新人教版高一（上）数学必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换 课件（共15张PPT）

(共15张PPT)
第5章 三角函数
5.5.2 简单的三角恒等变换
人教A版2019高中数学必修第一册
两角差的余弦公式
【尝试】尝试用和(差)角公式、二倍角公式两个工具进行三角恒等变换
（1）试用cosα表示 ， ,



解：在倍角公式 中，用α代替2α，用 代替α，得



所以

在倍角公式 中，用α代替2α，用 代替α，得



所以

作商，得

两角差的余弦公式
【半角公式】刚才的结果还可以表示为：



以上三个公式称为半角公式，符号由α所在象限决定
【记忆方法】半角公式带根号，是正是负看半角；
1 加或者减余弦，根号分母都是 2 .
【问题】 与 之间有什么关系？

【解答】

两角差的余弦公式
【万能公式】万能公式是半角的正切与一倍角之间的互换公式：
有了万能公式，只需要知道一个角的正切，就可以求出二倍角的正弦余弦正切值.



不同的三角函数不仅有结构形式的差异，而且还会存在所包含的角，以及这
些角的三角函数种类方面的差异，所以在进行三角恒等变换时，首先要寻找各个
式子里的角的关系，再来选取适当的公式，这是三角恒等变换的特点.(也就是要背)
【例1】求证：
【证明】(1)因为



(1)+(2)得

即

(2) 由(1)有

设 ，则有


代入①中，有

换元法
【例2】已知 ，且 ，求 和 的值.
【解】∵ ，∴



∴

∴


【例3】已知一个等腰三角形的顶角的余弦等于 ，求这个三角形的底角的正切.
【解】设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有


由题意知 ，

所以



所以
【例4】求下列函数的周期、最大值和最小值.
【解】
辅助角公式




即周期为2π,最大值为2,最小值为-2.


令 ，则 ，所以


即 ，周期为2π，最大值为5，最小值为-5

积化和差公式与和差化积公式
①积化和差公式




积化和差公式与和差化积公式
②和差化积公式






【题】化简：
①三角函数式的化简

【解】∵ ，∴


又∵ ，且


∴原式=

∵ ，∴ ，所以 ，原式=




常见题型汇总
【题】已知α为钝角，β为锐角，且 ， ，求 的值.
②三角函数式的求值
【解】因为α为钝角，β为锐角， ， ，所以




所以

因为 ,所以 ，即



所以

常见题型汇总
【题】已知 ,求证:
③三角函数式的证明
【解】由题意有





；②2-①2，得






常见题型汇总
【题】已知在△ABC中， ,求证：△ABC是直角三角形
④在三角形中的应用
【证明】由题意有 ，∴
常见题型汇总



利用和差化积公式，得

又∵ ，∴

∵ ，∴ ，两边平方，得




即 ，∴


∴ ，即 或 . A或者B有一个为直角


∴△ABC是直角三角形
THANKS
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