2.4 圆的方程
题型01 圆的标准方程 4
题型02 圆的一般方程 5
题型03 点与圆的位置关系 6
题型04 待定系数法求圆的方程 7
题型05 圆方程的应用 8
知识点1： 圆的标准方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
2．若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
3．方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
知识点2： 圆的一般方程
1．任意一个圆的方程都可化为：．
2．这个方程就叫做圆的一般方程．
知识点3： 点与⊙C的位置关系
1．|AC|2．|AC|＝r 点A在圆上 ．
3．|AC|>r 点A在圆外 ．
知识点4： 圆的方程
1．圆的标准方程为：．
2．圆的一般方程．
1．圆标准方程的求解．
(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径．
(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．
2．圆一般方程的求解．
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．
(3)应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
3．点与圆位置关系的判断．
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较．
(2)代数法．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外．
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上．
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
4．待定系数法求圆方程的步骤．
(1)根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程．
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组．
(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
5．圆的几何性质．
(1)圆的弦的垂直平分线过圆心．
(2)两条弦的垂直平分线的交点为圆心．
(3)圆心与切点的连线垂直于切线．
(4)圆心到切点的距离等于圆的半径．
(5)圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形．
(6)直径所对圆周角为直角．
题型01 圆的标准方程
（2025春 南阳期末）已知点A（﹣2，6），B（6，0），则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A．（x+2）2+（y+3）2＝25 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25
C．（x+2）2+（y+3）2＝1000 D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝100
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程．
【解答】解：因为所求圆以AB为直径，所以圆心为AB中点（2，3），
半径为线段AB长度的一半，即，
故圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25．
故选：B．
【变式练1】（2025 廊坊校级模拟）已知O为坐标原点，圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，则|OE|＝（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【变式练2】（2025 房山区开学）把圆x2+y2＝1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（ ）
A．（x+1）2+（y+1）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝1
【变式练3】（2025春 静安区校级月考）圆心是（3，0），且过点（2，2）的圆的方程为 ．
题型02 圆的一般方程
（2025春 长宁区校级期末）圆x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0的圆心坐标为 ．
【答案】（3，1）
【分析】将圆化成标准方程，即可得到该圆的圆心坐标和半径大小，从而得到本题答案．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0化成标准方程为
（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25
∴该圆的圆心为C（3，1），半径r＝5
故答案为：（3，1）
【变式练1】（2025春 沙坪坝区校级期末）下列方程一定表示圆的是（ ）
A．x2+y2＝0
B．x2+y2﹣2x+4y﹣6＝0
C．x2+y2+2ax﹣b2＝0（a，b∈R）
D．x2+2xy+y2﹣9＝0
【变式练2】（2025春 杨浦区月考）已知圆C的方程是x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，则这个圆的半径是 ．
【变式练3】（2025春 云南月考）已知圆C：x2+y2﹣4y﹣m＝0的面积为2π，则m＝ ．
题型03 点与圆的位置关系
（2025 丰城市校级开学）若点P（﹣1，2）在圆x2+y2﹣x+2y+2k＝0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣5，+∞） B．（﹣∞，﹣5） C． D．
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案．
【解答】解：因为点P（﹣1，2）在圆x2+y2﹣x+2y+2k＝0的外部，
所以，解得．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2024秋 临潼区期末）已知点（m，3）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0的外部，则m的值可能为（ ）
A．0 B．4 C．2 D．﹣1
【变式练2】（多选）（2025春 长沙期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内
C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内
【变式练3】（2025 孝感三模）已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A（﹣1，1），B（1，3），若M（m，）在圆C内，则m的取值范围为 ．
题型04 待定系数法求圆的方程
（2025春 阳江月考）在△ABC中，已知B（﹣4，0），AB边上的中线CD所在直线方程是x+2y﹣1＝0，BC边的高线AE所在直线方程是7x﹣y﹣12＝0．
（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的标准方程．
【答案】（1）（3，﹣1）；
（2）．
【分析】（1）设C（m，n），由题意可得，m+2n﹣1＝0，联立求解即可；
（2）设A（a，b），则AB的中点坐标为，分别将A，D两点坐标代入相应的直线方程，联立求出A点坐标，设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），将A，B，C三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可．
【解答】解：（1）设C（m，n），中线CD所在直线方程是x+2y﹣1＝0，
可得m+2n﹣1＝0，①，
因为BC边的高线AE所在直线方程是7x﹣y﹣12＝0，所以kAE kBC＝﹣1，
又kAE＝7，所以，②
由①②解得m＝3，n＝﹣1，
即点C的坐标为（3，﹣1）；
（2）设A（a，b），B（﹣4，0），
则AB的中点坐标为，
因为中线CD所在直线方程是x+2y﹣1＝0，
则，③
将A（a，b）代入直线AE的方程得7a﹣b﹣12＝0，④
将③④联立解得a＝2，b＝2，即A（2，2），
设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
将点A，B，C三点的坐标代入可得，解得，
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+x+y﹣12＝0，
所以△ABC的外接圆的标准方程为．
【变式练1】（2024秋 邢台期末）已知A（2，2），B（5，3），C（3，﹣1），点M（a，2）在△ABC的外接圆上试求a的值．
【变式练2】（2024秋 衡水期末）（1）求过三点A（1，0），B（0，1），C（2，3）的圆的一般方程；
（2）求过两点C（﹣1，2）和，且圆心在x轴上的圆的标准方程．
【变式练3】（2024秋 岳阳县校级期末）△ABC的顶点A（﹣1，0），B（2，0），△ABC的垂心（三条高交点）为H（1，1）．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的外接圆方程．
题型05 圆方程的应用
（2024秋 资中县校级期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）
A．2.5米 B．2.7米 C．2.9米 D．3.1米
【答案】C
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据所给数据得到各点的坐标，结合圆的标准方程求得圆拱所在圆的方程，然后取x＝4求得纵坐标的大小，即可得出这条船能从桥下通过的水面以上最大高度．
【解答】解：以圆拱桥的跨度所在直线为x轴，过圆拱桥的最高点且垂直于x轴的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，图中的矩形EFGH为船刚好能通过桥下的位置．
可得B（﹣6，0），E（﹣4，0），F（4，0），C（6，0），
设圆拱桥所在圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，
得36+b2＝（4﹣b）2≡r2，解得b，r，
所以圆的方程为x2+（y）2，取x＝4，解得y2.9，
所以这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.9米．
故选：C．
【变式练1】（2025 西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，若从点A（0，t）发出的光线经过点B（1，0），且被x轴反射后将圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1平分，则实数t＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式练2】（2024秋 泸水市校级期末）对方程x2+y2+2x﹣m＝0，下列叙述不正确的是（ ）
A．方程表示的是圆
B．当m＝0时，方程表示过原点的圆
C．方程表示的圆关于直线x+y+1＝0对称
D．方程表示的圆的圆心在x轴上
【变式练3】（多选）（2025春 北仑区校级期中）已知圆C：x2+y2+kx﹣2y+k2＝0，k∈R，则（ ）
A．当k＝0时，C的面积是π
B．实数k的取值范围是
C．点（0，1）在C内
D．当C的周长最大时，圆心坐标是（0，﹣1）2.4 圆的方程
题型01 圆的标准方程 4
题型02 圆的一般方程 5
题型03 点与圆的位置关系 7
题型04 待定系数法求圆的方程 9
题型05 圆方程的应用 12
知识点1： 圆的标准方程
1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
2．若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
3．方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
知识点2： 圆的一般方程
1．任意一个圆的方程都可化为：．
2．这个方程就叫做圆的一般方程．
知识点3： 点与⊙C的位置关系
1．|AC|2．|AC|＝r 点A在圆上 ．
3．|AC|>r 点A在圆外 ．
知识点4： 圆的方程
1．圆的标准方程为：．
2．圆的一般方程．
1．圆标准方程的求解．
(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径．
(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．
2．圆一般方程的求解．
(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．
(3)应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
3．点与圆位置关系的判断．
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较．
(2)代数法．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外．
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上．
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
4．待定系数法求圆方程的步骤．
(1)根据题意，选择圆的标准方程或圆的一般方程．
(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组．
(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．
5．圆的几何性质．
(1)圆的弦的垂直平分线过圆心．
(2)两条弦的垂直平分线的交点为圆心．
(3)圆心与切点的连线垂直于切线．
(4)圆心到切点的距离等于圆的半径．
(5)圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形．
(6)直径所对圆周角为直角．
题型01 圆的标准方程
（2025春 南阳期末）已知点A（﹣2，6），B（6，0），则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A．（x+2）2+（y+3）2＝25 B．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25
C．（x+2）2+（y+3）2＝1000 D．（x﹣2）2+（y﹣3）2＝100
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程．
【解答】解：因为所求圆以AB为直径，所以圆心为AB中点（2，3），
半径为线段AB长度的一半，即，
故圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25．
故选：B．
【变式练1】（2025 廊坊校级模拟）已知O为坐标原点，圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，则|OE|＝（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】C
【分析】利用两点间距离公式即可．
【解答】解：圆E：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝25，则E（2，3），
故．
故选：C．
【变式练2】（2025 房山区开学）把圆x2+y2＝1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的方程为（ ）
A．（x+1）2+（y+1）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝1
C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝1
【答案】C
【分析】求出平移后的圆心，得到圆的方程．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），
（0，0）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到（1，1），
故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
故选：C．
【变式练3】（2025春 静安区校级月考）圆心是（3，0），且过点（2，2）的圆的方程为 ．
【答案】（x﹣3）2+y2＝5．
【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程．
【解答】解：设圆的半径为r，
因为圆心是（3，0），且过点（2，2），所以，
又圆心为（3，0），所以圆的方程为（x﹣3）2+y2＝5．
故答案为：（x﹣3）2+y2＝5．
题型02 圆的一般方程
（2025春 长宁区校级期末）圆x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0的圆心坐标为 ．
【答案】（3，1）
【分析】将圆化成标准方程，即可得到该圆的圆心坐标和半径大小，从而得到本题答案．
【解答】解：∵圆x2+y2﹣6x﹣2y﹣15＝0化成标准方程为
（x﹣3）2+（y﹣1）2＝25
∴该圆的圆心为C（3，1），半径r＝5
故答案为：（3，1）
【变式练1】（2025春 沙坪坝区校级期末）下列方程一定表示圆的是（ ）
A．x2+y2＝0
B．x2+y2﹣2x+4y﹣6＝0
C．x2+y2+2ax﹣b2＝0（a，b∈R）
D．x2+2xy+y2﹣9＝0
【答案】B
【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断．
【解答】解：对于A，方程x2+y2＝0表示点（0，0），所以A不是圆；
对于B，方程x2+y2﹣2x+4y﹣6＝0化为（x﹣1）2+（y+2）2＝11，此方程表示圆，且圆心坐标为（1，﹣2），半径为，所以B是圆；
对于C，当a＝b＝0时，方程x2+y2＝0表示点（0，0），所以C不是圆；
对于D，方程x2+2xy+y2﹣9＝0化为x+y＝±3表示两条平行直线，所以D不是圆．
故选：B．
【变式练2】（2025春 杨浦区月考）已知圆C的方程是x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，则这个圆的半径是 ．
【答案】3．
【分析】根据题意，将圆C的一般式方程化简为标准方程，进而求得圆C的半径．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，
所以圆C的半径r满足r2＝9，解得r＝3．
故答案为：3．
【变式练3】（2025春 云南月考）已知圆C：x2+y2﹣4y﹣m＝0的面积为2π，则m＝ ．
【答案】﹣2．
【分析】先将圆的一般方程化为圆的标准方程，求出圆的半径，再结合给定条件与圆的面积公式建立方程，求解参数即可．
【解答】解：将圆x2+y2﹣4y﹣m＝0整理为圆C的标准方程：x2+（y﹣2）2＝4+m，得到r2＝4+m＞0，
因为圆C：x2+y2﹣4y﹣m＝0的面积为2π，所以πr2＝π（4+m）＝2π，
解得m＝﹣2，符合4+m＞0，满足题意．
故答案为：﹣2．
题型03 点与圆的位置关系
（2025 丰城市校级开学）若点P（﹣1，2）在圆x2+y2﹣x+2y+2k＝0的外部，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣5，+∞） B．（﹣∞，﹣5） C． D．
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案．
【解答】解：因为点P（﹣1，2）在圆x2+y2﹣x+2y+2k＝0的外部，
所以，解得．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2024秋 临潼区期末）已知点（m，3）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0的外部，则m的值可能为（ ）
A．0 B．4 C．2 D．﹣1
【答案】ABD
【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于半径列不等式，由此求得m的取值范围．
【解答】解：M：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0化为M：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，
所以圆心M（2，2），半径，
（m，3）在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0的外部，
所以，解得m＞3或m＜1，
综上所述，m的取值范围是（﹣∞，1）∪（3，+∞）．
故选：ABD．
【变式练2】（多选）（2025春 长沙期中）已知圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（4，﹣3） B．点（1，0）在圆内
C．圆M的半径为5 D．点（﹣3，1）在圆内
【答案】ABC
【分析】根据题意，由圆的标准方程的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其圆心为（4，﹣3），A正确；
对于B，由于（1﹣4）2+（0+3）2＜25，点（1，0）在圆内，B正确；
对于C，圆M的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝25，其半径为5，C正确；
对于D，由于（﹣3﹣4）2+（1+3）2＞25，点（﹣3，1）在圆外，D错误．
故选：ABC．
【变式练3】（2025 孝感三模）已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A（﹣1，1），B（1，3），若M（m，）在圆C内，则m的取值范围为 ．
【答案】（0，4）．
【分析】根据已知求得圆的方程，再结合点和圆的位置关系求解结论．
【解答】解：因为圆C的圆心在x轴上，并且经过点A（﹣1，1），B（1，3），
所以可设圆心为C（a，0），由|CA|＝|CB|，得（a+1）2+（﹣1）2＝（a﹣1）2+（﹣3）2，解得a＝2，半径r＝|CA|；
故圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝10，
由题意，知（m﹣2）2+（）2＜10，解得0＜m＜4．
故答案为：（0，4）．
题型04 待定系数法求圆的方程
（2025春 阳江月考）在△ABC中，已知B（﹣4，0），AB边上的中线CD所在直线方程是x+2y﹣1＝0，BC边的高线AE所在直线方程是7x﹣y﹣12＝0．
（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的标准方程．
【答案】（1）（3，﹣1）；
（2）．
【分析】（1）设C（m，n），由题意可得，m+2n﹣1＝0，联立求解即可；
（2）设A（a，b），则AB的中点坐标为，分别将A，D两点坐标代入相应的直线方程，联立求出A点坐标，设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），将A，B，C三点坐标代入求解，最后转化为标准方程即可．
【解答】解：（1）设C（m，n），中线CD所在直线方程是x+2y﹣1＝0，
可得m+2n﹣1＝0，①，
因为BC边的高线AE所在直线方程是7x﹣y﹣12＝0，所以kAE kBC＝﹣1，
又kAE＝7，所以，②
由①②解得m＝3，n＝﹣1，
即点C的坐标为（3，﹣1）；
（2）设A（a，b），B（﹣4，0），
则AB的中点坐标为，
因为中线CD所在直线方程是x+2y﹣1＝0，
则，③
将A（a，b）代入直线AE的方程得7a﹣b﹣12＝0，④
将③④联立解得a＝2，b＝2，即A（2，2），
设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0），
将点A，B，C三点的坐标代入可得，解得，
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+x+y﹣12＝0，
所以△ABC的外接圆的标准方程为．
【变式练1】（2024秋 邢台期末）已知A（2，2），B（5，3），C（3，﹣1），点M（a，2）在△ABC的外接圆上试求a的值．
【答案】a＝2或a＝6．
【分析】设圆的一般方程，由三角形三个顶点在圆上，将三角形三个顶点的坐标代入圆的一般方程得到方程组，求解方程组得到参数的值，从而得到圆的一般方程，再将点M坐标代入圆方程，求得a的值．
【解答】解：设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
A（2，2），B（5，3），C（3，﹣1）在圆上，
则解得，
即△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣8x﹣2y+12＝0．
又因为点M（a，2）在所求的圆上，
故点M（a，2）的坐标满足圆的方程，
可得a2+22﹣8a﹣2×2+12＝0，解得a＝2或a＝6．
【变式练2】（2024秋 衡水期末）（1）求过三点A（1，0），B（0，1），C（2，3）的圆的一般方程；
（2）求过两点C（﹣1，2）和，且圆心在x轴上的圆的标准方程．
【答案】（1）x2+y2﹣3x﹣3y+2＝0；
（2）（x﹣2）2+y2＝13．
【分析】（1）设圆的方程，代入三个点坐标，解得圆方程；
（2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程．
【解答】解：（1）由圆过三点A（1，0），B（0，1），C（2，3），
可设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
由题将三点代入得，解得，
所以所求圆的一般方程为x2+y2﹣3x﹣3y+2＝0；
（2）由题意圆过两点C（﹣1，2）和D（1，2），且圆心在x轴上，
可设圆心为M（a，0），
∵|MC|＝|MD|，∴，
即a2+2a+1+4＝a2﹣2a+1+12，
∴，
∴圆的标准方程为（x﹣2）2+y2＝13．
【变式练3】（2024秋 岳阳县校级期末）△ABC的顶点A（﹣1，0），B（2，0），△ABC的垂心（三条高交点）为H（1，1）．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的外接圆方程．
【答案】（1）（1，2）；
（2）x2+y2﹣x﹣y﹣2＝0．
【分析】（1）设C（a，b），由CH⊥AB，可求得a＝1，又AC⊥BH，利用两者的斜率（均存在）之积为﹣1，可求得b；
（2）设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将A、B、C三点的坐标代入，求得D、E、F，可得答案．
【解答】解：（1）设C（a，b），则CH⊥AB，
∵A（﹣1，0），B（2，0），H（1，1），∴CH∥y轴，∴a＝1，
又AC⊥BH，设AC的斜率为k，BH的斜率为k′，
则k k′ （﹣1）＝﹣1，∴b＝2，
即顶点C的坐标为（1，2）；
（2）设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，解得D＝E＝﹣1，F＝﹣2．
故△ABC的外接圆方程为x2+y2﹣x﹣y﹣2＝0．
题型05 圆方程的应用
（2024秋 资中县校级期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（ ）（参考数据，）
A．2.5米 B．2.7米 C．2.9米 D．3.1米
【答案】C
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据所给数据得到各点的坐标，结合圆的标准方程求得圆拱所在圆的方程，然后取x＝4求得纵坐标的大小，即可得出这条船能从桥下通过的水面以上最大高度．
【解答】解：以圆拱桥的跨度所在直线为x轴，过圆拱桥的最高点且垂直于x轴的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，图中的矩形EFGH为船刚好能通过桥下的位置．
可得B（﹣6，0），E（﹣4，0），F（4，0），C（6，0），
设圆拱桥所在圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，
得36+b2＝（4﹣b）2≡r2，解得b，r，
所以圆的方程为x2+（y）2，取x＝4，解得y2.9，
所以这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.9米．
故选：C．
【变式练1】（2025 西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，若从点A（0，t）发出的光线经过点B（1，0），且被x轴反射后将圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1平分，则实数t＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】设点A关于x轴的对称轴为M（0，﹣t），根据题意得到点M，B，圆心C（4，3）三点共线，进而求解结论．
【解答】解：设点A关于x轴的对称轴为M（0，﹣t），
由对称性可知，点M，B，圆心C（4，3）三点共线，则kBM＝kBC，即，解得t＝1．
故选：A．
【变式练2】（2024秋 泸水市校级期末）对方程x2+y2+2x﹣m＝0，下列叙述不正确的是（ ）
A．方程表示的是圆
B．当m＝0时，方程表示过原点的圆
C．方程表示的圆关于直线x+y+1＝0对称
D．方程表示的圆的圆心在x轴上
【答案】A
【分析】将方程整理，分别判断所给命题的真假．
【解答】解：对方程x2+y2+2x﹣m＝0整理可得：（x+1）2+y2＝m+1，
若方程表示一个圆，则m+1＞0，从而m＞﹣1，即只有m＞﹣1时，则该方程表示圆，所以A错；B正确；
方程表示圆时，圆心为（﹣1，0），在直线x+y+1＝0上，所以该圆关于此直线对称，所以C，D正确．
故选：A．
【变式练3】（多选）（2025春 北仑区校级期中）已知圆C：x2+y2+kx﹣2y+k2＝0，k∈R，则（ ）
A．当k＝0时，C的面积是π
B．实数k的取值范围是
C．点（0，1）在C内
D．当C的周长最大时，圆心坐标是（0，﹣1）
【答案】AB
【分析】根据已知条件，将圆的方程标准化，即可依次判断．
【解答】解：圆C：x2+y2+kx﹣2y+k2＝0，则，
对于A，当k＝0时，圆C的半径为1，
故C的面积为π×12＝π，故A正确；
对于B，由半径的平方大于0可知，，解得，故B正确；
对于C，02+12+0﹣2+k2＞0，故点C在圆外，故C错误；
对于D，当k＝0时，半径取得最大值1，即C的周长最大，此时圆心坐标为（0，1），故D错误．
故选：AB．
