3.2 双曲线
题型01 双曲线的定义 4
题型02 双曲线的标准方程 7
题型03 双曲线的几何性质 9
题型04 双曲线的离心率 11
题型05 直线与双曲线 14
知识点1： 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2．
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|．
知识点2： 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
知识点3： 双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
知识点4： 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为．
知识点5： 双曲线的离心率
1．离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝．
2．等轴双曲线 离心率e＝ 两条渐近线y＝±x相互垂直．
知识点6： 直线与双曲线
1．将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．
2．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线．
3．当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
1．双曲线的定义．
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
2．双曲线的标准方程．
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线．
3．由双曲线的标准方程研究几何性质．
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
4．由双曲线的性质求标准方程．
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧:渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
5．双曲线离心率的求解．
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
6．直线与双曲线．
(1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)．
(2)弦长公式：设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|．
题型01 双曲线的定义
（2025春 河南月考）双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离．
【解答】解：对于双曲线，可得a＝5．
设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，
因为|AF2|＝19．
根据双曲线的定义||AF1|﹣|AF2||＝2a＝10，则有||AF1|﹣19|＝10．
可得|AF1|﹣19＝10或|AF1|﹣19＝﹣10．
当|AF1|﹣19＝10时，|AF1|＝10+19＝29；
当|AF1|﹣19＝﹣10时，AF1＝﹣10+19＝9．
所以点A到左焦点的距离为9或29．
故选：C．
【变式练1】（2025春 五华区校级期中）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案．
【解答】解：当||PF1|﹣|PF2||＜|F1F2|时，
动点M的轨迹才是双曲线，故充分性不成立；
“点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点，
且满足||PF1|﹣|PF2||为定值|，故必要性成立，
综上所述，“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件．
故选：B．
【变式练2】（2025 惠来县校级模拟）若双曲线上的点A到点（5，0）的距离为4，则点A到点（﹣5，0）的距离为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】先利用双曲线的标准方程确定焦点坐标，再利用双曲线的定义求解即可．
【解答】解：已知双曲线，则a2＝16，b2＝9，则c2＝25，
则双曲线C的左、右焦点分别为F1（﹣5，0），F2（5，0），
因|AF2|﹣|AF1|＝8或|AF1|﹣|AF2|＝8，且|AF2|＝4，
故|AF1|＝12．
故选：B．
【变式练3】（2025春 广元校级期中）已知双曲线，若C上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为 ．
【答案】13．
【分析】根据双曲线定义求解即可．
【解答】解：由双曲线C的方程知，a＝4，b＝3，
设其左、右焦点分别为F1，F2，
由双曲线的定义知，||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，
不妨设|PF1|＝5，则|PF2|＝13或|PF2|＝﹣3（舍负），
所以P到另一个焦点的距离为13．
故答案为：13．
题型02 双曲线的标准方程
（2025秋 福建月考）焦点在x轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知得c，再由离心率和a，b，c关系求a，b，得到双曲线的标准方程．
【解答】解：因为双曲线的焦点在x轴上，焦距为4且离心率为2，
可得2c＝4，，解得c＝2，a＝1，所以，
故该双曲线方程为．
故选：A．
【变式练1】（多选）（2025 江西模拟）若双曲线C的两条渐近线的方程为y＝±x，则（ ）
A．C的离心率为
B．C的焦点在x轴上
C．若C上的点到两渐近线距离之和的最小值为4，则C的实轴长为
D．若双曲线绕原点沿逆时针方向旋转后恰好得到C，则C的方程为
【答案】AC
【分析】根据双曲线的性质即可求解．
【解答】解：双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，则C为等轴双曲线，其离心率为，故A正确；
等轴双曲线y2﹣x2＝1符合题意，但焦点在y轴上，故B错误；
设C的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0），若点P（x，y）在C上，
则P到两渐近线距离之积为，
所以C上的点到两渐近线距离之和的最小值为24，所以|λ|＝8，
C的实轴长为，故C正确；
易得双曲线关于直线y＝x对称，且与直线y＝x有公共点，
所以双曲线的实轴在直线y＝x上，
所以双曲线与直线y＝x的交点，为双曲线的顶点，
顶点到原点的距离为4，所以C的半实轴长为4，旋转后实轴在y轴上，故C的方程为，故D错误．
故选：AC．
【变式练2】（2025春 闵行区校级月考）双曲线的一个焦点的坐标是（5，0），一条渐近线的方程是3x﹣4y＝0，则双曲线的标准方程是 ．
【答案】．
【分析】由已知可设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），再由双曲线的渐近线方程结合隐含条件求解a2，b2的值，则答案可求．
【解答】解：由双曲线的一个焦点的坐标是（5，0），
可设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），且c＝5．
又一条渐近线的方程是3x﹣4y＝0，即y，
则，结合a2+b2＝c2，解得a2＝16，b2＝9．
∴双曲线的标准方程是．
故答案为：．
【变式练3】（2024秋 柳州期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率e＝2；
（2）渐近线方程为，经过点P（2，2）．
【答案】（1）x21．
（2）1．
【分析】（1）设双曲线的标准方程为1（a＞0，b＞0），由已知2a＝2，e＝2，由此能求出双曲线的标准方程．
（2）由渐近线方程可设双曲线的方程为y2x2＝m（m≠0），代入点（2，2），解方程可得m，进而得到双曲线的标准方程．
【解答】解：（1）设双曲线的标准方程为1（a＞0，b＞0），
由已知2a＝2，e＝2，可得a＝1，c＝2，b2＝3，
所以双曲线的标准方程为x21．
（2）由渐近线方程是，
可设双曲线的方程为y2x2＝m（m≠0），
将（2，2）代入上式，得44＝m，即m＝3，
则双曲线的标准方程为1．
题型03 双曲线的几何性质
（2025秋 安阳月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的实轴长为（ ）
A．12 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程，可得a2＝m+2，b2＝m，即可求得渐近线方程，根据条件，可得，进而可求得m值，即可得答案．
【解答】解：已知双曲线，则a2＝m+2，b2＝m，
所以，
所以一条渐近线的方程为，所以，
解得m＝4，则a2＝6，
所以实轴长．
故选：C．
【变式练1】（2025秋 泉州月考）已知双曲线的一条渐近线的方程为2x﹣y＝0，则m＝（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据渐近线的斜率列方程即可得解．
【解答】解：因为双曲线，所以双曲线焦点在x轴上，
又其中一条渐近线方程为y＝2x，
所以，解得m＝4．
故选：A．
【变式练2】（2025秋 播州区校级月考）已知双曲线C：x21经过点M（﹣2，），则C的虚轴长为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】由已知得到双曲线方程可求出虚轴．
【解答】解：由点在双曲线上，
得，解得a＝﹣2，即双曲线方程为，
所以，则C的虚轴长为．
故选：A．
【变式练3】（多选）（2025 山东学业考试）已知双曲线，则（ ）
A．C的焦点在y轴上
B．C的焦距为10
C．C的离心率为
D．C的渐近线方程为
【答案】AB
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线离心率及渐近线的求法求解即可．
【解答】解：已知双曲线，
则a2＝9，b2＝16，则c2＝a2+b2＝25，
对于A，结合双曲线的方程可得：C的焦点为F1（0，5）和F2（0，﹣5），即A正确；
对于B，C的焦距为2c＝10，即B正确；
对于C，C的离心率为，即C错误；
对于D，C的渐近线方程为，即D错误．
故选：AB．
题型04 双曲线的离心率
（2025 西城区校级开学）若双曲线的离心率小于，则满足条件的实数m的一个可能取值为 ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据离心率范围列出关于m的不等式，解出m的范围，从中取一个值即可．
【解答】解：由已知，，则0＜m2＜1，
m的一个可能取值为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式练1】（2025秋 江西月考）已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据垂直得到双曲线的一条渐近线斜率为，故，从而求出离心率．
【解答】解：根据题意可知，直线的斜率为，
由两直线垂直可得双曲线C的其中一条渐近线斜率，
即焦点在x轴上的双曲线，，
故C的离心率．
故选：D．
【变式练2】（多选）（2025春 泸州期末）过双曲线的一个焦点的直线l：x﹣2y﹣5＝0与C的一条渐近线平行，且与C交于点P，则（ ）
A．C的实轴长为
B．C的离心率为
C．P到C的右焦点的距离为
D．C的一个顶点坐标为
【答案】BC
【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的a，b得双曲线标准方程，然后判断各选项．
【解答】解：直线l：x﹣2y﹣5＝0与坐标轴的交点分别为（5，0）和，
因此双曲线的一个焦点为（5，0），即c＝5，
又双曲线的一条渐近线与直线l平行，所以，
由，解得，
A，实轴长为，故A错误；
B，离心率为，故B正确；
C，双曲线方程为，由解得，即，
右焦点为F2（5，0），则，故C正确，
D，曲线C的顶点坐标为，故D错误．
故选：BC．
【变式练3】（2025 山东校级模拟）已知双曲线的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，则双曲线C的离心率e＝ ．
【答案】2．
【分析】根据题意求得渐近线方程，焦点坐标，虚轴顶点坐标，利用已知可得，计算即可求得离心率．
【解答】解：双曲线，渐近线方程为，
即bx±ay＝0，焦点坐标为（±c，0），虚轴顶点坐标为（0，±b）．
∵焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，
∴，则c＝2a，∴．
故答案为：2．
题型05 直线与双曲线
（2025春 北京校级月考）双曲线，点，则直线PQ与双曲线的公共点的个数（ ）
A．0个 B．恰有1个 C．恰有2个 D．恰有4个
【答案】B
【分析】求出直线PQ方程，根据直线PQ与双曲线的一条渐近线平行可得结果．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为．
∵，
∴直线PQ方程为，整理得，
∴直线PQ的斜率为，直线PQ与双曲线的一条渐近线平行，
∴直线PQ与双曲线恰有1个公共点．
故选：B．
【变式练1】（2025 邵阳模拟）已知直线l：y＝3x+1与双曲线E：相交于A，B两点，且弦AB的中点是，则此双曲线E的渐近线方程为（ ）
A． B． C．y＝±2x D．
【答案】B
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知结合点差法即可求解．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴，即，
∵直线l：y＝3x+1，弦AB的中点是，
∴，得a2＝4b2，即．
∴此双曲线E的渐近线方程为y．
故选：B．
【变式练2】（2025 南阳模拟）若直线l：y＝k（x﹣2）与双曲线恰好有一个交点，则直线l的斜率为 ．
【答案】或．
【分析】联立直线方程和双曲线方程，然后根据方程解得个数讨论求解．
【解答】解：将直线l方程y＝k（x﹣2）代入方程中，
得，整理得（7﹣9k2）x2+36k2x﹣36k2﹣63＝0．
当7﹣9k2＝0时，所以时，变为一次方程，
此时直线与双曲线的渐近线平行，
直线与双曲线恰好有一个交点．
当7﹣9k2≠0时，（7﹣9k2）x2+36k2x﹣36k2﹣63＝0是二次方程，
如果双曲线恰好有一个交点，
那么根的判别式Δ＝（36k2）2﹣4（7﹣9k2）（﹣36k2﹣63）＝0，
化简1296k4﹣（1296k4+1260k2﹣1764）＝0．
所以﹣1260k2+1764＝0，那么．
所以．
故答案为：或．
【变式练3】（2025春 上城区校级期末）已知双曲线C：的右焦点为F（，0），且C的一条渐近线经过点D（，1）．
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C的标准方程为；
（2）不存在，理由见解析．
【分析】（1）由题意，根据双曲线的焦点以及渐近线方程经过点，列出等式即可求出C的标准方程；
（2）假设存在符合条件的直线l，此时直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），整理得，根据x1≠x2，x1≠﹣x2，得到，因为AB的中点为P（2，1），解得k＝1，进而得到直线l的方程，将直线l的方程与双曲线方程联立，利用根的判别式进行判断即可．
【解答】解：（1）已知双曲线C的右焦点为，所以a2+b2＝6，①
又双曲线C的一条渐近线经过点，
所以，整理得a2＝2b2，②
联立①②，解得a2＝4，b2＝2，
所以C的标准方程为；
（2）假设存在符合条件的直线l，
此时直线l的斜率存在，
不妨设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），
此时，，
两式相减得，
因为x1≠x2，x1≠﹣x2，所以，
又线段AB的中点为P（2，1），
所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，此时，解得k＝1，
则直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1，
联立，消去y并整理得x2﹣4x+6＝0，
因为Δ＝（﹣4）2﹣4×1×6＜0，所以方程没有实根，则假设不成立，
故不存在过点P（2，1）的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P．3.2 双曲线
题型01 双曲线的定义 4
题型02 双曲线的标准方程 6
题型03 双曲线的几何性质 7
题型04 双曲线的离心率 8
题型05 直线与双曲线 9
知识点1： 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2．
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|．
知识点2： 双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
知识点3： 双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
知识点4： 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为．
知识点5： 双曲线的离心率
1．离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝．
2．等轴双曲线 离心率e＝ 两条渐近线y＝±x相互垂直．
知识点6： 直线与双曲线
1．将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．
2．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线．
3．当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
1．双曲线的定义．
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．
2．双曲线的标准方程．
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．
(2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线．
3．由双曲线的标准方程研究几何性质．
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
4．由双曲线的性质求标准方程．
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧:渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
5．双曲线离心率的求解．
(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
6．直线与双曲线．
(1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)．
(2)弦长公式：设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|．
题型01 双曲线的定义
（2025春 河南月考）双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ）
A．9 B．7 C．9或29 D．7或19
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离．
【解答】解：对于双曲线，可得a＝5．
设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，
因为|AF2|＝19．
根据双曲线的定义||AF1|﹣|AF2||＝2a＝10，则有||AF1|﹣19|＝10．
可得|AF1|﹣19＝10或|AF1|﹣19＝﹣10．
当|AF1|﹣19＝10时，|AF1|＝10+19＝29；
当|AF1|﹣19＝﹣10时，AF1＝﹣10+19＝9．
所以点A到左焦点的距离为9或29．
故选：C．
【变式练1】（2025春 五华区校级期中）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式练2】（2025 惠来县校级模拟）若双曲线上的点A到点（5，0）的距离为4，则点A到点（﹣5，0）的距离为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【变式练3】（2025春 广元校级期中）已知双曲线，若C上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为 ．
题型02 双曲线的标准方程
（2025秋 福建月考）焦点在x轴上，焦距为4且离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知得c，再由离心率和a，b，c关系求a，b，得到双曲线的标准方程．
【解答】解：因为双曲线的焦点在x轴上，焦距为4且离心率为2，
可得2c＝4，，解得c＝2，a＝1，所以，
故该双曲线方程为．
故选：A．
【变式练1】（多选）（2025 江西模拟）若双曲线C的两条渐近线的方程为y＝±x，则（ ）
A．C的离心率为
B．C的焦点在x轴上
C．若C上的点到两渐近线距离之和的最小值为4，则C的实轴长为
D．若双曲线绕原点沿逆时针方向旋转后恰好得到C，则C的方程为
【变式练2】（2025春 闵行区校级月考）双曲线的一个焦点的坐标是（5，0），一条渐近线的方程是3x﹣4y＝0，则双曲线的标准方程是 ．
【变式练3】（2024秋 柳州期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率e＝2；
（2）渐近线方程为，经过点P（2，2）．
题型03 双曲线的几何性质
（2025秋 安阳月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的实轴长为（ ）
A．12 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程，可得a2＝m+2，b2＝m，即可求得渐近线方程，根据条件，可得，进而可求得m值，即可得答案．
【解答】解：已知双曲线，则a2＝m+2，b2＝m，
所以，
所以一条渐近线的方程为，所以，
解得m＝4，则a2＝6，
所以实轴长．
故选：C．
【变式练1】（2025秋 泉州月考）已知双曲线的一条渐近线的方程为2x﹣y＝0，则m＝（ ）
A．4 B．2 C． D．
【变式练2】（2025秋 播州区校级月考）已知双曲线C：x21经过点M（﹣2，），则C的虚轴长为（ ）
A．2 B．2 C． D．1
【变式练3】（多选）（2025 山东学业考试）已知双曲线，则（ ）
A．C的焦点在y轴上
B．C的焦距为10
C．C的离心率为
D．C的渐近线方程为
题型04 双曲线的离心率
（2025 西城区校级开学）若双曲线的离心率小于，则满足条件的实数m的一个可能取值为 ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据离心率范围列出关于m的不等式，解出m的范围，从中取一个值即可．
【解答】解：由已知，，则0＜m2＜1，
m的一个可能取值为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【变式练1】（2025秋 江西月考）已知直线与焦点在x轴上的双曲线C的其中一条渐近线垂直，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式练2】（多选）（2025春 泸州期末）过双曲线的一个焦点的直线l：x﹣2y﹣5＝0与C的一条渐近线平行，且与C交于点P，则（ ）
A．C的实轴长为
B．C的离心率为
C．P到C的右焦点的距离为
D．C的一个顶点坐标为
【变式练3】（2025 山东校级模拟）已知双曲线的焦点到渐近线的距离是虚轴顶点到渐近线的距离的2倍，则双曲线C的离心率e＝ ．
题型05 直线与双曲线
（2025春 北京校级月考）双曲线，点，则直线PQ与双曲线的公共点的个数（ ）
A．0个 B．恰有1个 C．恰有2个 D．恰有4个
【答案】B
【分析】求出直线PQ方程，根据直线PQ与双曲线的一条渐近线平行可得结果．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为．
∵，
∴直线PQ方程为，整理得，
∴直线PQ的斜率为，直线PQ与双曲线的一条渐近线平行，
∴直线PQ与双曲线恰有1个公共点．
故选：B．
【变式练1】（2025 邵阳模拟）已知直线l：y＝3x+1与双曲线E：相交于A，B两点，且弦AB的中点是，则此双曲线E的渐近线方程为（ ）
A． B． C．y＝±2x D．
【变式练2】（2025 南阳模拟）若直线l：y＝k（x﹣2）与双曲线恰好有一个交点，则直线l的斜率为 ．
【变式练3】（2025春 上城区校级期末）已知双曲线C：的右焦点为F（，0），且C的一条渐近线经过点D（，1）．
（1）求C的标准方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
