2025-2026学年辽宁省葫芦岛第六初级中学九年级（上）开学数学试卷【含答案】

2025-2026学年辽宁省葫芦岛六中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A. 2，4，5 B. 5，4，4 C. 32，42，52 D. 5，13，12
3.某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如下表所示：则这15名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（　　）
决赛成绩/分 100 95 90 85
人数/名 2 8 2 3
A. 95，97 B. 95，95 C. 95，86 D. 90，95
4.下列说法中错误的是（　　）
A. 对角线互相平分的四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线长为a的正方形的面积是
5.若一次函数y=3x+4的图象平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　）
A. 向左平移4个单位 B. 向右平移4个单位 C. 向下平移4个单位 D. 向上平移4个单位
6.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠BAE=53°，则∠CEF的度数为（　　）
A. 13°
B. 14°
C. 15°
D. 16°
7.关于一次函数y=x+1，下列说法正确的是（　　）
A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点（0，1）
C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当x＞-1时，y＜0
8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm,BC=5cm,以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，则CD的值为（　　）
A. 1 B. 2.4 C. 3 D. 2.5
9.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥BC于点E，连接OE，若OA=3，S菱形ABCD=9，则OE的长为（　　）
A.
B. 2
C.
D.
10.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（　　）
A. 13
B. 10
C. 12
D. 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算的结果为______．
12.已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m= .
13.已知在△ABC中，AC=6cm，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE，在DE上有一点F，EF=1cm，连接AF，CF，若AF⊥CF，则AB=______．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-3，3），点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，∠BAC=90°，则OB-OC= ______.
15.如图，将正方形纸片ABCD对折，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点A′落在正方形内部，并使折痕经过点B，得到折痕BM，延长MA′交CD边于点N，若AB=8cm,FN=1cm,则AM的长为______cm.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算.
（1）.
（2）.
17.(本小题9分)
已知A，B两地相距120km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发匀速运动到B地，先到B地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车.已知乙先出发，然后甲再出发.设在这个过程中，甲、乙两人的距离y（km）与乙离开A地的时间x（h）之间的函数关系如图所示.
（1）乙比甲先出发______小时，甲开轿车的速度是______，第一次相遇的时间在乙出发______小时；
（2）求线段PQ对应的函数表达式；
（3）当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，求此时乙行驶的时间.
18.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F.
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB=6，AC=8，求EF的长.
19.(本小题9分)
某校七、八年级各有400名学生，为了了解疫情期间线上教学学生的学习情况，复学后，某校组织了一次数学测试，刘老师分别从七、八两个年级各随机抽取50名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
a．七、八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．七年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 80 81 81 81 82 82 82 83
85 85 86 86 88 88 89 90 90
c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七年级 80.3 m
八年级 78.2 76
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______；
（2）在这次测试中，八年级80分以上（含80分）有______人；
（3）小江说：“这次考试没考好，只得了79分，但年级排名仍属于前50%”，请判断小江所在年级，并说明理由；
（4）若85分及以上为“优秀”，请估计七年级达到“优秀”的人数．
20.(本小题9分)
在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且c≥b≥a.
（1）当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2.以下是他的证明过程：
小明的证明过程
如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D,设CD=x,
∵在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，
在Rt△ADB中，AD2=①，
∴b2-x2=①,
化简得，a2+b2-c2=2ax,
∵a＞0，x＞0，
∴②＞0,
∴a2+b2-c2＞0,
∴a2+b2＞c2.
其中，①是______；②是______.
（2）如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明.
21.(本小题9分)
在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°.
（1）如图1，若AB=1，，，求四边形ABCD的面积；
（2）如图2，若BC=CD，连接AC，AB=3，AD=5，直接写出AC的长度为______；
（3）如图3，在（2）的条件下，求四边形ABCD的周长______.
22.(本小题9分)
建立模型
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，可证明得到△BEC≌△CDA.
模型应用

（1）如图2，直线l1：y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，经过点B和第一象限点C的直线l2，且11⊥l2，BA=BC，求点C的坐标；
（2）在（1）的条件下，求直线l2的表达式；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点P（-3，1），连接OP，在第二象限内是否存在一点Q，使得△OPQ 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
23.(本小题12分)
（1）如图1，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，易证：△ANM≌△ANE，从而得到DM、BN与MN之间的数量关系______.
【实践探究】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且∠EAF=45°，请你猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系，并证明.
【拓展】
（3）如图3，正方形ABCD的边长为10，点P为边CD上一点，PE⊥BD于E，Q为BP中点，连接CQ并延长交BD于点F，且，请求出PD的长.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】-2
13.【答案】8cm
14.【答案】6
15.【答案】
16.【答案】；
-3
17.【答案】1；60；1.8；
线段PQ对应的函数表达式为y=-x+120；
当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，乙行驶的时间为小时．
18.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE=CE=BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示
∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10，
∵△ABC的面积=BC×AH=AB×AC，
∴AH==，
∵点E是BC的中点，四边形AECD是菱形，
∴CD=CE，
∵S AECD=CE AH=CD EF，
∴EF=AH=．
19.【答案】解：（1）80；
（2）160；
（3）小江属于八年级，76＜79＜80，因为小江的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，故小江属于八年级；
（4）400×=136（人），
即七年级达到“优秀”的有136人．
20.【答案】解：（1）c2-（a-x）2；2ax；
（2）a2+b2＜c2；
证明：如图，
过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD=x,
∵在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，
在Rt△ADB中，AD2=c2-（a+x）2，
∴b2-x2=c2-（a+x）2，
化简得，a2+b2-c2=-2ax,
∵a＞0，x＞0，
∴-2ax＜0，
∴a2+b2-c2＜0，
∴a2+b2＜c2．
21.【答案】．
．
8+．
22.【答案】解：（1）∵y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A（2，0），点B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
如图，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠CHB=∠CBA=∠BOA=90°，
∴∠CBH+∠ABO=90°=∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO=∠CBH，
又∵BA=BC，
∴△BAO≌△CBH（AAS），
∴AO=BH=2，BO=HC=4，
∴点C（4，6），
（2）设直线l2的表达式为：y=kx+4，
∴6=4k+4，
∴k=，
∴直线l2的表达式；y=x+4；
（3）当∠QPO=90°时，过点P作EF⊥x轴于F，过点Q作EQ⊥FE于E，
∵点P（-3，1），
∴PF=1，FO=3，
∵EF⊥FO，EQ⊥EF，
∴∠E=∠OPQ=∠PFO=90°，
∴∠EPQ+∠OPF=90°=∠POF+∠OPF，
∴∠POF=∠EPQ，
又∵PQ=OP，
∴△PFO≌△QEP（AAS），
∴PF=EQ=1，PE=OF=4，
∴点Q（-2，4），
当∠PQ'O=90°时，又∵PO=PQ，∠QPO=90°，
∴OQ'=QQ'，
∴点Q'（-1，2），
综上所述：点Q坐标为（-2，4）或（-1，2）．
23.【答案】DM+BN=MN；
EF2=BE2+FD2；
证明：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ADB=∠ABD=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAQ+∠BAE=45°，
∴∠EAQ=∠EAF=45°，
在△EAQ和△EAF中，
，
∴△EAQ≌△EAF（SAS），
∴EQ=EF，
∵∠ADF=∠ABQ=45°，
∴∠QBE=90°，
∴EQ2=BQ2+BE2，
∵BQ=DF，QE=EF，
∴EF2=BE2+FD2；

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