中的一种基本思想方法.我国著名数学家华罗庚对此曾有生动的描述：“数以形而直观，形以数而入微”.下面我们分别以我国三国时期的数学家赵爽（公元3～4世纪）和公元9世纪的阿拉伯数学家阿尔 花拉子在解一元二次方程x2+2x-35=0即x（x+2）=35时的做法为例加以说明.
【学习研究】数学家赵爽的做法是，用四个边长分别为x，x+2且面积为x（x+2）=35的矩形构造成图1形状的大正方形，然后用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+2+x）2=4×35+22，从而得到一个正数解x=5.阿拉伯数学家阿尔 花拉子米采用的方法是用一个边长为x的正方形和2个边长分别为x，1的矩形构造出图2的形状（面积为x2+2x=35）并把它补成一个大正方形，然后也是用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+1）2=（x2+2x）+12=35+1，从而得到一个正数解x=5.
（1）图1中，小正方形的边长为 ▲ ，将图2中补充完整（补充的部分用阴影表示）；
（2）【类比迁移】小明想通过以上述构造图形的方法来解一元二次方程方程x2+6x-55=0.
①请分别构造以上两种图形，并在图中标注出相关线段的长；（注：第一种方法中已经画好了一个矩形，第二种方法中已经画好了一个正方形，请在已经画好的图形上进行补充）
②请分别根据所画图形，求出方程x2+6x-55=0的一个正数解.
（注：需要写出必要的推算过程）
（3）【拓展应用】一般地，形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造类似以上图形来求解，请选择其中的一种方法，进行图形构造，且在图中标注出相关线段的长，并直接写出该方程的正数解与负数解.
【答案】（1）解：2.
根据题意，把图2补充完整如下：
（2）解：①根据题意作图如下：
② 第一种方法 ：
用四个边长分别为x，x+6，且面积为x（x+6）=55的矩形构造大正方形，
根据题意得：（x+6+x）2=4×55+62，
解得x1=5，x2=-11.
第二种方法 ：
根据题意得：
（x+3）2=55+9，
x2+6x+9=55+9，
（x+3）2=64，
解得x1=5，x2=-11；
（3）正数解 ，负数解.
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元二次方程的求根公式及应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解析】（1）解：根据图形得小正方形的边长为：.
∴小正方形的边长为2.
故答案为：2.
（3）解：如图，用四个边长分别为x，x+a，且面积为x（x+a）=b的矩形构造大正方形，
用两种方式表示出大正方形的面积，得到（x+x+a）2=4b+a2，
化简得： x2 + ax= b
解得：
，
【分析】（1） 四个矩形的边长为 x和 x+ 2 ， 根据图形得小正方形的边长为：，补充图形按材料方法补全即可.
（2）先根据题意构建图形，再列方程（x+6+x）2=4×55+62和（x+3）2=55+9，分别解出即可.
（3）先根据题意构建图形，根据图形列方程（x+x+a）2=4b+a2，解出即可.
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