新人教版高一（上）数学必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
第5章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
人教A版2019高中数学必修第一册







α终边
β终边
α-β终边
两角差的余弦公式
【探究】如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正余弦吗？
【分析】如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，
以 轴非负半轴为始边作角α、β，α-β，它们的
终边分别与单位圆相交于点












连接 ， .若把扇形 绕着点 旋转β角，则
点A、P分别与点 重合.根据圆的旋转对称性可知， 与 重合，从而
= ，所以 =















α终边
β终边
α-β终边
根据两点间距离公式，得到等式：


化简得

两角差的余弦公式
【探究】由此我们得到了
当 时，容易证明上式依然成立.
所以，对于任意角α，β，都有







α终边
β终边
α-β终边



此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦和其差角α-β的余弦之间的关系，称为
差角的余弦公式，记为

由公式 可知，只要知道了 的值，就可以求出
的值.



另外，式中的角α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是角的组合，如：

【例1】利用公式 证明
【证明】





【例2】已知 β是第三象限角，求 的值.
【解】由 ，得




又由 ，β是第三象限角，得


所以

两角和的余弦公式
【推导】我们以 为基础，推导出其他公式.




这样就可以得到两角和的余弦公式，即

也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.
与两角差的余弦公式相比较下

余余正正
符号相反
两角和与差的正弦公式
【1】由诱导公式五： ，可得：











两角和与差的正弦公式
【2】由诱导公式六： ，可得：











即




正余余正
符号相同
两角和与差的正切公式
根据推导经验，有

在上式中，用-β替换β，得到

即




分子同相加，
1减他们俩
分子同相减，
1加他们俩
式中的α、β、α+β可以是任意值吗？
六个公式之间的关系和推导
【和角公式】


【差角公式】



以-β替换β

以-β
替换β


作 商
作 商
以-β替换β
当α=β时，有：


【例3】已知 α是第四象限角，求 的值.
【解】由 α是第四象限角，得




则




【例4】利用和(差)角公式计算下列各式的值.
【解】(1)由公式S(α+β)，得




(2)由公式C(α+β)，得

(3)由tan45°=1及公式T(α+β)，得

二倍角的正弦、余弦、正切公式
【推导】利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，可以推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式


当α=β时，

当α=β时，


当α=β时，




这样我们就得到了二倍角公式：



在 中，结合公式 ，得到




【例5】已知 ，求 的值.
【解】由 ，得





【例6】已知 ，求 的值.


【解】由 ，即


化简得


所以
THANKS
“
”