中考数学复习专题十二：方程观点解几何计算题

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中考数学复习专题12 方程观点解几何计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / )
概述： ( http: / / www.21cnjy.com / )
含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，两个未知数列两个方程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
典型例题精析 ( http: / / www.21cnjy.com / )
例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长． ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10．由题意知 ( http: / / www.21cnjy.com / )
△ ACD≌△AED∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6， ( http: / / www.21cnjy.com / )
设CD=x，则DE=x，而EB=4， ( http: / / www.21cnjy.com / )
一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42， ( http: / / www.21cnjy.com / )
64-16x+x2=x2+16， ( http: / / www.21cnjy.com / )
16x=48， x=3（cm）． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例2．已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB中点，且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长． ( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵CE：ED=1：4， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴设CE=x，则ED=4x，由相交弦定理得 ( http: / / www.21cnjy.com / )
CE·ED=AE·EB， ( http: / / www.21cnjy.com / )
即x·4x=2×2， ( http: / / www.21cnjy.com / )
4x2=4， x=1． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴CD=x+4x=5x=5． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例3．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB延长线上，PM切⊙O于M点，若OA=a，PM=a，求△PMB的周长． ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：条件符合切割线定理，设BP=x，则由PM2=PB·PA（方程出来了） ( http: / / www.21cnjy.com / )
得（a）2=x（x+2a）， ( http: / / www.21cnjy.com / )
x2+2ax-3a2=0， ( http: / / www.21cnjy.com / )
（x+3a）（x-a）=0， ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴x1=a，x2=-3a（舍去） ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴x=a，即BP=a，连结MO（常作辅助线） ( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠OMP=90°，∵OB=BP=a，则MB为Rt△OMP的斜边上的中线，∴MB=OP=a． ( http: / / www.21cnjy.com / )
∴△MBP的周长为2a+a． ( http: / / www.21cnjy.com / )
例4．如图，圆心在Rt△ABC斜边AB上的半圆切直角边AC、BC于M、N，其中AC=6，BC=8，求半圆的半径． ( http: / / www.21cnjy.com / )
分析：设半径为R，（一个未知数建立一个方程即可），连OM、ON、OC， ( http: / / www.21cnjy.com / )
则OM=ON=R，用面积，S△AOC+S△BOC=S△ABC， ( http: / / www.21cnjy.com / )
得6R+8R=6×8（一元一次方程） ( http: / / www.21cnjy.com / )
14R=48， ( http: / / www.21cnjy.com / )
R=． ( http: / / www.21cnjy.com / )
中考样题训练: ( http: / / www.21cnjy.com / )
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D为BC边上的一点，tan∠ADC是方程3（x2+）-5（x+）=2的一个根，求CD的长． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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2．如图，已知直线BC切⊙O于C，PD为⊙O的直径，BP的延长线与CD的延长线交于点A，∠A=28°,∠B=26°，求∠PDC的度数． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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3．已知，如图，C为半圆上一点，，过C作直径的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：AD=CD； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）若DF=，tan∠ECB=，求PB的长． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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4．已知关于x的方程x2-（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）k取何值时，方程有两个实数根； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）当矩形的对角线长为时，求k的值． ( http: / / www.21cnjy.com / )
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5．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题： ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：CP是⊙O的切线； ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）当∠ABC=30°，BG=2，CG=4时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF·DO成立？试写出你的猜想，并说明理由．
6．已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．
（1）试猜想：与有何大小关系？并证明你的猜想；
（2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；
（3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足，求sin2∠A的值．
考前热身训练
1．要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，求选用的圆形铁片的直径的最小值．
2．圆内两条弦AB和CD相交于P点，AB长为7，AB把CD分成两部分的线段长为2和6，求AP的长．
3．如图，PA切⊙O于点A，PBC交⊙O于B、C，若PB、PC的长是关于x的方程x2-（m-2）x+（m+2）=0的两个根，且BC=4，求m的值及PA的长．
4．如图，D是△ABC的边AC上一点，CD=2AD，AE⊥BC，交BC于点E，若BD=8，sin∠CBD=，求AE的长．
5．如图，在△ABC中，∠CAD=∠B，若AD=7，AB=8，AC=6，求DC的长．
6．已知，如图，以△ABC的边BC为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．
答案:
中考样题看台
1．解：3（x+）2-5（x+）-8=0，
x+=或x+=-1，
由x+=得x=．
x+=-1得x2+x+1=0无解．
∴tan∠ADC=，
在Rt△ABC中，AC==．
在Rt△ADC中，CD==．
∵CD<1，∴CD=．
2．∠PDC=36°
3．（1）证明：连结AC，∵，∴∠CEA=∠CAE．
∵∠CEA=∠CBA，∴∠CBA=∠CAE，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∵CP⊥AB，∴∠CBA=∠ACP，
∴∠CAE=∠ACP，∴AD=CD．
（2）解：∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，
∴∠DCF=∠CFD，∴AD=CD=DF=，
∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=，∴tan∠DAP==，
∵PD2+PA2=DA2，∴DP=，PA=1，∴CP=2，
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，∴△APC∽△CPB，∴，∴PB=4．
4．（1）要使方程有两个实数根，必须△≥0，
即[-（k+1）]2-4（k2+1）≥0，
化简得：2k-3≥0，解之得：k≥．
（2） 解之得：k1=2，k2=-6
由（1）可知，k=-6时，方程无实数根，所以，只能取k=2．
5．（1）连结OC，证∠OCP=90°即可．
（2）∵∠B=30°，∠A=∠BCP=60°，
∴∠BCP=∠CGP=60°，∴△CPG是正三角形．
∴PG=CP=4，∴PC切⊙O于C．
∴PC2=PD·PE=（4）2=48，
又∵BC=6，∴AB=6，FD=3，EG=，
∴PD=2，∴PD+PE=2+8=10．
∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x2-48x+10=0．
（3）当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC…时，结论BG2=BF·BO成立．要让此结论成立，只证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．
6．可以猜想到．
证明：延工AD交⊙O于点G．
∵BC是⊙O的直径，AD⊥BC，
∴． ∵AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，∴，∴．
（2）∵，∴，BF=AG．
∵AD⊥BC，BC是⊙O直径，
∴AG=2AD， ∴BF=2AD，
∵BD、CD的长是方程x-kx+16=0的两个根，
∴BD·CD=16．
又AD2=BD·CD，∴AD2=16，AD=4，∴BF=8．
（3）连结CF解不等式组得：9∵k是整数，∴k=10．
由（2）得BD+CD=k，
∴BC+CD=10即⊙O的直径BC=10．
∵，∴∠C=2∠A．
在Rt△ABC中，sin∠C==，
∴sin∠A=， ∴sin2∠A=．
考前热身训练
1．R2+R2=42，2R=4（cm）
2．AP=3或4
3．设PB=a，PC=a+4，则 解之得a=2，m=10．
由PA2=PB·PC=2×6=12得PA=2．
4．过D作DF⊥BC于F．
由sin∠CBD===，DF=6，
由DF∥AE AE=9
5．易证△ADC∽△BAC，
∴ 即，∴x=
6．连BE，则BE⊥AC，易证△BEF∽△BCE，
∴EC=2．
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