2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型01 直线与圆位置关系的判断 4
题型02 圆与圆位置关系的判断 5
题型03 弦长问题 6
题型04 圆的切线方程 7
题型05 两圆公共弦问题 8
题型06 直线与圆的应用 9
知识点1： 直线与圆的位置关系
1．直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
2．直线与圆相交：直线与圆有两个公共点．
3．直线与圆相离：直线与圆没有公共点．
知识点2： 圆的切线方程
1．直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
2．几何法：圆心到直线的距离等于半径，即．
3．代数法：，方程组有一组不同的解．
知识点3： 直线与圆相交
1．直线与圆相交：直线与圆有两个公共点．
2．几何法：圆心到直线的距离小于半径，即．
3．代数法：，方程组有二组不同的解．
知识点4： 圆与圆的位置关系
1．两圆相离：无公共点；，方程组无解．
2．两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解．
3．两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解．
4．两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解．
5．两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆．
1．直线与圆位置关系的判断．
(1)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(2)几何法：利用d与r的关系．
(3)点与圆的位置关系：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交．
2．过某点的圆的切线方程．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．
3．直线与圆相交弦长的求解．
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
4．两圆公共弦的求解．
(1)比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系．
(2)两圆方程相减即得公共弦方程．
(3)公共弦长要通过解直角三角形获得．
5．直线与圆位置关系的求解．
(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系．
(2)直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形．
(3)直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
题型01 直线与圆位置关系的判断
（2025秋 江西月考）圆x2+y2＝1与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的
【答案】A
【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系．
【解答】解：由已知，圆x2+y2＝1圆心为O（0，0），半径为1，
圆心到直线的距离，
故圆与直线相交．
故选：A．
【变式练1】（2025 甘肃模拟）已知直线l：x+y﹣1＝0与圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝4，则（ ）
A．l与C相离 B．l与C相切
C．l平分C D．l与C相交但不平分C
【变式练2】（2025春 浙江期中）直线l：xcosθ+ysinθ＝2+cosθ与圆O：（x﹣1）2+y2＝9的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
【变式练3】（2024秋 海口校级期末）已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：x2+y2＝2，点A（1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C上，直线l与圆C相切
B．点A在圆C内，直线l与圆C相离
C．点A在圆C外，直线l与圆C相切
D．点A在圆C上，直线l与圆C相交
题型02 圆与圆位置关系的判断
（2025春 抚顺校级期末）已知圆，圆，则两个圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】D
【分析】根据圆心距确定两圆位置关系．
【解答】解：，圆心（3，0），半径r2＝3，
圆心C1（1，0），半径r1＝1，则|C1C2|＝2＝r2﹣r1，
所以两圆相内切．
故选：D．
【变式练1】（2025春 浦东新区期中）圆C1：x2+y2﹣4x＝0和与圆C2：x2+y2+2y＝0的位置关系为（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
【变式练2】（2025 临沂一模）圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【变式练3】（2025春 石家庄月考）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0和圆C2：4x2+4y2﹣16x﹣16y+31＝0，则这两个圆的位置关系为 ．
题型03 弦长问题
（2025 厦门模拟）直线l：x﹣y＝0被圆C：（x﹣1）2+y2＝1所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式求解．
【解答】解：由已知可得圆心C（1，0），半径r＝1，
因为点C到直线的距离，
所以所求弦长为．
故选：A．
【变式练1】（2025 福建模拟）直线mx﹣y+1﹣3m＝0（其中m∈R）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式练2】（2025 沙坪坝区校级开学）已知直线4x﹣3y+a＝0与⊙C：x2+y2+4x＝0相交于A、B两点，且∠ACB＝120°，则实数a的值为（ ）
A．3 B．10 C．11或21 D．3或13
【变式练3】（多选）（2025 四川校级模拟）已知实数x，y满足方程（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，则下列说法错误的是（ ）
A．直线y＝x被圆截得的弦长为
B．x2+y2的最大值
C．的最大值为
D．x+y的最大值为
题型04 圆的切线方程
（2025春 分宜县期末）过点M（﹣1，2）且与圆x2+y2＝5相切的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+5＝0 B．x+2y+5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y+5＝0
【答案】A
【分析】先判断出点M在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案．
【解答】解：因为（﹣1）2+22＝5，所以点M在圆上，
而，则切线斜率为，
所以切线方程为：即x﹣2y+5＝0．
故选：A．
【变式练1】（2025 成都模拟）直线mx+（m+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（m∈R）相切，则m＝（ ）
A．1 B．3 C．0或1 D．0或3
【变式练2】（2025 柳州一模）若过点与圆x2+y2＝4相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【变式练3】（2025春 闵行区期末）已知点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则过点M的圆C的切线方程为 ．
题型05 两圆公共弦问题
（2025 长春模拟）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长（法一）；也可求出圆心到公共弦的距离d，然后结合弦长公式可求（法二）．
【解答】解：联立方程：，
两式相减可得公共弦方程x﹣y+2＝0，
方法一：联立方程：，得x2+2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝﹣2，即公共弦的端点坐标为（0，2），（﹣2，0），
根据点到直线距离公式可得公共弦长为；
方法二：圆x2+y2﹣4＝0的圆心坐标为（0，0），半径为r＝2，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为．
故选：B．
【变式练1】（2025 东兴区模拟）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 ．
【变式练2】（2025春 琼山区校级月考）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
【变式练3】（2025春 湖北期中）已知圆O：x2+y2＝9和圆C：（x﹣4）2+（y+3）2＝54，则两圆的公共弦长为 ．
题型06 直线与圆的应用
（2025 城区校级开学）为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米．
（1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用圆过点B，C可解出圆的方程；
（2）只需判断点P（4，7.5）与圆的位置关系即可．
【解答】解：（1）B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），
圆的方程为：x2+（y﹣b）2＝r2，
由圆过点B，C可得，解得b＝﹣12，r＝20，
所以圆形拱桥所在圆的方程是x2+（y+12）2＝400．
（2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5），
代入圆方程左端得396.25＜400，所以点P在圆内，
故船可以通过．
【变式练1】（多选）（2024秋 齐齐哈尔校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l恒过定点（3，1）
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x﹣y﹣5＝0
【变式练2】（2025春 松江区校级月考）过直线y＝﹣x+1上任一点P向圆x2+（y+1）2＝1作两条切线，切点为A，B，则|AB|的最小值为 ．
【变式练3】（2025春 咸阳校级月考）已知点M（0，3），直线x﹣ky﹣2＝0被圆（x﹣1）2+y2＝8所截得弦的中点为N，则|MN|的最大值是 ．2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型01 直线与圆位置关系的判断 4
题型02 圆与圆位置关系的判断 6
题型03 弦长问题 7
题型04 圆的切线方程 10
题型05 两圆公共弦问题 12
题型06 直线与圆的应用 14
知识点1： 直线与圆的位置关系
1．直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
2．直线与圆相交：直线与圆有两个公共点．
3．直线与圆相离：直线与圆没有公共点．
知识点2： 圆的切线方程
1．直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点．
2．几何法：圆心到直线的距离等于半径，即．
3．代数法：，方程组有一组不同的解．
知识点3： 直线与圆相交
1．直线与圆相交：直线与圆有两个公共点．
2．几何法：圆心到直线的距离小于半径，即．
3．代数法：，方程组有二组不同的解．
知识点4： 圆与圆的位置关系
1．两圆相离：无公共点；，方程组无解．
2．两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解．
3．两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解．
4．两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解．
5．两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆．
1．直线与圆位置关系的判断．
(1)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．
(2)几何法：利用d与r的关系．
(3)点与圆的位置关系：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交．
2．过某点的圆的切线方程．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．
3．直线与圆相交弦长的求解．
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2．
4．两圆公共弦的求解．
(1)比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系．
(2)两圆方程相减即得公共弦方程．
(3)公共弦长要通过解直角三角形获得．
5．直线与圆位置关系的求解．
(1)直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系．
(2)直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形．
(3)直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
题型01 直线与圆位置关系的判断
（2025秋 江西月考）圆x2+y2＝1与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的
【答案】A
【分析】求出圆心到直线距离，进而判断位置关系．
【解答】解：由已知，圆x2+y2＝1圆心为O（0，0），半径为1，
圆心到直线的距离，
故圆与直线相交．
故选：A．
【变式练1】（2025 甘肃模拟）已知直线l：x+y﹣1＝0与圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝4，则（ ）
A．l与C相离 B．l与C相切
C．l平分C D．l与C相交但不平分C
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合直线l经过圆心，即可求解．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝4，圆心为（3，﹣2），
直线l：x+y﹣1＝0过圆心（3，﹣2），
则l平方C．
故选：C．
【变式练2】（2025春 浙江期中）直线l：xcosθ+ysinθ＝2+cosθ与圆O：（x﹣1）2+y2＝9的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
【答案】B
【分析】首先确定圆心和半径，再应用点线距离公式求圆心到直线的距离，即可判断．
【解答】解：因为O：（x﹣1）2+y2＝9，
所以圆心O（1，0），半径r＝3，
因为直线l：xcosθ+ysinθ＝2+cosθ，
所以圆心O（1，0）到直线l的距离为：
3，
所以直线与圆相交．
故选：B．
【变式练3】（2024秋 海口校级期末）已知直线l：x+y﹣2＝0与圆C：x2+y2＝2，点A（1，1），则下列说法正确的是（ ）
A．点A在圆C上，直线l与圆C相切
B．点A在圆C内，直线l与圆C相离
C．点A在圆C外，直线l与圆C相切
D．点A在圆C上，直线l与圆C相交
【答案】A
【分析】比较圆心到直线的距离与圆半径大小可判断直线与圆位置关系，判断点A是否满足圆方程，可判断点与圆的位置关系．
【解答】解：因为点A的坐标（1，1）满足圆C的方程，所以点A在圆C上．
圆C：x2+y2＝2，
则圆心C（0，0），半径r，
则圆心C（0，0）到直线l的距离，
所以直线l与圆C相切．
故选：A．
题型02 圆与圆位置关系的判断
（2025春 抚顺校级期末）已知圆，圆，则两个圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】D
【分析】根据圆心距确定两圆位置关系．
【解答】解：，圆心（3，0），半径r2＝3，
圆心C1（1，0），半径r1＝1，则|C1C2|＝2＝r2﹣r1，
所以两圆相内切．
故选：D．
【变式练1】（2025春 浦东新区期中）圆C1：x2+y2﹣4x＝0和与圆C2：x2+y2+2y＝0的位置关系为（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合两圆圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣4x＝0，圆C2：x2+y2+2y＝0，
则圆心C1（2，0），半径r1＝2，圆心C2（﹣1，0），半径r2＝1，
，又r2﹣r1＜|C1C2|＜r1+r2，
故两圆的位置关系为相交．
故选：B．
【变式练2】（2025 临沂一模）圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【答案】B
【分析】求出圆C1的圆心C1，半径r1，求出圆C2的圆心C2，半径r2，再求出圆心距|C1C2|＝r1+r2，由此得到圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0的位置关系是外切．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心C1（0，0），半径r1＝1，
圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0的圆心C2（3，4），半径r24，
|C1C2|5＝r1+r2，
∴圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+9＝0的位置关系是外切．
故选：B．
【变式练3】（2025春 石家庄月考）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0和圆C2：4x2+4y2﹣16x﹣16y+31＝0，则这两个圆的位置关系为 ．
【答案】内含．
【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系．
【解答】解：因为圆C1：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，圆C2：，
所以圆心距，
而两圆半径之差，故两个圆内含．
故答案为：内含．
题型03 弦长问题
（2025 厦门模拟）直线l：x﹣y＝0被圆C：（x﹣1）2+y2＝1所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式求解．
【解答】解：由已知可得圆心C（1，0），半径r＝1，
因为点C到直线的距离，
所以所求弦长为．
故选：A．
【变式练1】（2025 福建模拟）直线mx﹣y+1﹣3m＝0（其中m∈R）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线过定点，根据圆的几何性质当定点与圆心连线垂直直线时，直线截得弦最短即可得解．
【解答】解：直线系mx﹣y+1﹣3m＝0可化为m（x﹣3）﹣y+1＝0，
∴直线恒过定点M（3，1），
由圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，知圆的圆心C（2，2），半径，
直线mx﹣y+1﹣3m＝0（其中m∈R）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5所截得的最短弦长，
由圆的几何性质知，当MC与直线垂直时，直线被圆所截得弦最短，
此时弦长为．
故选：B．
【变式练2】（2025 沙坪坝区校级开学）已知直线4x﹣3y+a＝0与⊙C：x2+y2+4x＝0相交于A、B两点，且∠ACB＝120°，则实数a的值为（ ）
A．3 B．10 C．11或21 D．3或13
【答案】D
【分析】首先将圆的方程整理为标准方程，结合等腰三角形的性质和点到直线距离公式得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果．
【解答】解：圆的方程整理为标准方程即：（x+2）2+y2＝4，
设AB中点为D，由圆的性质可知△ABO为等腰三角形，其中OA＝OB，
则，
即圆心（﹣2，0）到直线4x﹣3y+a＝0的距离为d＝1，
据此可得：，即|a﹣8|＝5，解得：a＝3或a＝13．
故选：D．
【变式练3】（多选）（2025 四川校级模拟）已知实数x，y满足方程（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，则下列说法错误的是（ ）
A．直线y＝x被圆截得的弦长为
B．x2+y2的最大值
C．的最大值为
D．x+y的最大值为
【答案】AB
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将x2+y2表示为圆上的点到原点的距离的平方，、x+y分别表示直线y＝kx、x+y＝a与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解．
【解答】解：A：实数x，y满足方程（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，
所以把（x，y）看作是以（2，1）为圆心，以1为半径的圆上的点的坐标；
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，
于是弦长22，故A错误；
B：原点到圆心的距离为d，所以圆上的点到原点的距离的范围为[1，1]，即1，可得x2+y2≤6+2，
所以x2+y2的最大值为6+2，故B错误；
C：令y＝kx，则直线与圆有公共点，所以1，
解得0≤k，所以的最大值为．故C正确；
D：令x+y＝z，则直线与圆有公共点，所以1，
解得3z≤3，所以x+y的最大值为3，故D正确；
故选：AB．
题型04 圆的切线方程
（2025春 分宜县期末）过点M（﹣1，2）且与圆x2+y2＝5相切的直线方程为（ ）
A．x﹣2y+5＝0 B．x+2y+5＝0 C．2x﹣y﹣5＝0 D．2x+y+5＝0
【答案】A
【分析】先判断出点M在圆上，进而求出切线斜率即可得到答案．
【解答】解：因为（﹣1）2+22＝5，所以点M在圆上，
而，则切线斜率为，
所以切线方程为：即x﹣2y+5＝0．
故选：A．
【变式练1】（2025 成都模拟）直线mx+（m+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（m∈R）相切，则m＝（ ）
A．1 B．3 C．0或1 D．0或3
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式结合直线与圆相切的关系可得出关于实数m的等式，迸而可求得实数m的值．
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心为（1，1），半径r＝1，
由题意可得1，
解得m＝0或3．
故选：D．
【变式练2】（2025 柳州一模）若过点与圆x2+y2＝4相切的两条直线的夹角为α，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意求出点（2，0）到圆心的距离为d，进而可得sin，结合二倍角的余弦公式计算即可求解．
【解答】解：过点（2，0）与圆x2+y2＝4相切的两条直线的夹角为α，
点（2，0）到圆心（0，0）的距离为d＝2，圆的半径为r＝2，
所以sin，于是cosα＝1﹣2sin21﹣2×（）2．
故选：C．
【变式练3】（2025春 闵行区期末）已知点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则过点M的圆C的切线方程为 ．
【答案】x+2y﹣5＝0．
【分析】根据点M在圆C上求出圆C的方程为x2+y2＝5，由圆的切线的性质求出圆C经过点M的切线的斜率，进而求得所求切线方程．
【解答】解：若点M（1，2）在圆C：x2+y2＝r2上，则12+22＝r2，解得r2＝5，
所以圆C的方程为x2+y2＝5，圆心为O（0，0），半径r，
若直线经过点M（1，2）与圆C相切，则该直线与OM垂直，斜率k，
所以过点M的圆C的切线方程为y﹣2（x﹣1），即x+2y﹣5＝0．
故答案为：x+2y﹣5＝0．
题型05 两圆公共弦问题
（2025 长春模拟）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长（法一）；也可求出圆心到公共弦的距离d，然后结合弦长公式可求（法二）．
【解答】解：联立方程：，
两式相减可得公共弦方程x﹣y+2＝0，
方法一：联立方程：，得x2+2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝﹣2，即公共弦的端点坐标为（0，2），（﹣2，0），
根据点到直线距离公式可得公共弦长为；
方法二：圆x2+y2﹣4＝0的圆心坐标为（0，0），半径为r＝2，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为．
故选：B．
【变式练1】（2025 东兴区模拟）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 ．
【答案】2x﹣y+1＝0．
【分析】将两圆的方程相减可得，即可求解．
【解答】解：圆与圆，
两圆相减可得，2x﹣y+1＝0，
故两圆公共弦AB所在直线的方程为2x﹣y+1＝0．
故答案为：2x﹣y+1＝0．
【变式练2】（2025春 琼山区校级月考）已知圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ．
【答案】x﹣y+1＝0．
【分析】根据两圆的位置关系，将圆C1与圆C2的方程相减，化简得到公共弦所在直线方程，可得答案．
【解答】解：根据题意，将圆C1：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0与圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣7＝0的方程相减，
可得6x﹣6y+6＝0，化简得x﹣y+1＝0，
即为两圆的公共弦AB所在直线的方程．
故答案为：x﹣y+1＝0．
【变式练3】（2025春 湖北期中）已知圆O：x2+y2＝9和圆C：（x﹣4）2+（y+3）2＝54，则两圆的公共弦长为 ．
【答案】．
【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心O（0，0）到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长．
【解答】解：如图，圆O：x2+y2＝9与圆C：（x﹣4）2+（y+3）2＝54相交，
故两圆的公共弦所在直线方程为：lAB：4x﹣3y+10＝0，
圆O：x2+y2＝9的圆心O（0，0）到直线lAB：4x﹣3y+10＝0的距离为：，
根据弦长公式，则两圆的公共弦长为．
故答案为：．
题型06 直线与圆的应用
（2025 城区校级开学）为了开发古城旅游观光，镇政府决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米．
（1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米．问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用圆过点B，C可解出圆的方程；
（2）只需判断点P（4，7.5）与圆的位置关系即可．
【解答】解：（1）B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），
圆的方程为：x2+（y﹣b）2＝r2，
由圆过点B，C可得，解得b＝﹣12，r＝20，
所以圆形拱桥所在圆的方程是x2+（y+12）2＝400．
（2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5），
代入圆方程左端得396.25＜400，所以点P在圆内，
故船可以通过．
【变式练1】（多选）（2024秋 齐齐哈尔校级期末）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0．则以下几个结论正确的有（ ）
A．直线l恒过定点（3，1）
B．圆C被y轴截得的弦长为
C．点C到直线l的距离的最大值是
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x﹣y﹣5＝0
【答案】ABD
【分析】首先变形直线l求定点，将x＝0代入圆C的方程，求圆与y轴的交点，即可判断B，结合定点，利用点到直线的距离公式，以及弦长公式，即可判断CD．
【解答】解：A中，将直线l：mx+y﹣3m﹣1＝0整理为m（x﹣3）+y﹣1＝0，
令x＝3，y＝1满足方程，即可直线l恒过定点P（3，1），故A正确；
B中，当x＝0时，1+（y﹣2）2＝25，可得|y﹣2|＝2，设，，
所以圆C被y轴截得的弦长为，故B正确；
C中，当CP⊥l时，则圆心C（1，2）到直线l的距离的最大，
即为圆心C与定点P（3，1）的距离，故C错误；
D中，设直线l的定点P（3，1），当点P为弦的中点时，此时弦长最短，即CP⊥l，
因为，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣5＝0，故D正确．
故选：ABD．
【变式练2】（2025春 松江区校级月考）过直线y＝﹣x+1上任一点P向圆x2+（y+1）2＝1作两条切线，切点为A，B，则|AB|的最小值为 ．
【答案】．
【分析】圆x2+（y+1）2＝1的圆心为C（0，﹣1），结合等面积法可知，由此可知只需求|PC|的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解．
【解答】解：由题意知，圆x2+（y+1）2＝1的圆心为C（0，﹣1），半径为1，
由切线长定理得|AP|＝|BP|，
又因为|CA|＝|CB|，|CP|＝|CP|，则△CAP≌△CBP，所以∠APC＝∠BPC，
所以CP⊥AB，则四边形ACBP面积为|AB| |PC|＝|CA| |PA|，
所以|AB|2，
当|PC|的长最小时，弦长|AB|最小，
而|PC|的最小值为圆心C（0，﹣1）到直线y＝﹣x+1的距离，
所以|PC|min，所以．
故答案为：．
【变式练3】（2025春 咸阳校级月考）已知点M（0，3），直线x﹣ky﹣2＝0被圆（x﹣1）2+y2＝8所截得弦的中点为N，则|MN|的最大值是 ．
【答案】．
【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得N点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据|MN|∈[|MC|﹣r，|MC|+r]求解．
【解答】解：根据题意，由于直线x﹣ky﹣2＝0，即ky＝x﹣2，
易得该直线恒过点（2，0），设B（2，0），
圆（x﹣1）2+y2＝8，其圆心为（1，0），设A（1，0），
设N（x，y），则，故，
即（x﹣1） （x﹣2）+y2＝0，化简可得，
故N点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
由于M（0，3）在圆C外，，
故|MC|﹣r≤|MN|≤|MC|+r，即|MN|≤|MC|+r，
则|MN|的最大值是．
故答案为：．
